Afirmação verdadeira: frase, falada ou escrita, que declara um facto que é aceite no momento em que é ouvido ou lido.

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1 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 1 I- Lógica Informal Afirmação verdadeira: frase, falada ou escrita, que declara um facto que é aceite no momento em que é ouvido ou lido. Afirmação falsa: frase, falada ou escrita, que declara um facto que não é aceite no momento em que é ouvido ou lido. Proposição: é uma afirmação cujo valor lógico é definido (ou é verdadeira ou é falsa). Exemplo 1 (a) Proposições verdadeiras: O Sol é uma estrela. 2+2=4. (b) Proposições falsas: Lisboa é a capital de França. 3 é um número par. (c) Frases e expressões que não são proposições: Corre! Onde ficam os correios? 2+3. amarelo é uma cor bonita. Argumento: sequência de proposições com que se pretende que a verdade das última delas (chamada conclusão) seja suportada pela verdade das que a antecedem (chamadas premissas). Exemplo 2 (no seguinte considerar a legenda : Premissas Conclusões)

2 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 2 (a) O triângulo ABC tem ângulos iguais Cada um dos ângulos do triângulo ABC mede 60º. (b) 4 é um número ímpar. Todos os números ímpares são iguais a pi. 4=pi. (c) Geralmente o céu está nublado quando chove. Agora está a chover. Agora o céu está nublado. (d) Usain Bolt é um corredor de 100 metros muito alto. Os corredores de 100 metros muito altos costumam ser lentos na partida. Usain Bolt é lento na partida. (a) e (b) são exemplos de argumentos dedutivos. Um argumento diz-se dedutivo quando a conclusão é verdadeira sempre que as premissas são verdadeiras, i.e., não pode acontecer que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Existe uma diferença sensível entre os argumentos (a) e (b): as premissas de (a) são verdadeiras, enquanto as premissas de (b) são falsas. Um argumento dedutivo com premissas verdadeiras diz-se um argumento sólido. (b) e (d) são exemplos de argumentos indutivos. Um argumento diz-se indutivo se há uma certa probabilidade de a conclusão ser verdadeira quando as premissas o são, mas também pode acontecer que a conclusão seja falsa. Do valor desta probabilidade depende a qualidade do

3 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 3 argumento. Uma boa parte dos argumentos que utilizamos no nosso discurso do dia-a-dia são de natureza indutiva. Exercício 3 Escrever os seguintes argumentos na forma standard (a forma dos argumentos do Exemplo 2). Quais os argumentos dedutivos e quais os indutivos? a) Todos os corvos observados até hoje são pretos. Por isso todos os corvos são pretos. b) Todos os humanos são mortais. José é humano. Logo José é mortal. c) Se n é um inteiro par, então existe um inteiro k tal que n=2k. Considerando n=2k podemos escrever n+2=2k+2=2(k+1). Então n+2 é também um número par. d) Todos os humanos são mortais. Einstein é mortal. Logo Einstein é humano. Um argumento pode ser fornecido com a intenção de ser um argumento dedutivo, i.e., com a intenção de as premissas suportarem a conclusão, mas não o ser (i.e. as premissas podem ser verdadeiras mas a conclusão é falsa). Nesse caso o argumento dizse inválido, ou dedutivamente inválido, ou falácia. Um exemplo de argumento inválido é o seguinte. Se k é um número primo, então k é igual a 2 ou k é ímpar. k não é primo nem é igual a 2. k não é ímpar. De facto k=7 satisfaz as premissas (torna-as verdadeiras) mas não satisfaz a conclusão (torna-a falsa). Um argumento que é fornecido com a intenção de ser dedutivo e que o é de facto, diz-se argumento válido ou dedutivamente válido (as expressões argumento dedutivo e argumento válido ). O argumento (a) do exemplo 1 é válido.

4 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 4 Esta qualificação de argumentos, supostamente dedutivos, em dedutivamente válidos e dedutivamente inválidos, faz parte de um tipo de estudo normalmente designado por avaliação de argumentos, que pretende identificar os argumentos considerados bons. Os argumentos válidos são melhores que os inválidos, uma vez que nos permitem de certas verdades (premissas) deduzir outras verdades (conclusões). Neste curso não vamos falar da avaliação de argumentos indutivos uma vez que a lógica que vamos estudar (lógica matemática) lida com argumentos dedutivos. Argumentos com premissas ou conclusões implícitas Por vezes, no discurso do dia-a-dia, as premissas ou as conclusões podem estar implícitas no discurso [i.e., podem não aparecer nas frases ditas ou escritas, mas estarem presentes no nosso pensamento quando interpretamos essas frases]. Por exemplo a afirmação: Se fosses minha amiga não falavas nas minhas costas. representa o seguinte argumento: Se alguém é meu amigo então essa pessoa não fala nas minhas costas. Tu falas nas minhas costas Tu não és minha amiga. Subentende-se aqui que falar nas costas de alguém significa dizer a terceiros coisas desagradáveis sobre essa pessoa, quando ela não está presente. Argumentos complexos São argumentos contendo conclusões intermédias, que são usadas como premissas de outros argumentos. Todos os números racionais se podem escrever como quocientes de inteiros. O número Pi não se pode escrever como quociente de inteiros.

5 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 5 Então Pi não é um número racional. No entanto Pi é um número. Então existe pelo menos um número que não é racional. Exercício 4 Escrever na forma standard cada um dos seguintes argumentos complexos. (a) O João disse que ia à festa, o que quer dizer que a Rosa também vai. Por isso ela não vai poder ir ao cinema connosco. (b) Hoje ou é Quarta-feira ou é Quinta-feira. Mas não pode ser Quinta-feira porque o consultório está aberto e nunca abre à Quinta-feira. Então hoje é Quarta-feira. II- Lógica formal A lógica informal presta-se à análise de argumentos expressos numa linguagem natural, como por exemplo o português, e dos contextos nos quais ocorrem. A lógica formal, por seu lado, permite-nos analisar argumentos atendendo à sua forma, independentemente dos conteúdos das proposições envolvidas. Esta análise recorre a um cálculo (i.e., uma estrutura com operadores e operandos, que permite efectuar certas operações). O tipo de lógica formal que vamos estudar é a chamada lógica proposicional (faremos também uma breve referência à lógica de predicados). Estrutura de um argumento Vamos agora ver o que se entende por estrutura de um argumento. Consideremos o argumento válido A Lua é cúbica.

6 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 6 Se a Lua é cúbica, então os humanos voam. Os humanos voam. A estrutura deste argumento é o esquema C Se C então H. H com C= A Lua é cúbica e H= Os humanos voam. O exemplo diz-se uma instanciação concretização ou concretização da estrutura. Para obter esta estrutura substituímos por letras todas as proposições simples (que não contêm outras proposições) do argumento. Outra instanciação desta estrutura é o argumento seguinte. 3 é um número primo maior que 2. Se um número primo é maior que 2, então esse número é ímpar. 3 é um número ímpar. Estruturas como a anterior costumam designar-se por esquemas de argumentos, uma vez que representam não apenas um argumento concreto, mas todos os infinitos argumentos que são suas instanciações. Alguns esquemas de argumentos são importantes, por serem usados com frequência em instanciações que fazem parte de argumentos mais complexos. Têm por isso designações próprias, como por exemplo as estruturas no exercício seguinte. Exercício 5 Escrever uma instanciação para cada esquema de argumentos.

7 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 7 C Se C então H Modus Ponens H Se C então H H é falsa C é falsa Modus Tollens Se C então H Argumento em Cadeia Se H então P. Se C então P Um argumento é válido se todas as instanciações da estrutura que o representa são argumentos válidos. Exercício 6 Escrever o esquema correspondente a cada argumento. Dizer se o argumento é válido. (a) A Rita está a jogar ténis. Se a Rita está a jogar ténis então não está a ler. Se a Rita está em casa então está a ler. A Rita está em casa ou hoje é sábado. Hoje é sábado.

8 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 8 (b) Eu passei no teste se tu tiveres passado. Tu passaste no teste. Eu passei no teste. (c) Se estás a passear na Lua então estás vivo. Estás vivo. Estás a passear na Lua. Resumo da terminologia Raciocínio: processo mental que origina opiniões. Proposição: expressão com valor lógico definido. Argumento: sequência de proposições. Objectivo da Lógica: analisar argumentos no sentido de verificar se as conclusões derivam das premissas. Inferência: acto de deduzir uma proposição de outra. Lógica Informal e Lógica Formal: estudo dos argumentos nas linguagens naturais (português, castelhano, crioulo, inglês, francês, etc) e dos contextos nos quais esses argumentos ocorrem. Enquanto a lógica formal se apresenta com uma estrutura matemática (cálculo) e dá ênfase às generalizações e às teorias (com importantes aplicações práticas tais como electrónica digital, teoria da computação, linguagens de programação, inteligência artificial), a lógica informal detém-se na análise prática de argumentos, tendo profundo impacto em todos os ramos da Filosofia. A lógica formal e informal não são antagónicas, são complementares sem lógica informal não havia lógica formal.

9 Matemática Discreta ESTiG\IPB Cap1 Lógica pg 9 Argumento dedutivo: se as premissas são verdadeiras, então a conclusão também é verdadeira. Argumento indutivo: se as premissas são verdadeiras, então a conclusão é verdadeira sob uma certa probabilidade [se a probabilidade for igual a 1 temos um argumento dedutivo]. Argumento Simples: sequência de proposições que pretende justificar a verdade da última delas (conclusão) com a verdade das anteriores (premissas). Argumento Complexo: encadeamento de argumentos simples, em que as conclusões intermédias são usadas como premissas de argumentos seguintes. Argumento válido (lógica formal): todas as instanciações do esquema de argumentos que lhe corresponde são argumentos válidos. Bibliografia: