Linguagens Formais e Problemas de Decisão

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1 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Fundamentos de Teoria da Computação (FTC) DCC-UFMG (2018/02) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 1 / 27

2 Introdução No dia-a-dia estamos acostumados com linguagens naturais, como português, inglês, francês,... Estas linguagens nos permitem descrever objetos precisamente, através de cadeias (ou palavras). Aqui vamos estudar linguagens formais, que são conjuntos de cadeias matematicamente construídas para descrever objetos abstratos. Uma das aplicações mais relevantes de linguagens formais em ciência da computação é a definição de linguagens de programação. Você já pensou que existe uma linguagem dos programas em C, e que cada cadeia é um programa válido em C? Como definimos esta linguagem? Qual é a sua gramática? Como aqui vamos lidar apenas com linguagens formais, podemos nos referir a elas apenas como linguagens. Em particular, vamos ver como linguagens formais estão associadas a problemas de decisão, que são um dos cernes da ciência da computação. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 2 / 27

3 Linguagens Formais Mário S. Alvim Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 3 / 27

4 Linguagens: Conceitos fundamentais Um alfabeto é um conjunto finito não-vazio de elementos chamados símbolos. Exemplo 1 Exemplos de alfabetos: 1 {0, 1} é o alfabeto binário, 2 {a, b, c,..., z} é o alfabeto de letras latinas minúsculas, 3 {a 1, a 2, a 3} é um alfabeto ternário (de apenas três símbolos), 4 {,,, } é o alfabeto das 4 teclas principais do controle do Playstation, 5 o conjunto de caracteres do teclado é um alfabeto. Notação: Normalmente usamos a letra Σ para denotar um alfabeto. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 4 / 27

5 Linguagens: Conceitos fundamentais Uma cadeia (ou palavra) de um alfabeto Σ é uma sequência finita de símbolos de Σ. Exemplo 2 Exemplos de cadeias no alfabeto {0, 1}: ɛ O símbolo ɛ denota a cadeia vazia, ou seja, a cadeia formada por 0 símbolos. w denota o tamanho (i.e., o número de símbolos) da cadeia w. Exemplo = = = 10 4 ɛ = 0 Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 5 / 27

6 Linguagens: Conceitos fundamentais a n denota n símbolos a em sequência. Exemplo = = ɛ 3 a 2 b 3 a 2 = aabbbaa Σ (lê-se sigma estrela ) denota o conjunto de todas as cadeias que podem ser formadas com o alfabeto Σ. Exemplo 5 1 {a} = {ɛ, a, aa, aaa, a 4, a 5,...} 2 {0, 1} = {ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101,...} Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 6 / 27

7 Linguagens: Conceitos fundamentais Uma linguagem sobre um alfabeto Σ é um subconjunto de Σ. Exemplo 6 Exemplos de linguagens sobre o alfabeto {0, 1}: 1 {0, 1, 00, 11} 2 3 {ɛ} 4 {ɛ, 0, 1} 5 {ɛ, 0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 0 10,...} 6 {w Σ w é múltiplo de 3} 7 {0 n 1 n n 0} 8 {0 n n é um número primo} 9 {0, 1} Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 7 / 27

8 Linguagens: Conceitos fundamentais Como linguagens são conjuntos, operações de conjuntos também se aplicam a linguagens. Sejam L 1 e L 2 linguagens sobre os alfabetos Σ 1 e Σ 2, respectivamente. Então: L 1 L 2 é uma linguagem sobre o alfabeto Σ 1 Σ 2, L 1 L 2 é uma linguagem sobre o alfabeto Σ 1 Σ 2, L 1 = {w Σ 1 w / L 1} é uma linguagem sobre o alfabeto Σ 1, L 1 L 2 = L 1 L 2 é uma linguagem sobre o alfabeto Σ 1, P(L 1) é um conjunto de linguagens sobre Σ 1, P(Σ 1 ) é o conjunto de todas as linguagens sobre Σ 1. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 8 / 27

9 Linguagens: Conceitos fundamentais e Exemplo 7 Sejam as linguagens L 1 = {w {0, 1} w é par} L 2 = {w {0, 1} w começa com 0}. 1 L 1 L 2 = {w {0, 1} w é par ou w começa com 0}. 2 L 1 L 2 = {w {0, 1} w é par e w começa com 0}. 3 L 1 = {w {0, 1} w é ímpar}. 4 L 1 L 2 = {w {0, 1} w é par e w não começa com 0}. 5 P(L 1) é o conjunto de todas as linguagens em que as cadeias da linguagem têm tamanho par. 6 P({0, 1} ) é o conjunto de todas as linguagens binárias. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 9 / 27

10 Linguagens: Conceitos fundamentais Dadas duas cadeias x = a 1 a 2... a n e y = b 1 b 2... b m, sua concatenação é xy = a 1 a 2... a n b 1 b 2... b m. Exemplo 8 1 Se x = 010 e y = 1111, então xy = Para toda cadeia x: ɛx = xɛ = x. 3 Para toda cadeia x, y, z: (xy)z = x(yz) = xyz. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 10 / 27

11 Linguagens: Conceitos fundamentais Um prefixo de uma cadeia w é uma cadeia x tal que w = xy para algum y. Um sufixo de uma cadeia w é uma cadeia y tal que w = xy para algum x. Uma subcadeia de uma cadeia w é uma cadeia z tal que w = xzy para algum x, y. Exemplo 9 1 Prefixos de abc: ɛ, a, ab, abc. 2 Sufixos de abc: ɛ, c, bc, abc. 3 Subcadeias de abc: ɛ, a, b, c, ab, bc, abc. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 11 / 27

12 Linguagens: Conceitos fundamentais O reverso de uma cadeia w = a 1 a 2... a n é a cadeia w R = a n... a 2 a 1. Exemplo 10 1 abc R = cba 2 a R = a 3 ɛ R = ɛ Um paĺındromo é uma cadeia w tal que w = w R. Exemplo 11 As seguintes cadeias são paĺındromos a 3 ɛ Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 12 / 27

13 Linguagens: Conceitos fundamentais Dadas duas linguagens L 1 e L 2, sua concatenação é L 1 L 2 = {xy x L 1 e y L 2 }. Exemplo 12 Sejam e L 1 = {w {0, 1} w = 5} L 2 = {0y y {0, 1} }. 1 L 1L 1 = {w {0, 1} w = 10} 2 L 1L 2 = {w {0, 1} w 6 e o sexto símbolo de w é 0} 3 L 2L 1 = {w {0, 1} w 6 e w começa com 0} 4 L 2L 2 = {0y y {0, 1} e y contém pelo menos um 0} 5 L 1{ɛ} = L 1 6 L 1 = Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 13 / 27

14 Linguagens: Conceitos fundamentais L n denota a linguagem L concatenada com ela mesma n vezes. Em particular, L 1 = L L 0 = {ɛ} Exemplo 13 1 {0, 1} 3 = {000, 001, 010, 011, 101, 101, 110, 111} 2 {aa, b} 2 = {aaaa, aab, baa, bb} O fecho de Kleene, ou estrela, de uma linguagem L é L = L 0 L 1 L 2 L 3 L 4... O fecho positivo de Kleene, ou mais, de uma linguagem L é L + = LL = L 1 L 2 L 3 L 4... Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 14 / 27

15 Linguagens: Conceitos fundamentais Exemplo 14 Exemplos de fechos de Kleene e fechos positivos de Kleene: 1 {0, 1} = {ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} 2 {0} = {0 n n 0} 3 {0} + = {0 n n 1} 4 {00} = {w {0} w é par} 5 {00} + = {w {0} w é par e w 2} 6 {01, 1} = {w {0, 1} todo 0 em w é seguido de pelo menos um 1} 7 {ɛ, 00, 11} = {ɛ, 00, 11} + = {ɛ} {00, 11} + 8 {ɛ} = {ɛ} + = {ɛ} 9 = {ɛ} 10 + = Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 15 / 27

16 Linguagens: Conceitos fundamentais Como todo alfabeto Σ é finito, o conjunto Σ é enumerável. (Por quê?) Como toda linguagem é um subconjunto de Σ, toda linguagem é enumerável. Logo, pelo menos em princípio, é possível dar uma definição recursiva para algumas linguagens. (Não é possível dar definição recursiva para conjuntos não-enumeráveis. Por quê?) Mais para frente veremos como prover definições recursivas para linguagens, usando o conceito de gramáticas. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 16 / 27

17 Problemas de Decisão Mário S. Alvim Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 17 / 27

18 Problemas de decisão Um problema de decisão (PD) é uma questão que: 1. faz referência a um conjunto de parâmetros, e que 2. para cada atribuição de valores a todos os parâmetros, possui como resposta SIM ou NÃO. Exemplo 15 Exemplos de problemas de decisão: 1 Determinar se um natural n é primo. (1 parâmetro: n.) 2 Determinar se x + y = z para x, y, z Z. (3 parâmetros: x, y, z.) 3 Determinar se é primo. (0 parâmetros.) 4 Determinar se existe um ciclo de tamanho pelo menos k num grafo G. (2 parâmetros: k, G.) 5 Determinar se uma cadeia w pertence a uma linguagem L. (2 parâmetros: w, L.) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 18 / 27

19 Problemas de decisão Uma instância de um PD é uma questão obtida ao se atribuírem a todos os parâmetros do PD valores específicos. Exemplo 16 instâncias: O PD de se determinar se um natural n é primo tem infinitas Determinar se 0 é primo. Determinar se 1 é primo. Determinar se 2 é primo. Determinar se 3 é primo.... Exemplo 17 instância. O PD de se determinar se é primo tem uma única Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 19 / 27

20 Problemas de decisão Uma solução para um problema de decisão é um procedimento (ou algoritmo) que retorna a resposta correta para toda e qualquer instância do problema. Um PD é decidível se ele tem solução, e indecidível em caso contrário. Todo PD com finitas instâncias é decidível. (Por quê?) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 20 / 27

21 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 21 / 27

22 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Aqui vamos nos concentrar em um tipo muito importante de problema de decisão: A cadeia w pertence à linguagem L? Um algoritmo capaz de responder corretamente a todas as instâncias de w do PD acima é um decisor para a linguagem L. Mais para a frente no curso vamos estudar também o conceito de um reconhecedor para a linguagem, que é um algoritmo que: 1. responde SIM para toda cadeia pertencente à linguagem, 2. para cadeias não-precentes à linguagem, ou responde NÃO, ou apenas se cala e não responde nada. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 22 / 27

23 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Decidir linguagens é equivalente a resolver problemas de decisão. Ou seja, existe uma correspondência entre um decisor para uma linguagem e uma solução para um problema de decisão com um número enumerável de instâncias. Para ver a equivalência, primeiro introduzimos a notação x para a representação de um objeto x como uma cadeia de um alfabeto Σ. Assim, um problema de decisão com um número enumerável de instâncias A resposta para o PD com parâmetros x é SIM ou NÃO? é equivalente ao problema de linguagem para uma linguagem L apropriada. A cadeia x pertence à linguagem L? Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 23 / 27

24 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Exemplo 18 O problema de decisão n é primo, para n N? é equivalente ao problema de decidir a pertinência de uma cadeia à linguagem L primos = { n n N e n é primo}. Uma maneira de fazer isto é definir a seguinte representação para os naturais n = 0 n, de forma que 1 = 0, 5 = 00000, 0 = 0 0 = ɛ, etc. Assim, o problema de decisão n é primo? equivalente ao problema de decidir a pertinência de uma cadeia 0 n à linguagem L primos = {0 n n é primo}. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 24 / 27

25 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Exemplo 19 O problema de decisão x + y = z, para x, y, z Z? é equivalente ao problema de decidir a pertinência de uma cadeia à linguagem L x+y=z = { x, y, z x, y, z Z e x + y = z}. Exemplo 20 O problema de decisão O grafo G possui um ciclo de tamanho pelo menos k? é equivalente ao problema de decidir a pertinência de uma cadeia à linguagem L grafo = { G, k G é um grafo com um ciclo de tamanho pelo menos k}. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 25 / 27

26 Linguagens Formais e Problemas de Decisão Como dissemos, reconhecer linguagens é equivalente a resolver problemas de decisão com um número enumerável de instâncias. Neste curso vamos construir máquinas que decidem se cadeias pertencem ou não a uma dada linguagem. Cada máquina uma destas máquinas é uma solução para o problema de decisão equivalente à linguagem! Então, é importante entender quais linguagens podem ser decididas (ou reconhecidas) por quais máquinas, pois assim estamos estudando quais problemas de decisão têm solução (ou têm solução parcial)! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 26 / 27

27 A Hierarquia de Chomsky As linguagens podem ser organizadas em níveis de complexidade. A hierarquia de Chomsky organiza as linguagens em termos da complexidade as máquinas necessárias para dedicidí-las/reconhecê-las. Neste curso vamos começar com as máquinas mais simples, e ir subindo na Hierarquia de Chomsky. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Linguagens Formais e Problemas de Decisão DCC-UFMG (2018/02) 27 / 27