Teoria da Computação Aula 02 Introdução

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1 Teoria da Computação Aula 02 Introdução Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional

2 Alfabeto Um alfabeto é um conjunto finito de símbolos ou caracteres, representado pela letra sigma ( ). Portanto: - Um conjunto infinito não é um alfabeto; - O conjunto vazio φ ou { } é um alfabeto. Não são alfabetos: conjunto dos números naturais; inteiros, etc.

3 Alfabetos - exemplos = { a, b, c } = { 0,1,2 } = { begin, end, for, :=, 0, 1, 9 } = φ = { 0,1 }

4 Cadeias de Símbolos Uma cadeia de Símbolos (palavra, string) sobre um alfabeto é uma sequência de zero ou mais símbolos do alfabeto justapostos, uma e é representada pela letra ( w ). Uma palavra é uma cadeia finita de símbolos; Uma palavra sem símbolos é uma palavra válida representada pela letra grega epsilon minúscula ( ε ).

5 Cadeias de Símbolos Se representa um alfabeto então: * denota o conjunto de todas as palavras possíveis sobre ; + denota todas as palavras exceto a palavra vazia ( * - { ε } )

6 Palavras - Exemplos w = abcba sobre o alfabeto { a,b,c } w = if (x < z) x:= z x ; sobre o alfabeto { if, (, ), :=, x, z, ;, <, > } Se = { a, b } então: * = {ε,a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,... } + = * - { ε } = { a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,... }

7 Tamanho de uma palavra O tamanho ou comprimento de uma palavra w, representado por w, é o número de símbolos que compõem a palavra. Exemplo: Se = { a, b } então a palavra w = bab tem têm tamanho w = 3 Observação: ε = 0

8 Prefixos, Sufixos e Subpalavras O prefixo de uma palavra w é qualquer sequência inicial de símbolos da palavra. O sufixo de uma palavra w é qualquer sequência final de símbolos da palavra. Uma subpalavra de uma palavra w é qualquer sequência de símbolos que compõem a palavra.

9 Prefixos, Sufixos e Subpalavras Exemplos: Seja = {a, b, c}, então w = abcb é uma palavra válida sobre e tem comprimento w = 4; Relativamente à palavra abcb, tem-se que: Prefixos = ε, a, ab, abc, abcb; Sufixos = ε, b, cb, bcb, abcb; sub-palavras = ε, a, b, c, ab, bc, cb, abc, bcb, abcb;

10 Concatenação de Palavras A concatenação de palavras, ou simplesmente concatenação, é uma operação binária, definida sobre uma linguagem, a qual associa a cada par de palavras uma palavra formada pela justaposição da primeira com a segunda e é denotada pela justaposição dos símbolos que representam as palavras componentes. Suponha o alfabeto Σ = { a, b }. Então, para as palavras v = baaaa e w = bb, temos que: v w = baaaabb

11 Concatenação - Propriedades A operação de concatenação satisfaz as seguintes propriedades (suponha v, w, t palavras quaisquer): Associativa: v ( w t ) = ( v w ) t Elemento neutro: ε w = w = w ε Como a concatenação de palavras é uma operação associativa, é usual omitir os parênteses. Assim v (w t) ou (v w) t pode ser denotado simplesmente por v w t.

12 Concatenação Sucessiva A concatenação sucessiva de uma palavra (com ela mesma), ou simplesmente concatenação sucessiva é representada na forma de um expoente. Suponha w uma palavra: w n onde n é o número de concatenações sucessivas e é definida como segue: w 0 = ε w n = w w n-1, para n > 0.

13 Concatenação Sucessiva - Exemplos Sejam w uma palavra e a um símbolo. Então: w 3 = w w w w 1 = w a 5 = aaaaa a n = aaa a (o símbolo a repetido n vezes)

14 Linguagem Formal Uma linguagem formal, ou simplesmente linguagem L, sobre um alfabeto Σ é um conjunto de palavras sobre um alfabeto Σ, ou seja L Σ*. Observação: O conjunto vazio e o conjunto formado pela palavra vazia { ε } são linguagens sobre qualquer alfabeto. Obviamente, vale que { ε } Os conjuntos Σ* e Σ + são linguagens sobre um alfabeto Σ qualquer. Obviamente, vale que Σ* Σ +

15 Linguagem Formal - Exemplo Exemplo 1: Suponha o alfabeto Σ = { a, b }. O conjunto de palíndromos (palavras que tem a mesma leitura da esquerda para a direita e vice-versa) sobre Σ. Assim, são palavras desta linguagem: ε, a, b, aa, bb, aaa, aba, bab, bbb, aaaa,...

16 Linguagem Formal - Exemplo Exemplo 2: O conjunto de todas as linguagens sobre um alfabeto Σ conjunto das partes de Σ*, ou seja: 2 Σ*. Exemplo 3: Uma linguagem de programação como a linguagem C ou Pascal é formalmente definida pelo conjunto de todos os programas (palavras) da linguagem.

17 Gramática Basicamente uma gramática é conjunto finito de regras que quando aplicadas sucessivamente, geram palavras. O conjunto de todas as palavras geradas por uma gramática define uma linguagem.

18 Gramática - definição Gramática de Chomsky, Gramática irrestrita ou simplesmente gramática a quádrupla ordenada: Onde: G = ( V, T, P, S ) V, conjunto finito de símbolos variáveis ou não terminais; T, conjunto finito de símbolos terminais disjunto de V; P, conjunto finito de pares denominado de regra de produção, do tipo ( V T) + ( V T )* S, elemento de V chamado de símbolo ou variável inicial.

19 Regras de produção Representação de uma regra de produção (α, β): α β Representação abreviada para α β1, α β2,..., α βn Derivação: α β1 β2 βn A aplicação de uma regra de produção é denominada derivação. A aplicação sucessiva de regras de produção, chamada de fecho transitivo da relação de derivação, permite derivar palavras da linguagem.

20 Derivações Portanto, uma derivação é a substituição de uma subpalavra de acordo com uma regra de produção. Sucessivos passos de derivação são definidos como segue: * fecho transitivo e reflexivo da relação, ou seja, zero ou mais passos de derivações sucessivos; + fecho transitivo da relação, ou seja, um ou mais passos de derivações sucessivos; i exatos i passos de derivações sucessivos, sendo i um numero natural. Gramaticas são consideradas formalismos de geração, pois permitem derivar ( gerar ) todas as palavras da linguagem que representam.

21 Linguagem gerada por uma gramática Definição: Seja G = (V, T, P, S) uma gramática. A linguagem gerada pela gramatica G, denotada por L(G) ou GERA(G), é composta por todas as palavras de símbolos terminais deriváveis a partir do símbolo inicial S, ou seja: L( G ) = { w T* S + w }

22 Exemplos...

23 Bibliografia básica da disciplina SIPSER, Michael. INTRODUÇÃO À TEORIA DA COMPUTAÇÃO. 1ª ed. São Paulo: Pioneira - Thomson Learning, LEWIS, Harry R; PAPADIMITRIOU, Christos H. Elementos de Teoria da Computação. 2ª ed. Porto Alegre: Bookman, DIVERIO, TIARAJU ASMUZ; MENEZES, Paulo Fernando Blauth. Teoria da Computação : maquinas universais e computabilidade. 2ª ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2000.

24 Bibliografia complementar da disciplina MENEZES, Paulo Fernando Blauth. Linguagens Formais e Autômatos. 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, HOPCROFT, John E; ULLMAN, Jeffrey D; MOTWANI, Rajeev, SOUZA. Introdução a Teoria dos Autômatos, Linguagens e Computação. 1ª ed. São Paulo: Campus - Elsevier, HAEUSLER, EDWARD HERMANN; MENEZES, PAULO BLAUTH. TEORIA DAS CATEGORIAS : PARA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. 2ª ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2001

25 Material, comunicação e critérios de avaliação Material para as aulas, listas de exercícios e outros materiais para estudo no site : para contato e entrega de trabalhos : tc_2016@pedraorc.com.br Composição da nota da P1: Nota de Prova + Nota dos exercícios opcionais Critérios da avaliação P2: Nota de Prova + Nota dos exercícios opcionais