Autómatos de pilha e GIC

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1 Autómatos de pilha e GIC Proposição A classe de linguagens aceites por autómatos de pilha está contida na classe das linguagens independentes de contexto. Dem. Seja L uma linguagem independente de contexto de alfabeto Σ. Existe G = (V, Σ, Q, S) na forma normal de Greibach que gera L \ {ɛ}. O autómato de pilha P = ({q}, Σ, V, δ, q, S, ) em que δ é dada por δ(q, a, A) = {(q, β) (A aβ) Q} para todo a Σ e A V, aceita L \ {ɛ} por pilha vazia. Por indução (no número de passos de P e no de e G ), mostra-se que: x Σ [ (S e G xβ) ((q, x, S) P (q, ɛ, β)) ] Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 1

2 Então S G x se e só se (q, x, S) P Vamos ver só um dos lados: (q, ɛ, ɛ) Base. n = 1 Se S 1 xβ então S xβ Q e x = a Σ. Então (q, a, S) P (q, ɛ, β) porque (q, β) δ(q, a, S). Indução. Suponhamos que o resultado é válido para n passos de derivação. Isto é se S e n G xβ então ((q, x, S) P (q, ɛ, β)). Seja S e n+1 G xβ. No último passo de derivação temos: S e G n yaβ1 e G 1 xβ e A aβ 2 Q, x = ya e β = β 2 β 1. Por hip. indução (q, y, S) P (q, ɛ, Aβ 1 ) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 2

3 Então, como (q, β 2 ) δ(q, a, A) podemos concluir que: (q, x, S) = (q, ya, S) P (q, a, Aβ 1 ) P (q, ɛ, β 2 β 1 ) = (q, ɛ, β) Fica como exercício demonstrar o outro lado ( ).Se ɛ L, então o autómato de pilha P = ({q}, Σ, V, δ, q, S, ) reconhece L por pilha vazia, onde: δ (q, a, A) = δ(q, a, A) para todo a Σ e todo A V δ (q, ɛ, S) = {(q, ɛ)} Exercício Converte a gramática para um AP que aceite por pilha vazia. S aaa A as bs a Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 3

4 Exemplo [HMU00] (Cap. 6.3) Se a gramática independente de contexto G = (V, Σ, Q, S) não estiver em forma de Greibach, pode-se construir um AP P que aceita L(G) por pilha vazia, considerando: P = ({q}, Σ, V Σ, δ, q, S) onde δ se define por: 1. Para cada A V, δ(q, ɛ, A) = {(q, β) A β Q} 2. Para cada a Σ, δ(q, a, a) = {(q, ɛ)} Exercício Converte a seguinte gramática para um AP que aceite por pilha vazia. Qual é a linguagem gerada em ambos os casos? S 0S1 A A 1A0 S ɛ Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 4

5 Proposição A classe de linguagens aceites por autómatos de pilha contém a classe das linguagens independentes de contexto. Dem. L é aceite por P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, ) por pilha vazia, i.e, x L = N(P ) sse (q 0, x, Z 0 ) P (q, ɛ, ɛ). A ideia da construção é que no processamento de um autómato de pilha retira-se sucessivamente um símbolo da pilha, consumindo algum dado. Seja G = (V, Σ, R, S) uma gramática em que o símbolo inicial é S as restantes variáveis são representadas por ternos [q, Z, q ], em que q, q Q e Z Γ. Estas variáveis correspondem a símbolos na pilha durante uma derivação pela esquerda.se [q, Z, q ] deriva x, x leva o autómato do estado q ao estado q e Z é retirado da pilha. As regras da gramática são as seguintes: Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 5

6 q Q, (S [q 0, Z 0, q]) R as palavras da linguagem que levam o autómato do estado inicial a algum estado, retirando Z 0 da pilha. ((q 0, x, Z 0 ) (q, ɛ, ɛ)) Se (q, ɛ) δ(q, a, Z), ([q, Z, q ] a) R, a Σ {ɛ}, Z Γ, q, q Q. Se (q, X 1 X n ) δ(q, a, Z), ([q, Z, q n ] a[q, X 1, q 1 ] [q n 1, X n, q n ]) R q 1,..., q n 1, q n Q, X 1,... X n Γ, a Σ {ɛ}, q, q Q. Prova-se por indução no número de passos da derivação de G ou de transições de P que: [q, X, q ] x sse (q, x, X) (q, ɛ, ɛ) (1) Mas S x sse [q 0, Z 0, p] x para algum p Q, pela construção das regras para S. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 6

7 E como por 1 [q 0 Z 0 p] x sse (q 0, x, Z 0 ) (p, ɛ, ɛ) (2) Temos então L(G) = N(P ) Exercício Converte o AP P = ({s 0, s 1 }, {0, 1}, {A, Z}, δ, s 0, Z) para uma GIC que gere a linguaguem N(P ). 1,Z/AZ 1,A/AA ɛ,a/ɛ s 0 0,A/A 1,A/ɛ 0,Z/Z s 1 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 7

8 Autómato de pilha determinístico Um autómato de pilha é determinístico (APD) se para cada configuração só existir no máximo uma transição. Ou seja, se para quaisquer s S, a Σ e X Γ, se δ(s, ɛ, X) então δ(s, a, X) = para todo a Σ, se δ(s, a, X) então δ(s, a, X) tem um e um só elemento A linguagem {wcw r w {a, b} } é aceite por pilha vazia pelo autómato de pilha determinístico A = ({s 0, s 1 }, {a, b, c}, {Z, A, B}, δ, s 0, Z, ) onde δ(s 0, a, Z) = {(s 0, AZ)} δ(s 0, a, A) = {(s 0, AA)} δ(s 0, a, B) = {(s 0, AB)} δ(s 0, b, Z) = {(s 0, BZ)} δ(s 0, b, A) = {(s 0, BA)} δ(s 0, b, B) = {(s 0, BB)} δ(s 0, c, Z) = {(s 1, Z)} δ(s 0, c, A) = {(s 1, A)} δ(s 0, c, B) = {(s 1, B)} δ(s 1, a, A) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, b, B) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, ɛ, Z) = {(s 1, ɛ)} Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 8

9 a,z/az a,b/ab a,a/aa b,z/bz b,a/ba b,b/bb s 0 c,z/z c,a/a c,b/b a,a/ɛ b,b/ɛ ɛ,z/ɛ s 1 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 9

10 Autómatos de pilha e autómatos finitos Proposição A classe de linguagens aceites por autómatos finitos está contida propriamente na classe de linguagens aceites por autómatos de pilha determinísticos.isto é, se A é um autómato finito então existe um APD P tal que L(A) = L(P ) Dem. Já vimos alguns exemplos de linguagens que não são regulares e são aceites por autómatos de pilha. Suponhamos que L é aceite por um autómato finito. Então é aceite por algum autómato finito determinísico. Seja A = (S, Σ, δ, s 0, F ). O autómato de pilha P = (S, Σ, {Z}, δ, s 0, Z, F ) em que δ (s, a, Z) = {(δ(s, a), Z)}, aceita L por estados finais. Este autómato imita o autómato finito, não efectuando qualquer alteração da pilha durante o processamento das palavras. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 10

11 APD e AP Proposição A classe de linguagens aceites por autómatos de pilha não determinísticos contém propriamente a classe de linguagens aceites por autómatos de pilha determinísticos. A linguagem {ww r w {a, b} } é aceite por pilha vazia pelo autómato de pilha A = ({s 0, s 1 }, {a, b}, {Z, A, B}, δ, s 0, Z, ) onde δ(s 0, ɛ, Z) = {(s 1, Z)} δ(s 1, ɛ, Z) = {(s 1, ɛ)} δ(s 0, a, Z) = {(s 0, AZ)} δ(s 0, b, Z) = {(s 0, BZ)} δ(s 0, a, B) = {(s 0, AB)} δ(s 0, b, A) = {(s 0, BA)} δ(s 0, a, A) = {(s 0, AA), (s 1, ɛ)} δ(s 0, b, B) = {(s 0, BB), (s 1, ɛ)} δ(s 1, a, A) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, b, B) = {(s 1, ɛ)} Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 11

12 a,z/az b,z/bz a,b/ab b,a/ba a,a/aa b,b/bb s 0 ɛ,z/z a,a/ɛ b,b/ɛ a,a/ɛ b,b/ɛ ɛ,z/ɛ s 1 O autómato passa ao estado s 1 quando imagina que já consumiu metade da palavra dada.no estado s 1 vai tirar da pilha cada A com um a e cada B com b. Como o autómato não pode saber exactamente se a palavra está a meio, tem que ser necessariamente não determinístico. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 12

13 APD e gramáticas ambíguas Uma das caracteristicas importantes das linguagens aceites por APD é que podem ser geradas por gramáticas não ambíguas. Contudo há linguagens com gramáticas não ambíguas que não são aceites por nenhum APD. Exemplo A gramática cujas produções são {S asa bsb ɛ} é não ambígua e gera {ww R w {a, b} }. Mas não há nenhum APD que a aceite. Proposição Se L = N(P ) para algum APD P, então L tem uma gramática independente de contexto não ambígua que a gera. Dem. Vamos ver que se se P for determinístico a gramática produzida na Proposição 17.2 é não ambígua, isto é, as derivações pela esquerda são únicas. Suponhamos que P aceita x por pilha vazia. Então a sequência de mudanças de configuração é única.essa sequência determina uma única escolha de produções Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 13

14 de G numa derivação pela esquerda.contudo uma transição em P δ(q, a, X) = {(r, X 1, X 2,..., X n )} pode dar origem a várias regras em G, com estados diferentes que reflectem os estados de P após retirar cada um dos X i.mas como P é determinístico apenas uma sequência de estados é consistente com a sequência de mudanças em P. Aplicação:os autómatos de pilha determinísticos são usados na construção de analisadores sintácticos em compiladores, etc. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 14

15 Leituras [HMU00] (Cap ) [Tom99] (Pág 72-73,94-98, ) Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [Tom99] Ana Paula Tomás. Apontamentos de modelos de computação. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores, FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 17 15