Gramáticas Regulares

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1 Capítulo 3 Expressões Regulares, Linguagens Regulares es e Gramáticas Regulares 3.1. Expressões Regulares (RE) 3.2. Relação entre ER e Linguagens Regulares (LR) 3.3. Gramáticas Regulares (GR) 3.4. Síntese das equivalências 123

2 3.1. Expresssões regulares (RE) uma forma de descrever linguagens regulares desenvolvidas a partir de : - os símbolos do alfabeto - operadores de união : ou + concatenação: fecho-estrela : * - parênteses 124

3 Exemplo 1 ={a, b, c,..., z} L = {a} é definida pela expressão regular : a L = {d, m, u }, é definida pela expressão regular: d m u ou d+m+u. 125

4 Exemplo 2 qual é a linguagem definida pela expressão regular (a+b c)*? (a+b c)* = (a+b c) 0 (a+b c) 1 (a+b c) (a+b c) 0 : - (a+b c) 1 : a, bc - (a+b c) 2 = (a+b c)(a+b c) : aa, abc, bca, bcbc - (a+b c) 3 : aaa, aabc, abcbc, abca, bcbcbc,

5 Exemplo 3 = {a, b, c} (a+b)* : cadeias di,a, b, aa, bb,ab, b ba, aaa, abbaa, bbbaabab, b b... qualquer cadeia com a s eb s a* b* : cadeias a n b m,n,m 0 ou seja, a,b, aab, aabb, abb, bbb, aabbbb,... (c+ ) : cadeia c 127

6 Definição formal, recursiva, de expressão regular Definição 3.1. Considere-se um dado alfabeto. 1. expressões regulares primitivas a ( para a ) 2. Se r 1 e r 2 são expressões regulares, também o serão i) r 1 +r 2 (união) ii) r 1 r 2, (concatenação) iii) r 1 *, r 2 * (fecho-estrela) iv) (r 1 ), (r 2 ) (parênteses) 128

7 3. Uma cadeia é uma expressão regular se e só se puder ser derivada - a partir das expressões regulares primitivas e - pela aplicação de um número finito de vezes das regras de

8 Exemplos = {0,1} 01* = {0, 01, 011, 0111,..} (01*)(01) = {001, 0101, 01101, ,..} (0+1)* = {, 0, 1, 00, 01, 10, 11,..}, todas as cadeias de 0 e 1 (0+1)*00(0+1)* = {00, 1001,..}, todas as cadeias de 0 e 1 contendo 00 ={abc} {a,b,c} (a+b c)* (c+ ) é expressão regular? (a + c + ) é expressão regular? 130

9 Exemplos : ={0,1} (1+10)* = todas as cadeias iniciadas por 1 e não contendo pares de zeros 00 (0+1)*011 = todas as cadeias que terminam com 011 0*1* = todas as cadeias que não têm um 0 depois de 1 00*11* = todas as cadeias com pelo menos um 0 e um 1, e nenhum 0 depois de 1 131

10 Regras algébricas para expressões regulares Regras comutativas Regras associativas Regras distributivas Identidades e anuladores Regras de fecho Hopcroft, Motwani & Ullman,

11 3121Regrascomutativas e associativas Sejam L, M e N expressões regulares. Então: L + M = M + L comutatividade da união (L + M) ) + N = L + (M + N) ) associatividade da união (LM)N = L(MN) associatividade da concatenação LM = ML?? ttiidd d comutatividade da concatenação 133

12 Regras distributivas L(M +N) =LM+LN LN distributividade à esquerda da concatenação em relação à união (M + N)L = ML + NL distributividade à direita da concatenação em relação à união (MN) + L = (M + L)(N + L) )??? L+(MN) = (L+M)(L+N) + +??? 134

13 Identidadeseanuladores(zeros) e anuladores é a identidade para a união + L = L + = L é a identidade para a concatenação: L = L = L é o anulador para a concatenação L = L = 135

14 Regrasdofechoestrela fecho-estrela (L*)* = L* L + = LL* = L*L L* = L + + * = *= ( L+M )* =(L* M *)*) 136

15 Outras regras algébricas Para provar uma regra algébrica qualquer, por exemplo L + ML = (L + M)L tem que se provar que qualquer cadeia gerada pela RE da esquerda é também gerada pela RE da direita. Para provar que é falsa, basta dar um contra exemplo. Para auxiliar a prova podem-se substituir os símbolos das RE por caracteres de um alfabeto, no caso por exemplo (a+ba) = (a + b)a que facilmente se vê ser falso. ver Hopcroft, Motwani & Ullman,

16 Linguagem associada a uma expressão regular Dfiiã Definição Se r é uma expressão regular, L(r) )denota a linguagem associada com r, e é definida pelas regras: 1. r = é uma expressão regular, o conjunto vazio 2. r = é uma expressão regular, o conjunto { } 3. para todo o a, r = a é uma expressão regular, {a} 138

17 Se r 1 e r 2 são expressões regulares, então 4. L(r 1 +r 2 ) = L(r 1 ) L(r 2 ) 5. L(r 1 r 2 ) = L(r 1 ) L(r 2 ), concatenação de L(r 1 ) com L(r 2 ) 6. L((r 1 )) = L(r 1 ) 7. L(r 1 *) = (L(r 1 ))* 139

18 As regras 4 a 7 usam-se para reduzir recursivamente uma linguagem L a expressões mais simples. As regras 1 a 3 são as condições terminais para esta recursão. Para se verificar qual a linguagem que corresponde a uma dada expressão regular, aplicam-se aquelas regras tantas vezes quantas as necessárias. A precedência dos operadores é a seguinte 1º- fecho- estrela (*), 2º - concatenação ( ), 3º- (+) união 140

19 Exemplos: i) = {x} L(xx*) ={x, { xx, xxx,...}= } L(x + ) L(x(xx)*) ={x, xxx, xxxxx,..} =L(x ímpar ) ii) = { a, b, c } L((a+c)b*) = L(a+c)L(b*) = (L(a) L(c)) (L(b))* = L(c+ ) = { c } ={ac}{ a, c {, bbbbbb b, bb, bbb, } = { a, c, ab, cb, abb, cbb, abbb,..} iii) ={a, { b} L((a+b).(a+b).(a+b)) = L(a+b) L(a+b) L(a+b)={a,b} {a,b} {a,b} = {aaa,, aba, abb, baa, bba,..}, } 141

20 Notas: (a+b)*= (a+b)*+(a+b)* (a+b)* = (a+b)*(a+b)* (a+b)* =a(a+b)*+b(a+b)*+ ( ) 142

21 ={0 {0,1} A) escrever a expressãoregular para a linguagem L ={w { : w terminacomumnúmero ímpar de zeros } r = (0+1)*10(00)* + 0(00)* B) Qual é a linguagem representada pela expressão regular: i) ( )*( +0+00) ii) ((0+1)(0+1))*+((0+1)(0+1)(0+1))* 143

22 Exemplo de linguagens complementares = {0,1} Encontrar uma expressão regular para as linguagens g i) L(r) = {w * : w tem pelo menos um par de zeros consecutivos } Exemplo 3.5, p. 75 Linz ii) L (r) = {w * : w não tem qualquer par de zeros consecutivos } Exemplo 3.6, p. 75 Linz 144

23 Equivalência de expressões regulares Duas expressões regulares são equivalentes se elas denotam a mesma linguagem. Quando se simplifica uma expressão regular, obtêm-se sucessivamente expressões regulares equivalentes. Para uma dada d linguagem existe geralmente um número ilimitado de expressões regulares equivalentes. 145

24 3.2. Relação entre expressões regulares e linguagens regulares Para toda a linguagem regular existe uma expressão regular Para toda a expressão regular existe uma linguagem regular. 146

25 3.2.1 Determinação de linguagens regulares a partir de expressões regulares Uma linguagem é regular se for aceite por um DFA ou um NFA Se se construir um NFA a partir de uma expressão regular r qualquer, r denotará uma linguagem regular L(r). Para o provar, recorre-se à definição recursiva de L(r), aplicando as regras 1-3 para definir os elementos básicos e as regras 4-7 para as composições de elementos básicos. 147

26 1º definem-se NFA para as expressões regulares primitivas i) NFA aceitador de L 1 = : q q r= q 0 q 1 ii) NFA aceitador de L 2 = { } r= q 0 q 1 iii) NFA aceitador de L 3 = {a} r=a a q 0 q 1 148

27 2º Admitamos agora que temos uma expressão regular r e que o NFA que aceira L(r) é representado por M (r) M (r) q 0 q F com o estado inicial q 0 e o estado final q F. Note-se que qualquer NFA pode ser representado com um só estado final. 149

28 3º Temos NFA s M(r 1 )e M(r 2 ) que aceitam as linguagens L(r 1 ) e L(r 2 ). iv) L(r 1 +r 2 ) M (r 1 ) q 0 M (r 2 ) q f 150

29 v) L (r 1 r 2 ) q 0 M (r 1 ) M (r 2 ) q f 151

30 vi) L(r 1 *) q 0 M(r 1 ) q f 152

31 Usando os autómatos anteriores como elementos construtivos é possível construir um NFA para qualquer expressão regular. Teorema 3.1. Se r é uma expressão regular, existe algum autómato finito não-determinístico que aceita L(r). Logo L(r) é uma linguagem regular. 153

32 Exemplo r=1* ,1 q 0 DFA q

33 Determinação de expressões regulares a partir de linguagens regulares A toda a linguagem regular se pode associar um NFA e portanto t um grafo de transições. Partindo do estado q 0, procuram-se todos os caminhos possíveis até ao estado final e as suas etiquetas. É possível depois encontrar uma expressão regular que gere todas essas etiquetas. Para facilitar esta operação, usam-sese os grafos de transição generalizados. 155

34 Grafos de transição generalizados: as arestas podem ser etiquetadas por expressões regulares, a etiqueta de um caminho desde o estado inicial até a um estado finaléé a concatenação das etiquetas t das arestas do caminho, i.e, a concatenação de expressões regulares e portanto é uma expressão regular, as cadeias expressas por essa expressão regular são um subconjunto da linguagem aceite pelo grafo de transição generalizado, a linguagem total será a união de todos os subconjuntos gerados deste modo. 156

35 NFA grafos de transição generalizados expressões regulares 157

36 O grafo de um NFA pode considerar-se um grafo generalizado : Uma aresta etiquetada com um único carácter a interpreta-se como etiquetada pela expressão regular a, Uma aresta etiquetada por vários caracteres a,b,,..., interpreta- se como etiquetada pela expressão regular a + b +..., Pode-se assim afirmar que para toda a linguagem regular existe um grafo de transição generalizado que a aceita, Por outro lado toda a linguagem aceite por um grafo generalizado é uma linguagem regular. 158

37 Grafos equivalentes simplificação de grafos Dois grafos são equivalentes se aceitam a mesma linguagem d e c q i q q j a b a, b, c, d e e são expressões regulares quaisquerq Pode-se eliminar o estado q?? 159

38 Sim, desde que não se altere a linguagem g... d e c q j q q q j i a b q i q i : ae*d q i q j : ae*b q j q i : ce*d q j q j : ce*b 160

39 ae*d ce*d ce*b q i q j ae*b q i q i q i q j q j q j q j q i : ae*d : ae*b : ce*b : ce*d 161

40 Este procedimento assegura que a linguagem g aceite não é alterada Num grafo com mais estados, mais complicado, - este é feito para todos os pares (q i, q j )emq Q {q} antes de se remover q (i.e, todos os pares que estejam ligados a q). 162

41 Teorema Seja L uma linguagem g regular. Então existe uma expressão regular r tal que L = L (r). Demonstração: existe um NFA que aceita L, com um só estado final e tal que o estado inicial q 0 não é estado final. Pode-se interpretar como um grafo de transição generalizado aplica-se-lhe o procedimento anterior de eliminar vértices q, até que se fique apenas com o estado inicial e o estado final, obtendo-se o grafo da figura seguinte 163

42 r 1 r 4 r3 r 3 q 0 q f r 2 r 1, r 2, r 3, r 4 são expressões regulares A linguagem aceite pelo grafo é r=r * r ( r + r r * r )*

43 No caso de se obter um grafo em que o estado inicial i i também é estado final, r 1 r 4 r3 q 0 q r 2 a expressão regular é r = (r 1 * + (r 2 r 4 * r 3 ))* 165

44 ... de facto r 1 r 4 r 3 q 0 q f q r 2 elimine-se i q: q f q : (r f 1 *+(r 2 r 4 *r 3 ))* 166

45 (r 1 * + (r 2 r 4 * r 3 ))* q f r = (r 4 + ))* =r 4 * = (r 1 * + (r 2 r 4 * r 3 ))* q q f ( 4 )) 4 0 r 1 r 4 r3 q 0 q f r = r 1 * r 2 ( r 4 + r 3 r 1 * r 2 ) * r 2 167

46 Exemplo 0 Introduz-se um estado inicial, 0 0 B A C 1 q 0 A 0 B C 1 q 0 0 A 11*0 B 11*0 r 4 0 q 0 A Alicando agora o resultado geral r= (r 4 + )* =r 4 *= r 4 r 4 = ( 0 + (11*0)(11*0)*0 )* 168

47 3.3. Gramáticas Regulares Uma gramática G =(VTS (V,T,S,P) linear à esquerda se todas as suas produções têm a forma A Bx, A x linear à direita se todas as suas produções são da forma A xb, A x A, B B V, conjunto das variáveis, x T*, T conjunto dos símbolos terminais Uma gramática diz-se regular se ela é ou linear à esquerda ou linear à direita 169

48 Exemplo 1 G 1 = ({S}, {a,b}, SP) S, 1 ), linear à direita it P 1 : S abs a Como derivar ababa? S abs ababs ababa Aplicando P 1 sucessivamente obtém-se a linguagem (regular) denotada pela expressão regular r=(ab)*a 170

49 Exemplo 2 G 2 =({S,A,B}, {a,b}, S, P 2 }, linear à esquerda P 2 : S Aab, A Aab B B a Como derivar aababab? S Aab Aabab Aababab Bababab aababab Aplicando P 2 sucessivamente conclui-se que esta gramática gera a linguagem g regular definida pela expressão regular r=aab(ab)* 171

50 Exemplos de gramáticas não-regulares G 3 =({S,A,B}, ({SAB}{a,b}, SP} S, } P: S A, (i) A ab, (ii) B Ab (iii) tem umas produções lineares à direita (i, ii) e outras lineares à esquerda (i, iii) e por isso é linear mas não regular Nem todas as lineares são regulares. 172

51 Determinação das linguagens regulares a partir das gramáticas lineares à direita. Pode-se construir um NFA que imita as derivações da gramática linear à direita. Uma forma sentencial tem uma e uma só variável que é o símbolo mais à direita. A produção D de resulta em ab...cd ab...cde 173

52 ab...cd ab...cde Um NFA pode imitar esta produção se tiver um estado D e um estado E e entre os dois uma aresta etiquetada por d : D d E Estados do autómato : variáveis das formas sentenciais. A parte da cadeia ab...c já processada foi obtida por construções semelhantes anteriores. 174

53 Teorema 3.3. Sj Seja G = (VTS (V,T,S,P) uma gramática linear à direita. Então L(G) ( ) é uma linguagem g regular. Para o demonstrar constrói-se um NFA que imite as produções da gramática. 175

54 V = {V 0,, V 1,..., V n } o conjunto das variáveis da gramática S = V 0 P : V 0 v 1V i V i v 2 V j V n v l v i : sub-cadeias (um ou mais símbolos). Se w é uma cadeia em L(G), a sua produção será V 0 v 1 V i v 1 v 2 V j *... v 1 v 2...v k V n v 1 v 2...v k v l =w 176

55 O NFA imita cada derivação consumindo um v de cada vez; V 0, V i, V j,..., V n são estados do autómato; existem outros entre eles quando os v s s são cadeias com mais de um carácter; é preciso acrescentar o estado final. 177

56 Para a produção: V i a 1 a 2 a 3...a m V j o NFA terá um caminho ligando V i a V j, ou seja *(V i, V j ) existe e será definida por * (V i, a 1 a 2 a 3...a m )=V V j a V 1 a 2 a m i V j 178

57 Para uma produção V i a 1 a 2 a 3...a m a função de transição generalizada será o estado final V f. * (V i, a 1 a 2 a 3...a m ) = V f a V 1 a a 2 m i V f 179

58 Exemplo: G=({S, A, B}, {a,b},s,p) S a A b F a P: S aa ab, A bb b, B aa bb. B Derivação da cadeia ababab : a b b S aa abb abaa ababb ababaa ababab 180

59 Determinação das gramáticas lineares à direita a partir das linguagens regulares Prova-se que toda a linguagem regular pode ser gerada por uma gramática linear à direita: constrói-se o DFA para a linguagem os estados do DFA transformam-se nas variáveis da gramática os símbolos produtores das transições são os terminais das produções. 181

60 Teorema 3.4. Se L é uma linguagem regular no alfabeto, então existe uma gramática linear à direita G = (V,, S,P ) tal que L=L L (G). Demonstração com DFA: Seja M=(Q,,,q 0,F ) o DFA que aceita L,com Q= {q 0,q 1,...q n } ={a 1,a 2,..., a m } Construa-se a gramática linear à direitai G=(V, (, S,P), ) tal que V= {q 0,q 1,...q n } S = q 0 Para cada transição (q i,a j )=q k no DFA M, introduz-e em P d a produção q i a j q k Se q k faz parte de F, acrescenta-se se a P a produção q k 182

61 Demonstração com DFA: Linguagem DFA Gramática LD 183

62 Demonstração com NFA: Seja M=(Q,,,q 0,F ) o NFA que aceita L,com Q= {q 0,q 1,...q n } ={a 1,a 2,..., a m } Construa-se a gramática ái linear à direitai G = (V,, S, P), ) tal que V= {q 0,q 1,...q n } S = q 0 Para cada transição (q i,a j )=q k no NFA M, introduz-e em P a produção q i a j q k Se existir também (q i,a j )=q l, introduz-e em P a produção q i a j q l, ou seja q i a j q k a j q l Para cada transição (q i, ) =q k no NFA M, introduz-e em P d a produção q i q k Se q k faz parte de F, acrescenta-se se a P a produção q k 184

63 Demonstração com NFA: Linguagem NFA Gramática LD Diferente da que se obtém a partir do DFA, mas equivalente. 185

64 Exemplo Construir a gramática linear à direita para a linguagem L(aab*a) O NFA respectivo é a a a q 0 q 1 q 2 q f b Transições em M Produções em G (q 0,a)={q 1 } q 0 aq 1 (q 1,a)={q 2 } q 1 aq 2 (q 2,b)={q) 2 } q 2 bq 2 (q 2,a)={q f } q 2 aq f q f F q f q f q f 186

65 Exemplo:Construir a gramática linear à direita para a linguagem L(aab*a+aa+ab*a) a b q 1 a q 2 a q 3 a q4 b q 0 a q a 5 q 6 q 7 q f Transições em M Produções em G (q 4, )={q f } q 4 q f (q 0, )={q 1,q 5 } q 0 q 1 q 5 (q 5,a)={q 6 } q 5 aq 6 (q 1,a)={q 2 } q 1 aq 2 (q 6,b)={q 6 } q 6 bq 6 (q 2,a)={q) 3, q 4 } q 2 aq 3 aq 4 (q 6,a)={q) 7 } q 6 aq 7 (q 3,a)={q 4 } q 3 aq 4 (q 7, )={q f } q 7 q f (q 3, b)={q 3 } q 3 bq 3 q f F q f 187

66 Equivalência entre linguagens regulares e gramáticas regulares Para as gramáticas lineares à esquerda também se pode enunciar o teorema de equivalência Teorema 3.5. A linguagem L é regular se e só se existir uma gramática linear à esquerda G tal que L=L(G). Podemos finalmente enunciar o teorema de equivalência entre linguagens regulares e gramáticas regulares: Teorema 3.6. Uma linguagem L é regular se e só se existir uma gramática regular G tal que L=L(G). 188

67 3.4. Síntese das equivalências Expressões regulares (ER) Teorema 3.1 Teorema 3.2 DFA ou NFA Teorema 3.3 Teorema 3.4 Gramáticas regulares (GR) 189

68 Teorema 3.1. ER NFA Teorema 3.2 LR ER (LR DFA GTG ER) Teorema 3.3 Gramáticas lineares à direita LR ( Gramáticas lineares à direita NFA LR ) Teorema 3.4 LR Gramáticas Lineares à direita (LR DFA Gramáticas lineares à direita) 190

69 Bibliografia An Introduction to Formal Languages and Automata, Peter Linz, 3rd Ed., Jones and Bartelett Computer Science, 2001 Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, 2nd Ed., John Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey Ullman, Addison Wesley, Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and Christos Papadimitriou, it i 2nd Ed., Prentice Hall, Introduction to the Theory of Computation, Michael Sipser, PWS Publishing Co,