Máquinas Universais. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 1

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1 Máquinas Universais Um modelo de computação diz-se universal se todo o problema efectivamente computável o for nesse modelo. Um modelo universal é suficientemente poderoso para se aceitar a si próprio: existem programas que aceitam como dados codificações de programas. existem máquinas de Turing que aceitam como dados palavras que são a descrição de máquinas de Turing. podemos escrever em C um programa que interprete programas em C A noção de Universalidade está na base da noção de programa guardado em memória e portanto na de software. Relacionado com a Universalidade está a noção de Auto-referência. Esta capacidade vai permitir a construção de problemas indecidíveis. Por exemplo, (e infelizmente) pode-se demonstrar que não há algoritmos que dado um programa em C determinem o seu resultado ou se ele pára. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 1

2 Um problema indecidível Dado um programa em C, determinar se os primeiros 9 caracteres que ele escreve são Ola mundo. Vamos ver que não existe nenhum programa em C para resolver este problema. Por contradição, suponhamos que H é um programa que aceita como dados um programa P e um ficheiro I com os dados para P, e escreve sim se P resolver o problema, e escreve nao, caso contrário:h(i, P ) = sim ou H(I, P ) = nao Modificamos H para um programa H 1 que actua como H excepto que quando H escreve nao, H 1 escreve Ola mundo. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 2

3 Modificamos H 1 para H 2. H 2 aceita apenas como dados o programa P, e actua como H 1 com P como seu programa e dados dele, isto é, H 2 (P ) = H 1 (P, P ). H 2 não pode existir. Se existisse o que escrevia H 2 (H 2 )? Se H 2 (H 2 ) escreve sim então H 2 com dados H 2 não escreve Ola mundo. Mas H 2 (H 2 ) = H 1 (H 2, H 2 ) e H 1 (P, I) escreve sim se e só se P com dados I escreve Ola mundo. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 3

4 Mas neste caso P é H 2 e I é H 2! Então H 2 (H 2 ) escrever sim implica que H 2 (H 2 ) escreve Ola mundo. Absurdo! Se H 2 (H 2 ) escreve Ola mundo, então H 1 (H 2, H 2 ) também o escreve o que indica que H 2 com dados H 2 não escreve Ola mundo. Então H 2 (H 2 ) escrever Ola mundo implica que H 2 (H 2 ) não escreve Ola mundo. Absurdo! Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 4

5 Linguagens Indecidíveis (não recursivas) Linguagens para as quais não existe nenhuma máquina de Turing que as reconheça. Podem ser: recursivamente enumeráveis (r.e): existe uma MT que pára se os dados pertencerem à linguagem, mas pode não parar caso contrário. Equivalentemente, existe uma máquina (de enumeração) que enumera todos os seus elementos. não serem r.e Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 5

6 Máquinas Universais de Turing O poder computacional das máquinas de Turing permite que existam MTs que simulem outras MTs cuja descrição faz parte dos dados. Considere-se a linguagem constituída pelos pares (M, x) tal que: 1. M é (a codificação em binário de) uma máquina de Turing cujo alfabeto de entrada é {0, 1} 2. x {0, 1} 3. M aceita x As máquinas U que aceitam esta linguagem denominam-se Máquinas de Universais de Turing, i.e, L u = L(U) = {(M, x) x L(M)} Iremos ver que w L u? é um problema indecidível. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 6

7 Enumeração das palavras de {0, 1} Podemos considerar a seguinte bijecção f entre {0, 1} e N: {0, 1} f N ɛ x é a representação binária de f(x). A i-ésima palavra designa-se por x i. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 7

8 Codificações de MTs Vamos codificar qualquer máquina de Turing de alfabeto {0, 1} numa palavra de {0, 1}.Como vimos que a cada palavra está associado um inteiro i, poderemos falar na i-ésima MT, M i.seja Associamos M = ({s 1, s 2,..., s k }, {0, 1}, {X 1, X 2,..., X m }, δ, s 1,, {s 2 }) aos estados os inteiros correspondentes (em unário). Sendo s 1 o inicial e s 2 o final. aos símbolos de fita, os inteiros correspondentes (em unário), supondo que X 1 = 0, X 2 = 1 e X 3 = A direcção será referida por D 1 e a, por D 2. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 8

9 Então, uma transição δ(s i, X j ) = (s k, X l, D m ) será codificada pela palavra: 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m O código da MT M é composto (apenas) pelos códigos das transições C i separados por um par de 1 s: C 1 11C C n 1 11C n Para codificar (M, x) podemos separar o código de M do de x por 111. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 9

10 Exercício Codifica a máquina M = {{s 1, s 2, s 3 }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, s 1,, {s 2 }} δ(s 1, 1) = (s 3, 0, ) δ(s 3, 0) = (s 1, 1, ) δ(s 3, 1) = (s 2, 0, ) δ(s 3, ) = (s 3, 1, ). Resolução Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 10

11 Linguagem de diagonalização Com a codificação apresentada podemos dizer que a i-ésima máquina de Turing M i é a máquina de Turing cuja codificação é x i. Claro que nem todos os i correspondem a codificações de MT s. Mas, podemos supor que esses is correspondem a máquinas de Turing M i tal que L(M i ) =. Seja a linguagem L d L d = {x i {0, 1} x i / L(M i )} L d (linguagem de diagonalização) é constituída pelas palavras x tal que a MT M cujo código é x não aceita x como dados. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 11

12 Como se obtém L d? Construa-se a tabela em N N {0, 1} tal que: o par (i, j) tem o valor 1 se a MT M i aceita x j e 0, caso contrário. Por exemplo, poderíamos ter: i\j A linha i corresponde a L(M i ): os 1 s indicam quais as suas palavras. Os elementos da diagonal indicam se M i aceita x i. Para construir L d complementamos a diagonal: 1, 0, 0, 0,... E L d será formada pelos x j cujo valor é 1. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 12

13 Mas, então L d não pode corresponder a nenhuma linha da tabela! Porque é diferente nalguma coluna de todas as linhas da tabela Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 13

14 L d não é r.e. Teorema Não existe nenhuma máquina de Turing que aceite L d. Logo L d não é recursivamente enumerável. Suponhamos que L d = L(M) para alguma MT M de alfabeto {0, 1}. Então existe pelo menos um código i, tal que M i = M. Será que x i L d? Se x i L d então M i aceita x i. Mas por definição de L d, x i / L d. ABSURDO! Se x i / L d, então M i não aceita x i. Mas por definição de L d, x i L d. ABSURDO! A contradição resultou de supor que existia M tal que L d = L(M). Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 14

15 Linguagens Temos então: linguagens recursivas linguagens recursivamente enumeráveis linguagens não recursivamente enumeráveis Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 15

16 Fecho das linguagens recursivas para a complementação O estudo das linguagens complementares pode permitir distinguir se uma linguagem é r.e mas não recursiva! Teorema Se L é recursiva, L é recursiva Dem. Suponhamos que L = L(M) para uma MT M que pára sempre.basta construir uma MT M igual a M excepto em que os estados finais de M passam a não o ser em M tem um novo estado de final r, sem transições dele. para cada par (estado não final de M,símbolo da fita) sem transições em M, acrescenta-se uma transição para o estado r. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 16

17 Teorema também o é L) Se L e L são r.e., então L é recursiva (e portanto, Dem. Seja L = L(M 1 ) e L = L(M 2 ). Construímos uma MT M que simula em paralelo M 1 e M 2, usando duas fitas e estados cujas componentes são os de M 1 e M 2. Se com dados w, M 1 aceitar, M aceita. Senão w / L, mas w L.Então, M 2 tem de aceitar w.nessa altura M pára e rejeita.portanto, com todos os dados M pára e L(M) = L. Logo L é recursiva. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 17

18 Linguaguens e Complementos As linguagens podem dividir-se em: D recursivas SD r.e não-sd não r.e Há apenas 4 maneiras de uma linguagem L e L se situarem no diagrama: Ambas L e L são recursivas:estão em D Nem L nem L são r.e: estão em não-sd L é r.e mas não recursiva e L não r.e:l em SD\D e L em não-sd L é r.e mas não recursiva e L não r.e: L em SD\D e L em não-sd Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 18

19 Exemplo Como L d é não r.e, podemos concluir que L d não é recursiva, mas poderá ser r.e ou não r.e... Exercício Quais os casos que não são possíveis? Dá exemplos de linguagens em cada um dos restantes casos. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 19

20 Máquina de Turing Universal, U Podemos agora descrever uma máquina universal U tal que L u = L(U) = {(M, x) x L(M)} Com dados (M, x) (codificados, como vimos), U simula M com dados x. 1. examina os dados da 1 ā fita e verifica se até 111 é um código legítimo para uma MT. Senão pára sem aceitar. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 20

21 2. copia para a 2 ā fita os dados x codificando para símbolos da fita: 10 se for 0 (em x) e 100 se for 1. Coloca a cabeça dessa fita no ínicio dos dados. 3. colocar 0 na 3 ā fita. 4. para simular um movimento de M, U procura uma transição 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m, tal que 0 i é o valor da 3 ā fita, 0 j o símbolo de fita que começa na cabeça da 2 ā fita de U. U muda o valor da 3 ā fita para 0 k, substituí 0 j por 0 l na 2 ā fita e move a cabeça da 2 ā fita para o próximo 1 à esquerda (m = 1) ou à direita (m = 2). 5. Se não houver transições de um estado não final, M pára e U também. 6. Se M pára num estado final, U aceita o par (M, x). Se M não pára, U também não pára. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 21

22 L u é r.e mas não é recursiva A descrição da máquina U garante que L u é r.e.: U aceita (M, x) se x L(M). Suponhamos que L u é recursiva.então L u = {(M, x) x / L(M)} também o é. Mas então também teriámos uma MT que aceitava L d! O que seria absurdo! Seja L(M 1 ) = L u. Podemos modificar M 1 para uma MT M 2 que aceita L d = {(x, x) x / L(x)} M 2 modifica os dados para x111x. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 22

23 M 2 simula M 1 nos novos dados. Se x é codificação duma M i,m 1 verifica se M i aceita x. M 1 aceita se e só se M i não aceita x i, i.e, se x i L d.isto é L(M 2 ) = L d. Absurdo! Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 23

24 O problema da paragem é indecidível Suponhamos que uma máquina de Turing aceita por paragem (e não por estado final). Dada uma MT M, seja H(M) = {x M pára com dados x} L h = {(M, x) x H(M)} denomina-se o problema da paragem (halting problem) de máquinas de Turing. Teorema L h é r.e mas não recursiva. Dem. Vamos transformar uma máquina de Turing que aceita por estados finais, numa que só pára se aceitar. Isto é, dada uma MT M e dados x, podemos construir uma MT N exactamente igual a M, excepto que N não pára se M rejeita x. Isto é, N pára com dados x sse M aceita x. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 24

25 Para todo o x, x H(N) sse x L(M).Como L u é r.e, então L h é r.e Mas se L h fosse recursiva L u também o era. Suponhamos que existe uma MT K que reconhecia L h, então vamos ver que existia uma MT K que reconhecia L u : dado (M, x), constrói N e determina, usando K, se x H(N) (i.e x L(M)) Mas x L(M) se e só se (M, x) L u. Então K reconhecia L u (seria recursiva). Absurdo! Logo, L h r.e mas não é recursiva. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 25

26 Leituras [HMU00] (Cap 9.1-2) [Mor96] Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [Mor96] Nelma Moreira. Computabilidade: uma introdução. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 23 26