Formas normais. Forma normal de Greibach (FNG) todas as produções são da forma

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1 Formas normais Em muitas aplicações, é útil que as GIC tenham regras de tipos especiais. Para tal é necessário que se possa transformar qualquer gramática numa equivalente (isto é que gere a mesma linguagem) e que esteja em forma normal.as formas normais mais úteis são: Forma normal de Chomsky (FNC) todas as produções são da forma A BC ou A a, para A, B, C V e a Σ Vantagem: as árvores de derivação são binárias Forma normal de Greibach (FNG) todas as produções são da forma A ab 1 B 2... B k, para algum k 0 e A, B 1,... B k V e a Σ. Vantagem: em cada passo de derivação um terminal é consumido. x = n e x L(G) então S n x. Isto é se Nota: Nenhuma gramática em FNC ou FNG gera a palavra vazia ɛ! Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 1

2 Exemplos Gramáticas para a linguagem dos parêntesis bem casados, sem ɛ, respectivamente, em FNC e FNG, são: G fnc = ({S, A, B, C}, {(, )}, { S AB SS AC }, S) C SB A ( B ) G fng = ({R, X}, {(, )}, { R (X (RX (XR (RXR }, R) X ) Derivações pela esquerda para ()(()) : S SS ABS (BS ()S ()AC ()(C ()(SB ()(ABB ()((BB ()(()B ()(()) R (XR ()R ()(RX ()((XX ()(()X ()(()) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 2

3 Simplificação de g.i.c. Vamos ver que qualquer gramática que não gere ɛ é equivalente a outra que: não tenha variáveis inúteis, i.e que não gerem alguma sequência de terminais a partir do símbolo inicial não tenha produções-ɛ A ɛ não tenha produções unitárias A B Sem este tipo de regras é garantido que, em cada passo da derivação, a forma sentencial resultante: ou cresce estritamente ou contém mais um símbolo terminal Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 3

4 Eliminação de variáveis inúteis Dado G = (V, Σ, P, S), X V é útil se gera alguma sequência de terminais a partir do símbolo inicial, i.e, se existe uma derivação S αxβ w e w Σ.Para que X V seja útil: 1. w Σ X w, i.e,, X é um gerador de G 2. X V, S αxβ, i.e, X é atingível de S. Lema Dada G = (V, Σ, P, S) tal que L(G), existe um algoritmo que determina G = (V, Σ, P, S) equivalente a G e que cada variável de V V gera algum w Σ. Dem. (Ideia da demonstração) V é o menor conjunto tal que: Base. V = Σ Indução. Se existe A α para algum α (Σ V ), então A V. e P = {X α; X α P, X V, α (Σ V ) }. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 4

5 Exercício Demonstra que em V estão todos e só os geradores de G Lema Dada G = (V, Σ, P, S), existe um algoritmo que determina G = (V, Σ, P, S) equivalente a G em que cada variável X V V é atingível de S. Dem. V e Σ são os menores conjuntos tal que: Base. V = {S} e Σ = Indução. Se X V então todas as variáveis que ocorram em produções-x são colocados em V e todos os terminais em Σ e P = P {X α X V } Proposição Seja G = (V, Σ, P, S) uma g.i.c. e L(G). Seja G 1 = (V 1, Σ 1, P 1, S) obtida eliminando primeiro as variáveis não geradoras e depois, da gramática obtida, todos os símbolos não atíngiveis de S. Então G 1 não tem símbolos inúteis e L(G) = L(G 1 ) Exercício Demonstra a proposição anterior. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 5

6 Eliminar produções-ɛ e produções unitárias Lema Para cada G = (V, Σ, P, S), existe uma gramática G sem produçõesɛ nem produções unitárias e tal que L(G ) = L(G) \ {ɛ}. Dem. Seja P o menor conjunto que contém P e é fechado para as seguintes regras: (a) se A αbβ e B ɛ estão em P, então A αβ P (b) se A B e B γ estão em P, então A γ P Nota que este processo é finito assim como o P! Seja Ĝ = (V, Σ, P, S).Como P P, temos L(G) L(Ĝ). Mas,temos mesmo, L(G) = L(Ĝ), porque cada produção acrescentada correspondia a dois passos de derivação em G. Vamos ver que para x Σ \ {ɛ}, qualquer derivação de tamanho mínimo S x não usa nenhuma produções-ɛ nem produções unitárias. Ĝ Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 6

7 Logo poderão ser apagadas de P. G é a gramática que se obtém de Ĝ eliminando essas produções. Seja x ɛ e seja a derivação de menor tamanho S Ĝ x. Suponhamos, por contradição, que uma produção-ɛ é usada: S Ĝ γbδ 1 Ĝ γδ Ĝ x. Mas γδ tem de ser não nulo (senão x = ɛ) e portanto tem de haver uma forma sentencial anterior que já continha B: S m Ĝ ηaθ 1 Ĝ ηαbβθ ṋ G γbδ 1 Ĝ γδ k Ĝ x mas, então, por (a), A αβ P e portanto podia ter sido aplicada, conduzindo a uma derivação de x de tamanho menor: S m Ĝ ηaθ 1 Ĝ ηαβθ ṋ G γδ k Ĝ x Absurdo!. De modo similar, podemos mostrar que produções unitárias não aparecem em derivações de tamanho mínimo. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 7

8 Seja x ɛ e seja a derivação de menor tamanho S Ĝ x. Suponhamos, por contradição, que uma produção unitária A B é usada: S Ĝ αaβ 1 Ĝ αbβ Ĝ x mas então, mais tarde B será substituído: S m Ĝ αaβ 1 Ĝ αbβ ṋ G ηbθ 1 Ĝ ηγθ k Ĝ x Mas, então, por (b), A γ P e portanto podia ter sido aplicada, conduzindo a uma derivação de x de tamanho menor: S m Ĝ αaβ 1 Ĝ αγβ ṋ G ηγθ k Ĝ x Absurdo! Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 8

9 Forma normal de Chomsky Converter uma g.i.c. G = (V, Σ, P, S), com ɛ / L(G) numa equivalente em FNC.Depois de eliminarmos as produções-ɛ, as produduções unitárias, e as variávies inúteis ou se tem produções da forma A a ou de tamanho 2. Para obter a FNC: 1. Para cada a Σ introduz-se um não-terminal A a e a produção A a a.e substitui-se cada ocorrência de a nos lados direitos de outras regras por A a. 2. Então, todas as produções são da forma A a ou A B 1 B 2... B k, k 2 e b i V. 3. Para cada produção A B 1 B 2... B k, k 3, introduz-se um novo não terminal C e substituí-se essa produção por duas novas: A B 1 C e C B 2... B k Continua-se este passo até não haver mais regras com lados direitos de tamanho maior que 2. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 9

10 Exercício método anterior. Demonstra que G é equivalente à gramática FNC obtida pelo Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 10

11 Exemplo Dada a gramática para a linguagem L de parêntesis bem casados G = ({S}, {(, )}, {S (S) SS ɛ}, S) vamos determinar uma FNC para L(G) \ {ɛ}: Eliminando as produções-ɛ vem: S (S) SS () Não tem produções unitárias para eliminar Não tem não terminais inúteis Introduzimos dois não terminais A e B, e substituímos as produções: S ASB SS AB, A ( B ) Finalmente, adiciona-se um novo não terminal e substituí-se S ASB por S AC e C SB A gramática obtida é a dada na página 2. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 11

12 Para determinar uma gramática na forma normal de Greibach equivalente a uma dada gramática na forma normal de Chomsky, vamos precisar dos seguintes lemas: Lema Seja G = (V, Σ, P, S) uma GIC, seja A α 1 Bα 2 P e sejam B β 1 β r as produções-b. A gramática que se obtem substituindo A α 1 Bα 2 em G, por A α 1 β 1 α 2 α 1 β r α 2 é equivalente a G Lema [(eliminação da recursão à esquerda)] Sejam G = (V, Σ, P, S) uma GIC e A Aα 1 Aα r as A-produções cujo símbolo mais à esquerda na parte direita é A. Sejam A β 1 β s as restantes A-produções em P. Seja B um novo não terminal. A gramática G 1 = (V {B}, Σ, P 1, S) obtida de G por substituição das produções-a por A β i B α j A β i B B α j B com 1 i s e 1 j r, é equivalente à gramática G. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 12

13 Forma normal de Greibach Seja G = (V, Σ, P, S) uma gramática em forma normal de Chomsky. Suponhamos que V = {A 1, A 2,..., A m }. 1. Transformar as produções em P de modo que se A i A j γ então j > i. Para A k com k = 1... m, se A k A j γ P e j < k, substituímo-la pelo conjunto de regras que resultam da aplicação do Lema 13.4 a A j. Aplicando o mesmo processo, a cada uma das regras assim obtidas, obtém-se um conjunto de produções da forma A k A j γ, em que j k (no máximo k 1 vezes) substituímos as produções da forma A k A j γ com k = j, como descrito no Lema 13.5, introduzindo uma nova variável B k. 2. Obtemos então produções da forma: A i A j γ, com j > i A i aγ, com a Σ B i γ, com γ (V {B 1,..., B i 1 }) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 13

14 3. Na parte direita de cada produção para A m, o símbolo mais à esquerda tem que ser um terminal (já que não há nenhum não terminal com um índice superior a m). Na parte direita de cada regra para A m 1, o símbolo mais à esquerda tem que ser ou A m ou um terminal.quando uma dada regra para A m 1 tiver A m como símbolo mais à esquerda, podemos usar as produções de A m para substituir as regras de A m 1 de forma a ter sempre um terminal como símbolo mais à esquerda. Se continuarmos a aplicar o mesmo processo aos restantes não terminais, A m 2,... A 2, A 1, garantimos que o lado direito das produções dos A i s começa por um terminal. 4. o lado direito das produções dos B i s não pode começar por um B j (G em FNC), sendo ou um terminal ou um dos A j s.basta aplicar, se necessário, uma transformação igual à que acabámos de descrever para alterar as produções dos B i s de forma a começarem por um terminal. Exercício Obter uma FNG para a gramática dos parêntesis bem casados a partir da FNC, ordenando V = {S, C, A, B}. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 14

15 Leituras [HMU00] (Cap. 7.1) [Tom99] (Pág ) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 15

16 Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [Tom99] Ana Paula Tomás. Apontamentos de modelos de computação. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores, FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 13 16