Teoria das Linguagens. Linguagens Formais e Autómatos (Linguagens)

Transcrição

1 Teoria das Lic. em Ciências da Computação Formais e Autómatos () Carla Mendes Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho 2010/2011 Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 1 / 17

2 The fundamental aim in linguistic analysis of language L is to separate the grammatical sequences which are sentences of L from the ungrammatical sentences which are not sentences of L and to study the structure of grammatical sequence. Avram Noam Chomsky (1928) O estudo de linguagens formais e da teoria de autómatos emergiu na década de 1950, altura em que Noam Chomsky introduziu a formalização matemática da noção de linguagem. Neste capítulo estudamos algumas classes importantes de linguagens formais assim como os modelos abstractos de computação que permitem fazer o reconhecimento sintáctico destas linguagens. Mais precisamente, iremos estudar linguagens regulares e autómatos finitos, linguagens independentes de contexto e autómatos de pilha. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 2 / 17

3 Nesta secção começamos por introduzir alguns conceitos básicos sobre linguagens que são fundamentais neste capítulo. Nos dicionários encontramos o termo linguagem definido informalmente como sendo um sistema adequado para expressar ideias, factos ou conceitos, incluindo um conjunto de símbolos e regras para a sua manipulação. Embora isto nos dê uma ideia intuitiva do que é uma linguagem não é suficiente para o estudo de linguagens formais. Definição 1.1 Um alfabeto A é um conjunto finito não vazio cujos elementos são designados por letras. Uma palavra sobre A é uma sequência finita de elementos de A; a sequência vazia de símbolos designa-se por palavra vazia, e representa-se por ǫ. O comprimento de uma palavra w, representado por w, é o número de símbolos de w. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 3 / 17

4 Exemplo 1.2 Seja A = {a,b,c}. Então w 1 = acb, w 1 = bbaca e ǫ são palavras sobre A e tem-se w 1 = 3, w 2 = 5 e ǫ = 0. Definição 1.3 Duas palavras a 1 a 2...a n e b 1 b 2...b m sobre um alfabeto A dizem-se iguais se n = m e, para cada i {1,...,n}, a i = b i. O conjunto de todas as palavras sobre A é representado por A e o conjunto de todas as palavras não vazias de A é representado por A +. Exemplo 1.4 Sendo A = {a,b}, tem-se A = {ǫ,a,b,aa,bb.ab.ba.aaa.bbb,abb,aba,...} e A + = A \{ǫ}. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 4 / 17

5 Definição 1.5 Dado um alfabeto A, seja : A A A a operação que a duas palavras u,v de A associa a palavra representada por u v (ou apenas por uv) e que é definida por u v = v, se u = ǫ; u v = u, se v = ǫ; u v = a 1 a 2...a n b 1 b 2...b m, se u = a 1 a 2...a n e v = b 1 b 2...b m são palavras não vazias. A esta operação dá-se a designação de concatenação (produto) de duas palavras de A. Se u é uma palavra sobre um alfabeto A e n N 0, representa-se por u n : a palavra vazia, caso n = 0; o produto de n cópias de u, caso n N. A palavra u n designa-se por { potência-n de u e pode ser definida recursivamente por u n ǫ se n = 0, = u n 1 u se n N. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 5 / 17

6 A respeito da operação de concatenação de duas palavras é simples provar as seguintes propriedades. Proposição 1.6 Dado um alfabeto A, tem-se, para quaisquer u,v,w A e m,n N 0 : (i) ǫu = u = uǫ (ii) (uv)w = u(vw) (iii) uv = uw v = w (iv) vu = wu v = w (v) uv = u + v ; (vi) u n+m = u n u m ; (vii) (u n ) m = u nm ; (viii) u n = n u. (ǫ elemento neutro do produto); (propriedade associativa do produto); (lei do corte à esquerda); (lei do corte à direita); Sejam u,v,w palavras sobre um alfabeto A. Então, atendendo a que a operação de concatenação de palavras é associativa, podemos escrever uvw como simplificação de (uv)w e de u(vw). Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 6 / 17

7 Note-se que a operação de concatenação não é, em geral, comutativa. Por exemplo, dadas as palavras u = ab,v = ba {a,b}, tem-se uv = abba baab = vu. Recorrendo à operação de concatenação, podemos definir indutivamente o conjunto A. Este tipo de definição pode ser útil na prova de certas propriedades referentes a este conjunto. Proposição 1.7 Dado um alfabeto A, o conjunto A é o conjunto definido indutivamente pelas regras seguintes: (i) ǫ A ; (ii) Se w A e a A, então wa A. O conjunto A + também admite uma definição indutiva. Uma vez que a palavra ǫ não pertence a A + basta modificar a definição anterior da forma que se apresenta a seguir: Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 7 / 17

8 Proposição 1.8 Dado um alfabeto A, o conjunto A + é o conjunto definido indutivamente pelas regras seguintes: (i) Se a A, então a A + ; (ii) Se w A + e a A, então wa A +. Definição 1.9 Sejam A um alfabeto e u,v A. Diz-se que: u é um factor de v se existem x,y A tais que v = xuy; u é um prefixo de v se existe y A tal que v = uy; u é um sufixo de v se existe y A tal que v = yu; u é um factor próprio (resp., prefixo próprio, sufixo próprio) de v se u é um factor (resp. prefixo, sufixo) de v e u v. Exemplo 1.10 Sejam A = {0,1} e u = Então os factores de u são: ǫ, 0, 1, 01, 10, 010, 101 e u; os prefixos de u são: ǫ, 0, 01, 010 e u; os sufixos são: ǫ, 1, 01, 101 e u. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 8 / 17

9 Definição 1.11 Sejam A um alfabeto e u A. Designa-se por palavra inversa de u, e representa-se por u I, a palavra de A definida por { u I ǫ se u = ǫ, = av I se u = va com v A e a A. Exemplo 1.12 Sejam A = {0,1} e u = Então u I = Proposição 1.13 Seja A um alfabeto. Então, para quaisquer n N, a 1,a 2...,a n A e u,v A, tem-se (i) (a 1 a 2...a n ) I = a n...a 2 a 1 ; (ii) (uv) I = v I u I ; (iii) (u I ) I = u. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 9 / 17

10 Definição 1.14 Dado um alfabeto A, designa-se por linguagem sobre A, qualquer subconjunto de A. Exemplo 1.15 Seja A = {0,1}. Então são exemplos de linguagens sobre A os seguintes subconjuntos de A :, {ǫ}, {0}, A, {00,11,000,111}, A, A +, {0 n 1 n : n N 0 }. O conjunto P(A ) de todas as linguagens sobre A é representado por L(A). Uma vez que as linguagens são conjuntos, podemos definir entre linguagens as operações usuais de união, intersecção e complementar. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 10 / 17

11 Definição 1.16 Sendo L 1, L 2 são linguagens sobre um alfabeto A, define-se L 1 L 2 = {x A : x L 1 ou x L 2 }; (união de L 1 e L 2 ) L 1 L 2 = {x A : x L 1 e x L 2 } (intersecção de L 1 e L 2 ) L 1 \L 2 = {x A : x L 1 e x L 2 } (complementar de L 1 em L 2 ) L 1 = A \L 1 (complementar de L 1 ). Recorrendo à operação de concatenação de palavras, define-se também a seguinte operação de linguagens. Definição 1.17 Dadas linguagens L 1 e L 2 sobre um alfabeto A, designa-se por concatenação (ou produto) de L 1 e L 2, e representa-se por L 1 L 2 (ou apenas por L 1 L 2 ), a linguagem L 1 L 2 = {uv A : u L 1 e v L 2 }. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 11 / 17

12 Exemplo 1.18 Sejam L 1 = {a,ba} e L 2 = {b,ab} linguagens sobre o alfabeto {a,b}. Então L 1 L 2 = {ab,aab,bab,baab} e L 2 L 1 = {ba,bba,aba,abba}. Sendo u uma palavra e L uma linguagem sobre um alfabeto A, é usual escrever ul e Lu em vez de {u}l e L{u}, respectivamente. Sejam A um alfabeto e u palavra sobre A. Então ua = {ux : x A }; A u = {xu : x A }; A ua = {xuy : x,y A }, representam, respectivamente, o conjunto de palavras de A que têm u como prefixo, como sufixo e como factor, respectivamente. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 12 / 17

13 Exemplo 1.19 Para A = {a,b,c}, (abca A cba )\A a representa a linguagem das palavras sobre A que começam por abc, têm cb como factor e não terminam em a. Da definição de concatenação de linguagens e de algumas propriedades relativas à concatenação de palavras, resultam as igualdades seguintes: Proposição 1.20 Para quaisquer linguagens L, L 1, L 2 e L 3 sobre um alfabeto A, tem-se: (i) L = = L ; (ii) ǫl = L = Lǫ; (iii) (L 1 L 2 )L 3 = L 1 (L 2 L 3 ); (iv) L 1 (L 2 L 3 ) = L 1 L 2 L 1 L 3. (v) (L 2 L 3 )L 1 = L 2 L 1 L 3 L 1. Uma vez que a concatenação de linguagens é associativa, escrevemos L 1 L 2 L 3 como simplificação de (L 1 L 2 )L 3 e de L 1 (L 2 L 3 ). Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 13 / 17

14 Definição 1.21 Sejam L uma linguagem sobre um alfabeto A e n N 0. Define-se potência-n de L, e representa-se { por L n, a linguagem definida recursivamente por L n {ǫ} se n = 0, = L n 1 L se n N. Definição 1.22 Seja L uma linguagem sobre um alfabeto A. Designa-se por: estrela de L ou fecho (de Kleene) de L, e representa-se por L, a união de todas as potências de L, i.e. L = n N 0 L n. fecho positivo de L, e representa-se por L +, a união de todas as potências positivas de L, i.e., L + = n NL n. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 14 / 17

15 Note que as notações A e A + são coerentes com as definições de fecho de Kleene e de fecho positivo. Por exemplo, {0} = {ǫ,0,00,000,0000,...} = {0 n : n N 0 } tanto representa o conjunto de todas as palavras sobre o alfabeto A = {0} como também representa o fecho de Kleene da linguagem L = {0}. A respeito dos operadores fecho de Kleene e fecho positivo, são válidas as propriedades seguintes: Proposição 1.23 Sejam A um alfabeto e L uma linguagem sobre A. Tem-se: (i) = {ǫ}, + =, {ǫ} = {ǫ} = {ǫ} + ; (ii) L L + L ; (iii) ǫ L + se e só se ǫ L; (iv) LL = L + = L L. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 15 / 17

16 Definição 1.24 Sejam A um alfabeto, L uma linguagem sobre A e u uma palavra sobre A. Chama-se: resíduo esquerdo de L relativamente à palavra u à linguagem u 1 L = {x A : ux L}; resíduo direito de L relativamente à palavra u à linguagem Lu 1 = {x A : xu L}. Exemplo 1.25 Sejam A = {a,b} e L = {a,aba,ba,bbaa,abba}. Então ǫ 1 L = L; Lǫ 1 = L; a 1 L = {ǫ,ba,bba}; La 1 = {ǫ,ab,b,bba,abb}; b 1 L = {a,baa}; Lb 1 = ; (aa) 1 L = ; L(aa) 1 = {bb}; (ab) 1 L = {a,ba}; L(ab) 1 = ; (bba) 1 L = {a}; L(bba) 1 = {a}. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 16 / 17

17 É simples verificar as propriedades seguintes: Proposição 1.26 Sejam A um alfabeto, a A, u uma palavra sobre A e L uma linguagem sobre A. Então (i) u 1 (L 1 L 2 ) = u 1 L 1 u 1 L 2 ; (ii) u 1 (L 1 L 2 ) = u 1 L 1 u 1 L 2 ; (iii) u 1 (L 1 \L 2 ) = u 1 L 1 \u 1 L 2 ; { (a (iv) a 1 (L 1 L 2 ) = 1 L 1 )L 2 se ǫ L 1 (a 1 L 1 )L 2 a 1 ; L 2 se ǫ L 1 (v) a 1 L = (a 1 L)L ; (vi) (uv) 1 L = v 1 (u 1 L). Propriedades análogas são válidas para o resíduo direito. Teoria das - LCC /2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ. do Minho 17 / 17