Prof. Dr. Marcos Castilho. Departamento de Informática/UFPR. 27 de Fevereiro de 2018

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1 27 de Fevereiro de 2018

2 Definição: Concatenação Sejam u, v Σ. A concatenação de u e v, denotado por uv é a operação binária sobre Σ assim definida (i) BASE: Se tamanho(v) = 0 então v = λ e uv = u. (ii) PASSO RECURSIVO: Seja v uma palavra com tamanho tamanho(v) = n > 0. Então v = wa para algum w Σ com tamanho(w) = n 1 e a Σ, e uv = (uw)a. (iii) FECHO: Uma palavra w é a concatenação de duas palavras u e v somente se podem ser obtidas a partir da BASE com um número finito de aplicações do passo recursivo.

3 Exemplo Sejam u = ab, v = ca, w = bb. Então: uv = abca vw = cabb (uv)w = abcabb u(vw) = abcabb

4 Teorema Sejam u, v, w Σ. Então (uv)w = u(vw). Prova: (por indução no tamanho de w). BASE: tamanho(w) = 0. Portanto w = λ e (uv)w = uv, pela definição de concatenação. HIPÓTESE DE INDUÇÃO: Suponhamos que (uv)w = u(vw), w Σ tamanho(w) n, n 0.

5 Continuação da prova PASSO DE INDUÇÃO: Seja w Σ tamanho(w) = n + 1. Então: (uv)w = (uv)(za), substituição de w = za, a Σ, = ((uv)z)a, pela definição de concatenação, = (u(vz)a), pela hipótese de indução, = u((vz)a), pela definição de concatenação, = u(v(za)), pela definição de concatenação, = u(vw), substituindo za = w.

6 Observação 1 Assim, podemos omitir os parênteses de uma sequência de aplicações da concatenação.

7 Observação 2 Podemos usar as seguintes abreviações: uu = u 2 uuu = u 3 λ = u 0 e assim por diante.

8 A concatenação não é comutativa Prova (por contraexemplo) u = ab v = ca uv = abca vu = caab E portanto, por exemplo: u 2 = (ab) 2 = abab aabb = a 2 b 2.

9 Definição: subpalavra Podemos definir subpalavra usando o conceito de concatenação: u é subpalavra de v se x, y Σ v = xuy

10 Definições Se v = xuy: um prefixo de v é uma subpalavra u tal que x = λ um sufixo de v é uma subpalavra u tal que y = λ e v = xu

11 Definição: palavra reversa Seja u Σ uma palavra. A palavra reversa de u, denotada u R é assim definida: BASE: tamanho(u) = 0. Então u = λ e λ R = λ PASSO RECURSIVO: Se tamanho(u) = n > 0, então u = wa, w Σ, a Σ, onde tamanho(w) = n 1 e u R = aw R. FECHO: Uma palavra reversa u R só pode ser obtida a partir de uma palavra u se puder ser obtida a partir da base por um número finito de aplicações do passo recursivo.

12 Teorema Sejam u, v Σ. Então (uv) R = v R u R. Prova: (por indução no tamanho de v). BASE: tamanho(v) = 0, logo v = λ e (uv) R = u R = λu R = v R u R. HIPÓTESE DE INDUÇÃO: Suponhamos que (uv)r = v R u R para qualquer v Σ tal que tamanho(v) n, n 0.

13 Continuação da prova PASSO DE INDUÇÃO: Seja v Σ tamanho(v) = n + 1, isto é, v = wa, w Σ, tamanho(w) = n e a Σ. Assim: (uv) R = (u(wa)) R = ((uw)a) R, associatividade da concatenação = a(uw) R, definição de palavra reversa = a(w R u R ), pela hipótese de indução = (aw R )u R, associatividade da concatenação = (wa) R u R, pela definição de palavra reversa = v R u R.

14 Exercícios 1. Dê uma definição recursiva para o tamanho de uma palavra sobre Σ. Use a operação primitiva da definição de palavra. 2. Usando indução em i, prove que (w R ) i = (w i ) R, w Σ e i Prove, usando indução no tamanho da palavra, que (w R ) R = w, w Σ.

15 Especificação finita de linguagens Linguagens interessantes têm palavras com formas específicas que requerem uma definição não ambígua. Solução 1: descrever todos os elementos da linguagem, o que é impossível para linguagens infinitas. Solução 2: apenas para linguagens simples, usar definições recursivas.

16 Exemplo 1 A linguagem L das palavras sobre o alfabeto Σ = {a, b} onde as palavras começam com um a e têm tamanho par. BASE: aa, ab L PASSO RECURSIVO: Se u L então uaa, uab, uba, ubb L. FECHO: Só podem pertencer à L as palavras obtidas a partir da base com um número finito de aplicações do passo recursivo.

17 Exemplo 2 A linguagem L de palavras sobre o alfabeto Σ = {a, b} onde cada ocorrência de um b é imediatamente precedida por um a. Por exemplo: λ, a, abaab L, mas bb, bab, abb L. BASE: λ L PASSO RECURSIVO: Se u L, então ua, uab L. FECHO: Só podem pertencer à L as palavras obtidas a partir da base com um número finito de aplicações do passo recursivo.

18 Observação Este tipo de definição não é muito apropriado para linguagens mais complexas. Assim, veremos como usar operações sobre conjuntos para construir conjuntos complexos a partir dos mais simples.

19 Definição A concatenação de duas linguagens X e Y, denotada por XY, é a linguagem: XY = {xy x X, y Y }. A concatenação de X consigo mesmo, n vezes, é X n. Obs.: X 0 = {λ}. Note que {λ}.

20 Exemplo Sejam X = {a, b, c} e Y = {abb, ba} Então: XY = {aabb, babb, cabb, aba, bba, cba} X 0 = {λ} X 1 = X = {a, b, c} X 2 = XX = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} X 3 = X 2 X = {aaa,..., ccc}...

21 Definição: Fecho de Kleene Seja X um conjunto. Então: X = i=0 X + = i=1 X i X i X + = XX

22 Problema Como especificar uma linguagem de modo não ambíguo? Uma maneira é usar operações sobre conjuntos!

23 Exemplo 1 Defina L como a linguagem de todas as palavras sobre o alfabeto Σ = {a, b} de maneira que L contenha todas, e apenas, as palavras que contêm a subpalavra bb. L = {a, b} {bb}{a, b}. Definimos as palavras que contêm pelo menos uma ocorrência da subpalavra bb.

24 Exemplo 2 Defina L como a linguagem de todas as palavras sobre o alfabeto Σ = {a, b} de maneira que L contenha todas, e apenas, as palavras que iniciam pela subpalavra aa ou terminam com a subpalavra bb. Palavras que têm prefixo aa: Palavras que têm sufixo bb: {aa}{a, b} {a, b} {bb} Logo, o que queremos é a união destas duas: {aa}{a, b} {a, b} {bb}

25 Exemplo 3 Seja L 1 = {bb} e seja L 2 = {λ, bb, bbbb}. Obviamente, L 1 e L 2 são linguagens sobre Σ = {b}. Porém, interessante notar que: L 1 e L 2 contêm palavras constituídas por um número par de b s.

26 Exemplo 4 O conjunto {aa, bb, ab, ba} contém todas as palavras de tamanho par sobre {a, b}. Logo, podemos usar o operador diferença de conjuntos para especificar a linguagem das palavras de tamanho ímpar! {a, b} {aa, bb, ab, ba} Mas também podemos especificar a mesma linguagem de outra maneira: {a, b}{aa, bb, ab, ba}

27 Definição Seja Σ um alfabeto. Os conjuntos regulares sobre Σ são definidos recursivamente assim: BASE: Os conjuntos, {λ}, {a}, a Σ, são conjuntos regulares sobre Σ. PASSO RECURSIVO: Sejam X e Y dois conjuntos regulares sobre Σ. Então os conjuntos X Y, XY e X são conjuntos regulares sobre Σ. FECHO: X é regular sobre Σ somente se for obtido dos elementos da base por um número finito de aplicações do passo recursivo. Objetivo: limitar as operações possíveis sobre conjuntos na especificação de linguagens.

28 Exemplo 1 A linguagem das palavras contendo a subpalavra bb é regular sobre Σ = {a, b}. Prova: BASE: {a} e {b} são regulares, por definição. Aplicando o fecho de Kleene e união: {a, b} é regular. {a} {b} = {a, b} é regular. Por concatenação: {b}{b} = {bb} é regular. Portanto: {a, b} {bb}{a, b} é regular.

29 Exemplo 2 A linguagem das palavras que começam e terminam por a e têm pelo menos um b é regular sobre Σ = {a, b}. Prova: É fácil, porém trabalhoso, chegar no resultado: {a}{a, b} {b}{a, b} {a}

30 Observação Voltemos ao exemplo da linguagem das palavras de tamanho ímpar, que mostramos ao final do exemplo 4, acima. Apesar de termos dado uma definição que usa o operador de diferença de conjuntos, também apresentamos outra que usa apenas união, concatenação e fecho de Kleene. Portanto aquela linguagem é regular!

31 Problema É muito trabalhoso especificar linguagens usando a definição baseada em conjuntos regulares. Por isto vamos usar uma representação que visa facilitar esta tarefa.

32 Expressões regulares São usadas para abreviar a descrição de conjuntos regulares, e consequentemente, das linguagens regulares. Eliminação das chaves: {, } Troca do símbolo de união por +. Troca do fecho de Kleene por. Troca da concatenação por justaposição.

33 Definição Seja Σ um alfabeto. As expressões regulares sobre Σ são definidas recursivamente assim: BASE:, λ e a, a Σ são expressões regulares sobre Σ. PASSO RECURSIVO: Sejam u e v expressões regulares sobre Σ. As expressões: (u + v) (uv) (u ) são regulares sobre Σ.

34 Definição (continuação) FECHO: Uma expressão regular sobre Σ apenas pode ser obtida da base por um número finito de aplicações do passo recursivo. Obs.: Como união e concatenação são associativas, os parênteses podem sem omitidos, desde que se adote a ordem seguinte: 1. Fecho de Kleene; 2. Concatenação; 3. União.

35 Exemplos já vistos As linguagens regulares representadas pelos conjuntos regulares dos exemplos 1 e 2 acima podem ser representados pelas expressões regulares abaixo, respectivamente: A linguagem das palavras contento a subpalavra bb é regular sobre Σ = {a, b}. (a + b) bb(a + b). A linguagem das palavras que começam e terminam por a e têm pelo menos um b. a(a + b) b(a + b) a

36 Exemplo 1 Expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b} para a linguagem das palavras contendo aa ou bb: (a + b) aa(a + b) + (a + b) bb(a + b)

37 Exemplo 2 Expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b} para a linguagem das palavras contendo exatamente dois b s: a ba ba

38 Exemplo 3 Expressões regulares sobre o alfabeto Σ = {a, b} para a linguagem das palavras contendo dois ou mais b s: a ba b(a + b) (a + b) b(a + b) b(a + b)

39 Definição Duas expressões regulares são ditas equivalentes se representam a mesma linguagem

40 Exemplo 4 Expressões regulares sobre o alfabeto Σ = {a, b} para a linguagem das palavras que não contêm a subpalavra aa. b (ab + ) + (b (ab + ) a) b (ab + )(λ + a) b (abb )(λ + a) (b + ab) (λ + a)

41 Exemplo 5 Expressões regulares sobre o alfabeto Σ = {a, b, c} para a linguagem das palavras que contêm a subpalavra bc. (a + b + c) bc(a + b + c)

42 Exemplo 6 Expressões regulares sobre o alfabeto Σ = {a, b} para a linguagem das palavras que contêm uma única ocorrência de bb. (a + ba) bb(a + ab)

43 Exercício Qual linguagem as expressões regulares equivalentes seguintes representam: a (a ba ba ) a (ba ba )

44 Simplificações u = u = λu = uλ = u = λ λ = λ u + v = v + u u + = u u + u = u u = (u ) u(v + w) = uv + uw (u + v)w = uw + vw (uv) u = u(vu) (u + v) = (u + v ) (u + v) = u (u + v) = (u + vu ) (u + v) = (u v ) = u (vu ) (u + v) = (u + v) u

45 Exercícios 1. Existem linguagens que não podem ser representadas por expressões regulares. Veja a pg. 49 do livro do Sudkamp. 2. Exercícios do livro do Newton, pg 55 e 56.