Capítulo Métodos para transformar gramáticas ái Duas formas Normais (Chomsky e Greibach) ADC/TC/Cap.6/ /LEI/DEIFCTUC 268

Transcrição

1 Capítulo 6 Simplificação de gramáticas livres de contexto e Formas Normais Métodos para transformar gramáticas ái Duas formas Normais (Chomsky e Greibach) 268

2 6.1. Métodos para transformar gramáticas A definição de gramática livre de contexto não impõe qualquer restrição tiã ao lado ld direito it das produções. No entanto t importa por vezes que o lado direito it das produções obedeça a certas restrições. Neste caso é necessário reduzir a gramática livre de contexto a uma forma equivalente que obedeça às restrições pertinentes. 269

3 Linguagens sem o carácter vazio Qual a diferença entre uma linguagem que contenha e uma que o não contenha? Para uma qualquer q gramática livre de contexto G,, há um método de obtenção de uma gramática G tal que L(G ) = L(G) - { }. Do ponto de vista prático não há diferenças entre linguagens livres de contexto que incluam e as que não incluam. 270

4 Um regra de substituição de produções Teorema 6.1. G = (V,T,S,P) uma CFG. P : A x 1 B x 2. B y 1 y 2... y n G = {V, T, S, P } P : A x 1 y 1 x 2 x 1 y 2 x 2... x 1 y n x 2 B y 1 y 2... y n L(G ) = L(G) 271

5 Eliminação de produções inúteis Seja a gramática S asb A, A aa Se utilizarmos a produção S A, S A aa aaa aaaa... nunca mais é possível passar de uma forma sentencial para uma sentença (cadeia só com símbolos terminais). Por isso aquela produção nunca se pode utilizar, sendo inútil. 272

6 Definição 6.1. Variável útil. Seja G = (V, T, S, P) uma CFG. A variável A V diz-se útil se e só se existir pelo menos uma w L(G) tal que com x, y em (V T) *. * * S x A y w Uma variável léúil útil se ocorrer pelo menos numa derivação de uma frase (cadeia). Caso contrário é inútil. Uma produção é inútil se envolve alguma variável inútil. 273

7 Uma variável pode ser inútil por duas razões: não alcançável a partir da variável de início S A A aa B ba B inútil não pode gerar uma cadeia terminal (sentença) S asb A B A aa B bb b A inútil 274

8 Teorema 6.2. Eliminação i de variáveis i e produções inúteis. i Seja G=(V (V, T, TS, P)umaCFG CFG, L(G) nãovazia não-vazia. Entãoexisteumagramáticaequivalente equivalente G =(V, T, SP ) S, ) que não contém qualquer variável inútil ou qualquer produção inútil. 275

9 Procedimento para eliminação de variáveis e produções inúteis A- Construção de uma gramática intermédia cujas variáveis i são todas úteis (conjunto V 1 ): 1. V 1 = 2. Se A x 1 x 2 x 3...x m com x i V 1 T, colocar A em V 1 Na 1ª volta só entram em V 1 variáveis que tenham do lado direito apenas símbolos terminais, incluindo. Na 2ª volta e seguintes entram as que tenham do lado direito it símbolos terminais e/ou variáveis já incluídas em V 1. Até que não possam entrar mais variáveis em V

10 3. As produções P 1 da gramática intermédia são todas as 1 produções da gramática original cujos símbolos estão todos em V 1 T (i.e., todas as suas variáveis estão em V 1 ). B. A partir da gramática intermédia obtém-se a gramática final - encontram-se todas as variáveis que não podem ser alcançadas a partir de S e eliminam-se, i bem como as suas produções. Para isso usa-se o grafo de dependências como ferramenta auxiliar. 277

11 Exemplos S AB a A b S a S as A C A a B aa C acb S as A A a 278

12 Remoção das produções- Dfiiã Definição Qualquer produção de uma CFG da forma é chamada uma produção-. A Chama-se anulável l (nullable) ) a qualquer variável laa para a qual é possível a derivação * A 279

13 Teorema 6.3. Remoção das produções- Seja G uma CFG tal que não pertence a L(G). Então existe uma gramática equivalente G sem produções-. Numa gramática que gera uma linguagem que não contém, podem-se remover as produções-. Se L (G), então existe uma CFG G 1 sem produções- tal que L(G 1 ) =L(G) { }, i.e, iegg 1 gera a mesma linguagem com excepção de. 280

14 Procedimento para remover as produções- 1º - Encontrar o conjunto V N das variáveis anuláveis: 1. Para todo o A tal que existe A, incluir A em V N 2. Para todo o B tal que existe a produção B A 1 A 2... A n com A 1, A 2,..., A n pertencentes todas a V N, incluir B em V em V N 3. Repetir o passo 2 até que não seja possível adicionar mais variáveis a V N 281

15 2º - Substituição de produções com variáveis anuláveis 1. Procurar as produções em P da forma 2. Colocar em P A x 1 x 2 x 3...x m, m 1, x i V T esta produção A x 1 x 2 x 3...x m as que resultam desta pela substituição por das variáveis anuláveis em todas as combinações possíveis : se por exemplo x 1 e x 2 são anuláveis, cria-se (i) uma produção A x 2 x 3...x m, (ii) outra A x 1 x 3...x m, e (iii) )ainda daoutra A x 3 x 4...x m se todas as x i são anuláveis, a produção A não se introduz em P. 282

16 Exemplos S aab A aab S aab ab A aab ab S AB A aaa B bbb L 1 (G) S AB A B A aaa aa a B bbb bb b L 2 (G) L 2 =L 1-283

17 Remoção das produções unitárias Definição 6.3. Produção unidade (ou em cadeia, chain). Qualquer produção de uma CFG da forma A B em que A, B V. Qualquer para (A, B) para o qual se possa encontrar * A B usando apenas produções unidade d é um par unidade. d 284

18 Algoritmo de indução para encontrar todos os pares unidade Base : (A, A) é um par unidade para todo o A. A A em zero passos. Indução:Se(AB) (A, é um par unidade e B C éumaprodução unidade, então (A, C) é um par unidade. * Teorema 6.4. Eliminação das produções unidade Seja G = (V, T, S, P ) qualquer CFG sem produções-. Então existe uma outra CFG G = ( V, T, S, P ) equivalente a G que não contém qualquer produção unidade. 285

19 Procedimento de remoção das produções unidade 1- Qualquer produção do tipo A A pode ser removida sem qualquer efeito. 2- Procurar todos os pares unidade 3- Colocar em P todas as produções não-unidade de P 4- Para todos os pares unidade (A, B) em P tais que B y 1 y 2... y n em P adicionar a P A y 1 y 2... y n Fim. 286

20 Exemplo: Remover todas as produções unitárias de S Aa B B A bb S A B A a bc B Pares unidade : Grafo de dependência das variáveis pertencentes a pares unidade (S, B), (B, A), (A, B), (S, A ) 287

21 P S Aa B B A bb A a bc B 1º adicionar a P todas as produções não unitárias de P S Aa P B bb A a bc 288

22 2º Introduzir as derivações que substituem os pares unidade de P com produções de P Pares unidade : (S, B), (B, A), (A, B), (S, A ) Par unidade em P Produção em P AcriaremP P * S B B bb S bb A * B B bb A bb * B A A a bc B a bc * S A A a bc S a bc 289

23 Gramática inicial S Aa B B A bb A a bc B Gramática sem produções unidade Gramática sem produções inúteis S Aa bb a bc S Aa bb a bc B bb a bc A a bc bb A a bc bb 290

24 Teorema 6.5. Seja L uma CFL que não contém. Então existe uma CFG que gera L e que não contém : produções inúteis produções- produções-unidade 291

25 Simplificação de CFG 1º Remover as produções- 2º Remover as produções-unidadeunidade 3º Remover as produções inúteis 292

26 6.2. Duas formas normais Na família das CFG existem formas normais de grande importância FN de Chomsky FN de Greibach 293

27 Forma normal de Chomsky Definição 6.4. Uma CFG está na forma normalizada de Chomsky se todas as produções são da forma ou A BC A a em que A, B, C pertencem a V e a T. Na forma normal de Chomsky a parte direita de qualquer produção ou tem um ou tem dois símbolos. 294

28 Teorema 6.6. Qualquer CFG G=(V, T, S, P} com L(G) tem uma gramática equivalente G = (V, T, S, P ) na forma normal de Chomsky. (prova construtiva, partindo de uma CFG sem produções- e sem produções unidade). 295

29 Algoritmo para transformação na forma de Chomsky 1º passo parte-se de uma CFG sem produções unidade,, ou inúteis Para todo o símbolo terminal a que aparece numa produção de corpo (lado direito) com comprimento igual ou superior a 2, cria-se uma nova variável B a. Esta variável terá uma só produção B a a. Usa-se B a em vez de a nas produções de corpo maior ou igual a 2. Cada produção fica com um corpo que é ou um terminal simples, ou pelo menos duas variáveis e nenhum terminal. S ABa A aab B Ac Introduzem-se B a, B b, B c para a, b, c S ABB a A B a B a B b B AB c B a a B b b B c c c 296

30 2º passo Partem-se as produções A C 1 C 2...C n, n 3, num conjunto de produções com duas variáveis no lado direito. Para isso introduzem-se novas variáveis D 1, D 2,..., D n-2. A produção original é substituída pelas n-1 produções A C 1 D 1, D 1 C 2 D 2... S AD 1 D n-2 C n-1 C n D 1 BB a S ABB a A B ad 2 A B a B a B S ABa b D 2 B a B b B AB A aab c B AB c B a a B Ac B a a B b b B b b B c c B c c 297

31 Forma normal de Greibach As posições admissíveis das variáveis e dos símbolos terminais, são bem definidas. Definição 6.5. Uma CFG está na forma normalizada de Greibach se todas as produções têm a forma A ax, a é um símbolo terminal x uma cadeia di de zero ou mais variáveis. i (parte-se de uma CFG sem produções unidade,, ou inúteis) 298

32 Exemplo S asb bsa a b Introduzindo duas novas variáveis A para a e B para b S asb bsa a b A a B b Teorema 6.5. Qualquer CFG G=(V, T, S, P} com L(G) tem uma gramática equivalente G =(V, T, SP )na S, ) forma normal de Greibach. 299

33 Bibliografia An Introduction to Formal Languages and Automata, Peter Linz, 3rd Ed., Jones and Bartelett Computer Science, 2001 Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, 2nd Ed., John Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey Ullman, Addison Wesley, Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and Christos Papadimitriou, it i 2nd Ed., Prentice Hall, Introduction to the Theory of Computation, Michael Sipser, PWS Publishing Co,