MT como calculadoras de funções parciais

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1 MT como calculadoras de funções parciais Uma máquina de Turing pode ser vista como uma calculadora de funções parciais dos inteiros nos inteiros: f : N k p N Suponhamos que os inteiros estão codificados em unário.então, um inteiro i 0 é representado por 1 i. Se uma função tiver k argumentos i 1,..., i k, a sequência de entrada pode ser 1 i i k. Se a máquina de Turing pára com a sequência 1 m na fita, então f(i 1,..., i k ) = m. Uma função parcial f diz-se recursiva se existir uma máquina de Turing que calcula a função para todos os valores em que está definida não terminando a execução caso contrário. Nota que neste caso, os estados finais não são relevantes. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 1

2 Seja { m n se m n m n = 0 caso contrário A máquina de Turing M = ({s 0, s 1,..., s 6 }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, s 0,, ) onde δ(s 0, 1) = (s 1,, ) δ(s 1, 1) = (s 1, 1, ) δ(s 1, 0) = (s 2, 0, ) δ(s 2, 0) = (s 2, 0, ) δ(s 2, 1) = (s 3, 0, ) δ(s 3, 1) = (s 3, 1, ) δ(s 3, 0) = (s 3, 0, ) δ(s 3, ) = (s 0,, ) δ(s 2, ) = (s 4,, ) δ(s 4, 0) = (s 4,, ) δ(s 4, 1) = (s 4, 1, ) δ(s 4, ) = (s 6, 0, ) δ(s 0, 0) = (s 5,, ) δ(s 5, 0) = (s 5,, ) δ(s 5, 1) = (s 5,, ) δ(s 5, ) = (s 6,, ) calcula a função m n, isto é com dados 1 m 01 n calcula 1 m n. Uma função total f diz-se recursiva total se existir uma máquina de Turing que calcula a função para todos os valores do argumento, isto é, a TM pára para quaisquer argumentos. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 2

3 MT para 0 n 1 n A máquina de Turing definida por M = ({s 0, s 1, s 2, s 3, s 4 }, {0, 1}, {0, 1, X, Y, }, δ, s 0,, {s 4 }) onde, aceita a linguagem δ(s 0, 0) = (s 1, X, ) δ(s 0, Y ) = (s 3, Y, ) δ(s 1, 0) = (s 1, 0, ) δ(s 1, 1) = (s 2, Y, ) δ(s 1, Y ) = (s 1, Y, ) δ(s 2, 0) = (s 2, 0, ) δ(s 2, X) = (s 0, X, ) δ(s 2, Y ) = (s 2, Y, ) δ(s 3, Y ) = (s 3, Y, ) δ(s 3, ) = (s 4,, ) L = {0 n 1 n n 1} Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 3

4 MT para ww R Sendo L = {ww r w {0, 1} } onde w r corresponde ao inverso de w, a máquina de Turing a seguir apresentada aceita L. M = ({s 0, s 1, s 2, s 4, s 5, s 6, s 7 }, {0, 1}, {0, 1, X, }, δ, s 0,, {s 6 }) δ(s 0, 0) = (s 1, X, ) δ(s 0, 1) = (s 2, X, ) δ(s 0, X) = (s 0, X, ) δ(s 0, ) = (s 6,, ) δ(s 1, 0) = (s 1, 0, ) δ(s 1, 1) = (s 1, 1, ) δ(s 1, ) = (s 3,, ) δ(s 2, 0) = (s 2, 0, ) δ(s 2, 1) = (s 2, 1, ) δ(s 2, ) = (s 4,, ) δ(s 3, 0) = (s 5,, ) δ(s 3, 1) = (s 7, 1, ) δ(s 3, X) = (s 7,, ) δ(s 4, 0) = (s 7, 1, ) δ(s 4, 1) = (s 5,, ) δ(s 4, X) = (s 7, X, ) δ(s 5, 0) = (s 5, 0, ) δ(s 5, 1) = (s 5, 1, ) δ(s 5, X) = (s 0, X, ) Se x L a máquina pára no estado s 6. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 4

5 MT para a n2 Ideia: ir gerando no fim da fita os quadrados e ir verificando se o número de as é igual. 1. Como gerar os n 2?Temos de ter n e n 2...Porquê?.Vou ter sempre n e n 2 n. Os símbolos c são n e os b são n 2 n: Por exemplo, para a 16 e a testar para n = 3: aaaaaaaaaaaaaaaacccbbbbbb (a) Começar por gerar 1 e 1 = 1 2 (b) Para gerar (n + 1) 2 : Hipótese 1: Incrementar o n e copiar o valor n vezes... Hipótes 2: Notar que (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1. Então: i. tenho de copiar n duas vezes e acrescentar mais um símbolo. : n + n 2 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 5

6 n + 2n + 1 = (n + 1) 2 aaaaaaaaaaaaaaaacccbbbbbbdddeeeb ii. e depois mudar um b em c (porque tenho agora n + 1) aaaaaaaaaaaaaaaaccccbbbbbbbbbbbb Hipótese 3: Calcular a diferença 2n + 1 sem cópias 2. Como comparar? Usar a MT do 0 n 1 n, não distinguindo os c de b Exercício Implementar as máquinas de Turing descritas. Simular a execução da máquina e observar que seu o tempo de execução (= número de passos). A terceira é pelo menos O(n 2 ) mais eficiente... Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 6

7 MT que reconhece {a n n é primo} Vamos ver como se pode implementar uma máquina de Turing que com dados a n pára num estado final se n é primo e num estado não final caso contrário. Supomos n > 2. Embora haja algoritmos mais eficientes, podemos determinar se um inteiro n é primo se não for divísivel por nenhum inteiro entre 2 e n-1. Então, basta gerar (em unário) os inteiros k de 2 a n-1 determinar se k divide n: para tal podemos usar subtracções sucessivas Se n = 13 então a fita no inicio tem: aaaaaaaaaaaaa... Para gerar k = coloca-se um separador no fim dos dados e a seguir o primeiro valor de k. Fica: Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 7

8 aaaaaaaaaaaaabaa... Nota que para obter esta (e as seguintes) configurações são necessários muitos movimentos da MT! Para determinar se 13 é divisível por 2 basta ir subtraindo (como no exemplo anterior) a k a a n, mas sem eliminar a n : Xaaaaaaaaaaaabaa... XaaaaaaaaaaaabXa... XXaaaaaaaaaaabXa... XXaaaaaaaaaaabXX... No fim da primeira subtracção tem de se restaurar a k XXXaaaaaaaaaabXX... XXXaaaaaaaaaabXa... e continuar até ter a n todo marcado. Aí, se k divide n então n não é primo. Caso contrário incrementa-se de uma unidade k. Se k = n então termina e n é primo, senão volta ao processo anterior. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 8

9 Leituras [HMU00] (Cap 8.1-2) [Tom99] (Pág ) [MM96] Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [MM96] Nelma Moreira and Armando Matos. Máquinas de Turing: uma introdução. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP, [Tom99] Ana Paula Tomás. Apontamentos de modelos de computação. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores, FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 21 9