Linguagens Formais - Preliminares

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1 Linguagens Formais - Preliminares Regivan H. N. Santiago DIMAp-UFRN 25 de fevereiro de 2007 Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

2 Algumas propriedades de Conjuntos Algumas propriedades de Conjuntos PROPOSIÇÃO: Sejam A e B conjuntos quaisquer. Então 1 A B = B A, 2 A B = B A, 3 A (B C) = (A B) (A C), 4 A (B C) = (A B) (A C), 5 A = A = A, 6 A =, 7 = U, 8 A = A, 9 A B = A B, 10 A B = A B, 11 Se A B então A B = B, A B = A e B A. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

3 Alfabetos e Linguagens Alguns Conceitos Alfabetos e linguagens Seja Σ um conjunto finito não vazio de símbolos, chamado alfabeto. Dos símbolos individuais construiremos cadeias (strings) que são sequências finitas de símbolos do alfabeto. EXEMPLO: Se o alfabeto for Σ = {a, b}, então abab e aaabba são cadeiais sobre Σ. A cadeia vazia, é aquela sem nenhum símbolo, e será denotado por λ. A concatenação de duas cadeias w e v, denotado por wv, é a cadeia obtida juntando-se os símbolos de v à direita de w, isto é, se w = a 1... a n e v = b 1... b n, então wv = a 1... a n b 1... b m. Note que, λw = wλ = w para qualquer cadeia w. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

4 Alfabetos e linguagens A reversa de uma cadeia é obtida escrevendo-se os símbolos em ordem reversa. Se w é a cadeia acima, então a reversa de w, denotado por w R, é a cadeia a n a 1. Uma definição recursiva da reversa de uma cadeia é a seguinte: λ R = λ e (aw) R = w R a EXEMPLO: Sejam w = bbab e v = aaab. Então wv = bbabaaab, vw = aaabbbab, w R = babb e v R = baaa. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

5 Alfabetos e linguagens Se w = vu, então v é chamado de prefixo e u de sufixo de w. Formalmente v é um prefixo de w se existe uma cadeia u tal que vu = w. Analogamente, u é um sufixo de w se existe uma cadeia v tal que vu = w. EXEMPLO: Seja w = abbab. O conjunto de todos os prefixos de w é {λ, a, ab, abb, abba, abbab} e de todos os sufixos é {λ, b, ab, bab, bbab, abbab}. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

6 Alfabetos e linguagens O comprimento de uma cadeia w, denotado por w, é o número de símbolos que figuram na cadeia. Por exemplo, abba = 4. Sejam u e v cadeias quaisquer sobre um alfabeto Σ. Então uv = u + v. (1) De fato, para mostrar esta igualdade precisamos de uma definição mais precisa de comprimento de cadeia. Daremos a seguinte definição recursiva. λ = 0 e wa = w +1, para todo a Σ e qualquer cadeia w de Σ. Usaremos a indução no comprimento da cadeia para mostrar a equação (1). Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

7 Alfabetos e linguagens Se v = 0, então v = λ. Logo, por definição, uv = u = u +0 = u + v. Suponha que uv = u + v e calculemos uva : uva = uv +1 = u + v +1 = u + va. Logo, por indução, a igualdade é válida para todo v. Se w é uma cadeia, então w n é a cadeia obtida concatenando w com ela própria n vezes. Portanto, w n+1 = ww n. No caso especial de n = 0, w 0 = λ. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

8 Fecho Estrêla - Fecho de Kleene Alfabetos e linguagens Seja Σ um alfabeto. O fecho estrela de Σ, denotado por Σ, é o conjunto de todas as cadeias (finitas) obtidas concatenando zero ou mais símbolos de Σ. Por exemplo, se Σ = {a}, então Σ = {λ, a, aa, aaa, aaaa,...}. Formalmente, podemor definir o fecho estrela de um alfabeto Σ, indutivamente, por 1 λ Σ 2 Se w Σ e a Σ, então wa Σ 3 os únicos elementos de Σ são aqueles que podem ser obtidos aplicando uma quantidade finita de vezes as regras 1) e 2), acima. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

9 Fecho Estrêla - Fecho de Kleene Alfabetos e linguagens O conjunto Σ sempre contém λ. O fecho estrela de Σ sem a cadeia vazia é denominado fecho positivo do alfabeto Σ, e é denotado por Σ +. Isto é, Σ + = Σ {λ}. Enquanto um alfabeto Σ é um conjunto finito, Σ e Σ + são sempre infinitos, pois Σ é não vazio e não existe limite no comprimento das cadeias nesses dois conjuntos. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

10 Alfabetos e linguagens Um subconjunto qualquer de Σ pode ser visto como uma linguagem sobre o alfabeto Σ. Uma cadeia w numa linguagem L, isto é w L, será chamada palavra ou sentença de L. Na teoria das linguagens formais não há distinção entre palavras e sentenças. Para fornecer mais estrutura a essa definição, bastante ampla, de linguagem, estudaremos métodos pelos quais poderemos definir linguagens particulares. EXEMPLO: Seja Σ = {a, b}. Então Σ = {λ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,...}. O conjunto {a, aa, aab} é uma linguagem sobre Σ. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

11 Alfabetos e linguagens Linguagens Linguagens, Sublinguagens e Palavras Um subconjunto qualquer de Σ pode ser visto como uma linguagem sobre o alfabeto Σ. Uma cadeia w numa linguagem L, isto é w L, será chamada palavra ou sentença de L. Exemplo: Seja Σ = {a, b}. Então Σ = {λ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab,...}. Os conjuntos: 1 L 1 {a, aa, aab}; e 2 L 2 = {a n b n /n 0}. São linguagens sobre Σ, onde as cadeias aabb e aaaabbbb são palavras de L 2, enquanto que a cadeia abb não está em L. Ao contrário de L 1, a linguagem L 2 é infinita Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

12 Operações sobre Linguagens Operações sobre Linguagens Operações Conjuntistas: União, intersecção, diferença, complemento (L = Σ L). Operações Linguísticas: concatenação, fecho estrela, fecho positivo, reverso, prefixos, sufixos, etc. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

13 Operações sobre Linguagens A concatenação de duas linguagens L 1 e L 2, sobre os alfabetos Σ 1 e Σ 2, respectivamente, é a linguagem, sobre o alfabeto Σ 1 Σ 2, denotada por L 1 L 2, consistindo do conjunto de todas as cadeias obtidas concatenando-se qualquer elemento de L 1 com qualquer elemento de L 2, isto é L 1 L 2 = {xy / x L 1 e y L 2 }. EXEMPLO: Sejam as linguagens L 1 = {aa, ab} e L 2 = {bb, ba, aba}. Então a concatenaçãode L 1 com L 2 é a linguagem L 1 L 2 = {aabb, aaba, aaaba, abbb, abba, ababa}. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

14 Operações sobre Linguagens Exponenciação de linguagens: Define-se L n como sendo L concatenado n vezes com ele próprio. Nos casos especiais de n = 0 e n = 1 temos que, recursivamente temos: L 0 = {λ} e L 1 = L. L 0 = {λ} e L n+1 = LL n. EXEMPLO: Se L = {a n b n / n 0}, então L 2 = {a m b m a n b n / m 0 e n 0}. Observe que m e n não estão relacionados. A cadeia aabbaaabbb está em L 2. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

15 Operações sobre Linguagens O fecho estrela de uma linguagem L, sobre um alfabeto Σ, denotado por L, é o fecho de L {λ} Σ com respeito à operação (binária) de concatenação de cadeias. Por definição de fecho de conjuntos L Σ, logo L é uma linguagem sobre o próprio Σ. L também pode ser obtido da seguinte maneira: L = L i = L 0 L 1 L 2 L 3 i=0 Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

16 Operações sobre Linguagens O fecho positivo da linguagem L, denotado por L +, o fecho de L Σ com respeito à operação (binária) de concatenação de cadeias. Também pode ser definido por L + = L i = L 1 L 2 L 3 i=1 Observação: Note que não necessariamente é verdade que L + = L L 0 = L {λ}, pois se λ L então, L + = L. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

17 Operações sobre Linguagens EXEMPLO: Seja L a linguagem L = {aa, bb, aba}. Então os fechos estrela e positivo de L são definidos por: L = {λ, aa, bb, aba, aaaa, aabb, aaaba, bbaa, bbbb, bbaba} {abaaa, ababb, abaaba, aaaaaa, aaaabb,...} e L + = {aa, bb, aba, aaaa, aabb, aaaba, bbaa, bbbb, bbaba} {abaaa, ababb, abaaba, aaaaaa, aaaabb,...}. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

18 Operações sobre Linguagens A linguagem reversa de uma linguagem L, sobre um alfabeto Σ, é a linguagem L R, sobre o próprio alfabeto Σ, consistindo de todas as cadeias em L revertidas, isto é w L se e somente se w R L R. Como (w R ) R = w para qualquer cadeia w, temos que L R é definida por L R = {w Σ / w R L}. EXEMPLO: Seja a linguagem L = {aa, baa, aba, abbb}. A linguagem reversa de L é: L R = {aa, aab, aba, bbba}. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

19 Operações sobre Linguagens A linguagem de prefixos de uma linguagem L, sobre um alfabeto Σ, é a linguagem L P, sobre o próprio Σ, definida por L P = {v Σ / vw L para algum w Σ }. Isto é, L P é a linguagem consisitindo de todas as cadeias que são prefixos de alguma cadeia em L. Analogamente, A linguagem de sufixos de uma linguagem L, sobre um alfabeto Σ, é a linguagem L S, sobre o próprio Σ, definida por L S = {w Σ /vw L para algum v Σ }. Isto é, L S é a linguagem consisitindo de todas as cadeias que são sufixos de alguma cadeia em L. Observe que L L R e L L S. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

20 Gramáticas Alguns Conceitos Gramáticas Para estudar linguagens, matematicamente, precisamos de um mecanismo para descrevê-las. A linguagem do dia a dia é imprecisa e ambígua, portanto, a descrição em português, em geral, é inadequada. A notação de conjuntos é mais adequada, porém limitada. Aqui, introduziremos a noção de gramática, uma ferramenta comum e poderosa para definir linguagens. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

21 Gramáticas Uma gramática, G, é definida como uma quádrupla G = V, T, S, P, onde V é um conjunto finito de objetos, chamados variáveis, T é um conjunto finito de objetos, disjunto de V, chamados símbolos terminais, S V é um símbolo especial, chamado variável de início, e P é um conjunto finito de produções. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

22 Gramáticas Uma produção tem a forma: x y, onde x é um elemento de (V T ) + e y está em (V T ). As produções são aplicadas como segue: dado uma cadeia da forma w = uxv, dizemos que a produção é aplicável a esta cadeia, e podemos usá-la para trocar uma ocorrência de x por y, obtendo, assim, a nova cadeia z = uyv. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

23 Gramáticas Neste caso, dizemos que w deriva z ou z é derivada de w, denotado por w = z. Cadeias sucessivas são derivadas aplicando regras de produção da gramática, numa ordem arbitrária. Uma produção pode ser usada se ela é aplicável e pode ser aplicada quantas vezes se quiser. Se w 1 = w 2 =... = w n, dizemos que w 1 deriva w n e escrevemos w 1 = w n. A estrela indica que foi considerado um número não especificado de etapas (incluindo zero) para derivar w n de w 1. Portanto, w = w sempre se dá. Para indicar que, pelo menos uma produção foi aplicada escreveremos w + = v. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

24 Gramáticas Seja G = V, T, S, P uma gramática. O conjunto L(G) = {w T / S = w} é denominado linguagem gerada pela gramática G. Os elementos de L(G) são chamados sentenças ou palavras. Se w L(G), então a sequência S = w 1 = w 2 =... = w n = w é uma derivação da sentença w. As cadeias S, w 1, w 2,..., w n que contém variáveis e objetos terminais, são chamados formas sentenciais da derivação. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

25 Gramáticas Exemplo Considere a gramática G = {S}, {a, b}, S, P, onde P é dado por S asb S λ. Então, S = asb = aasbb = aabb. Logo, podemos escrever S = aabb. A cadeia aabb é uma sentença na linguagem gerada por G, enquanto aasbb é uma forma sentencial. Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26

26 Autômatos Alguns Conceitos Autômatos Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de / 26