Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos

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1 Folha Prática Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos 1 Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos Expressões Regulares e Autómatos Finitos 1. Determine e implemente computacionalmente um AFD sobre o alfabeto S = { s, t } aceitador da linguagem definida por cada uma das seguintes expressões regulares: a) s+ b) (s + t) (s + t) c) (s + t)* 2. Seja o alfabeto S = { digito, sinal, ponto }. Determine e implemente computacionalmente o AFD aceitador da linguagem definida pela seguinte expressão regular (números decimais): (sinal + digito) (digito)* ponto digito (digito)* 3. Determine e implemente computacionalmente um AFD que aceite a linguagem definida pela seguinte expressão regular sobre o alfabeto S = { a, b, c }: a (b + c) + b (c + l) 4. Considere a seguinte expressão regular sobre o alfabeto S = { a, b }: (a) (a + b)* b a) Determine o AFD aceitador da linguagem definida pela expressão regular dada b) Implemente computacionalmente o AFD determinada em a) c) Verifique se o AFD anterior aceita as seguintes cadeias como fazendo parte da linguagem definida pela expressão regular dada: i) a ii) b iii) abb iv) aba 5. Determine a expressão regular que define os números reais de vírgula fixa, mas sem zeros supérfluos à esquerda ou à direita da vírgula. Por exemplo, a linguagem inclui os números 0,0 e 123,01 mas não inclui 0,00 nem 010,0. Determine e implemente computacionalmente o AFD aceitador desta linguagem. 6. Considere a seguinte expressão regular sobre o alfabeto S = { a, b }: (a + b) (aa + bb)* (b + a) a) Descreva informalmente a linguagem definida pela expressão regular b) Determine um AFD que seja aceitador da linguagem definida pela expressão regular c) Implemente computacionalmente este AFD 7. Determine e implemente computacionalmente um AFD aceitador da linguagem sobre o alfabeto S = { a, b } definida por cada uma das seguintes expressões regulares: a) a(ab* + ba*) b* b) ab* ab* a + bb* a* ab c) l + aab (bb)* d) (ab* ab)* + (aa* a + b)* + ab* a e) bb + aa* + aabbb*

2 Folha Prática Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos 2 8. Determine e implemente computacionalmente um AFD aceitador da linguagem sobre o alfabeto S = { a, b, c, d} definida pela seguinte expressão regular: (a + b)* + cd (a + b)* 9. Determine uma expressão regular e a partir dela construa um AFD (e respetiva implementação computacional), sobre o alfabeto S = { a, b }, aceitador de cada uma das seguintes linguagens: a) { cadeias com no máximo três a's } b) { cadeias que não têm ba como prefixo } c) { cadeias com pelo menos dois a's consecutivos e com pelo menos dois b's consecutivos } d) { cadeias com no máximo dois a's, no mínimo dois b's e não terminam em b } e) { cadeias com aab como sufixo e com pelo menos três a's consecutivos } f) { cadeias contendo a subcadeia aab e com no máximo dois b's } g) { cadeias contendo a subcadeia bbab e com um número par de b's } 10. Determine uma expressão regular e a partir dela construa um AFD (e respetiva implementação computacional), sobre o alfabeto S = { 0, 1 }, para cada um das seguintes linguagens: a) { cadeias sem 1's } b) { cadeias que são diferentes da cadeia 1 } c) { cadeias com comprimento não inferior a dois } d) { cadeias que terminam em 1 } e) { cadeias que terminam em 1 mas não em 111 } f) { cadeias com pelo menos dois 0's consecutivos } g) { cadeias que terminam em 1 e têm pelo menos dois 0's consecutivos } h) { cadeias sem a subcadeia 101 } i) { cadeias com um número ímpar de 0's ou com um número par de 1's } j) { cadeias com no máximo dois 0's consecutivos e no máximo dois 1's consecutivos } k) { cadeias que não terminam em 1101 nem em 1011 } l) { cadeias com pelo menos três 0's consecutivos e sem dois ou mais 1's consecutivos } m) { cadeias em que as sequências de dois 0's aparecem antes das sequências de dois 1's } 11. Determine um AFND aceitador da linguagem sobre o alfabeto S = { 0, 1 } definida por cada uma das seguintes expressões regulares: a) (0 + 1)* 1 (0 + 1) b) ( )* (10* + 01) c) (0 + 01)* (10* + 01*) 12. Determine um AFND aceitador da seguinte linguagem sobre o alfabeto S = { a, b }: L = L(ab*a*) L((ab)*ba) { ab }

3 Folha Prática Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos Considere o método para determinar um AFND a partir de uma expressão regular (estudado nas aulas teóricas). Determine um AFND, sobre o alfabeto S = { 0, 1 }, aceitador da linguagem definida por cada uma das seguintes expressões regulares: a) (0*) b) ((11) + 0) c) ((0*) ((11) + 0)) d) (((11) + 0) + (0*)) e) ((11) + (0 + (0*))) f) ((0*) + (1 )) g) ((1 ((0*) 1)) + 0)* h) (l + ((((( )1)*) 0) + (((1l)*) 1))) 14. Considere o método para determinar um AFD equivalente a um AFND (estidado nas aulas teóricas). Determine um AFD, sobre o alfabeto S = { 0, 1 }, para cada um dos AFND obtidos nas alíneas a, b, f e g do problema anterior. Nota: comece por definir a função de transição do AFD por uma tabela e, a seguir, represente o seu diagrama de transições. 15. Determine uma expressão regular, sobre o alfabeto S = { a, b }, que defina a linguagem que é aceite por cada um dos seguintes AFD's: a) b) c) d) e) f)

4 Folha Prática Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos Determine expressões regulares que definem as linguagens aceites pelos seguintes AF's: a) b) c) d) 17. Considere o método de eliminação de estados (estudado nas aulas teóricas). Determine uma expressão regular que defina a linguagem sobre o alfabeto S = { 0, 1 } que é aceite por cada um dos seguintes AF's (sempre que for útil (e óbvio), simplifique expressões intermédias): a) c) b) d)

5 Folha Prática Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos O diagrama que se segue foi obtido de um AF após aplicação de algumas iterações do método de eliminação de estados. a) Justifique que L(A) b) Determine uma expressão regular que descreva L(A). Apresente os passos intermédios. c) Apresente o diagrama de transição de um AF equivalente a A. Se for um AFND, converta-o num AFD equivalente. Apresente os passos principais da resolução. 19. Seja M = (Q, S, d, q 0, F) um AFD em que - Q = { q 0, q 1, q 2 } - S = { 0, 1 } - F = { q 0, q 2 } - é a função de transição definida por d(q 0, 1) = q 0 d(q 0, 0) = q 1 d(q 1, 1) = q 2 d(q 1, 0) = q 1 d(q 2, 1) = q 2 d(q 2, 0) = q 2 a) Represente o diagrama de transição do autómato b) Quais das cadeias l, 0011, 1100, 00101, 101 e 001 pertencem à linguagem aceite pelo autómato? c) Descreva informalmente a linguagem L(M) { 0, 1 }* que é aceite pelo autómato. d) Apresente uma expressão regular que caraterize L(M). 20. Seja A o AFD representado pelo seguinte diagrama: a) Prove que L(A) = L((aa*b + ba*b*)*) b) Prove que o autómato que se obtém de A ao se restringir o conjunto de estados a { s 0, s 1 } (i.e., ao se remover s 2 e s 3 e as transições respetivas) é um AFD e é equivalente a A.

6 Folha Prática Expressões e Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos 6 Gramáticas Regulares e Autómatos Finitos 21. Considere o seguinte protocolo de transmissão de mensagens binárias entre 2 computadores: - o início e o fim da transmissão são marcados pelos símbolos 00 e 11, respetivamente; - as mensagens são obrigatoriamente iniciadas por 3 bits, indicativos do seu comprimento; - entre 2 mensagens há um separador constituído pelo padrão 101; - em todas as transmissões há, no mínimo, uma mensagem a transmitir. Um exemplo de transmissão válida de mensagens é dado por: init size msg sep size msg end a) Escreva a gramática que descreve a transmissão de mensagens. b) Converta a gramática numa expressão regular. c) Converta a expressão regular num AFD. d) Codifique o aceitador usando a linguagem de programação C. 22. Determine um AFND aceitador da linguagem gerada por cada uma das seguintes gramáticas: a) S baa A B abb ba ab ab b) S 0A 1B A 0A 0 B 1B 0A Determine uma gramática regular geradora da linguagem aceite pelo seguinte autómato: A = (Q, T, M, q 0, H) onde Q = { q 0, q 1, q 2, q 3 } T = { a, b } H = { q 0 } M é tal que M(q 0, a) = q 2 e M(q 0, b) = q 1 M(q 1, a) = q 3 e M(q 1, b) = q 0 M(q 2, a) = q 0 e M(q 2, b) = q 3 M(q 3, a) = q 1 e M(q 3, b) = q 2