7.1. Autómatos de pilha não-determinísticos (NPDA) 7.3. Autómatos de pilha determinísticos e linguagens livres de contexto determinísticas.

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1 Capítulo 7 Autómatos de pilha 7.1. Autómatos de pilha não-determinísticos (NPDA) 7.2. Autómatos de pilha e linguagens livres de contexto 7.3. Autómatos de pilha determinísticos e linguagens livres de contexto determinísticas. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 301

2 cadeia de entrada a a b b a b q 0 q 2 q 1 CONTROLO a b c 0 1 # P i l h a carácter de entrada estado actual símbolo no topo da pilha estado seguinte movida escreve na pilha ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 302

3 7.1. Autómatos de pilha não-determinísticos Definição 7.1. NPDA Aceitador não determinístico de pilha (NPDA- Nondeterministic PushDown Accepter) M = (Q,,,, q 0, z 0, F ) Q : conjunto finito de estados internos da unidade de controlo : o alfabeto de entrada : (gama) conjunto finito de símbolos chamado alfabeto da pilha : Q ( { }) subconjuntos finitos de Qx * é a função de transição, q 0 Q : estado inicial da unidade de controlo z 0 : símbolo de inicialização da pilha F Q : conjunto de estados finais (aceitadores). ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 303

4 Notas uma transição pode ter como carácter de entrada, sendo neste caso uma transição- a definição de transição exige um símbolo no topo da pilha; se a pilha estiver vazia, as movidas serão inibidas embora o NPDA possa ter várias escolhas possíveis para as suas movidas, elas devem ter um número finito de possibilidades. de uma movida resulta a escrita de uma cadeia no topo da pilha: abc é escrita a b c ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 304

5 Operações sobre a pilha push introduzir um carácter adicional pop - apagar um carácter substituição de um carácter por outro inicialização com qualquer símbolo de ; normalmente com o carácter especial # ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 305

6 transição estado actual símbolo de entrada novo estado (q 0, a, 0) = { (q 1, 10) } símbolo actual no topo da pilha push 1 no topo da pilha ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 306

7 Transições Operações sobre a a pilha Significado 1. (q 0, a, #) = { (q 1, 0#) } push acrescenta 0 à pilha com # 2. (q 0, b, 1) = {(q 1, )} } pop apaga 1 3. (q 1, b, 0) = { (q 1, 1) } substituição substitui 0 por 1 4. (q 0, b, 1) = { (q 1, 1) } nenhuma não altera 5. (q 1,, 0) = { (q 2, ) } pop apaga 0 sem consumir entrada 6. (q 1,, 0) = { (q 2, 10) } push acrescenta 1 sem consumir entrada ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 307

8 Exemplo 1 (q 1, a, b) = {(q 2, cd), (q 3, )} Quando o autómato está no estado q 1, se aparecer um a na cadeia de entrada, então acontecerá uma de duas coisas : - a unidade de controlo passa ao estado q 2 - substitui b pela cadeia cd no topo da pilha (fica com mais um carácter) ou - a unidade de controlo passa ao estado q 3 - na pilha substitui b por, isto é, apaga b do topo da pilha (que fica assim com menos um carácter). ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 308

9 Exemplo 2 NPDA Q = {q 0,q 1,q 2,q 3,} (q 0, a, # ) = {(q 1, 1#), (q 3, )} = {a, b} (q 0,, # ) = {(q 3, )} = {#, 0, 1} z 0 = # (q 1, a, 1 ) = {(q 1, 11)} (q 1, b, 1 ) = {(q 2, )} F= {q 3 } (q 2, b, 1 ) = {(q 2, )} (q 2,, # ) = {(q 3, )} não é uma função total. Se o autómato cair num estado para o qual não está definido, nunca mais de lá sai, estando por isso morto. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 309

10 Há duas transições fundamentais 1ª : (q 1, a, 1 )={(q 1, 11)} por cada a que aparece acrescenta um 1 à pilha. 2ª : (q 2, b, 1 ) = {(q 2, )} por cada b que aparece nestas circunstâncias, apaga um 1 da pilha, até que fique apenas o símbolo inicial. i i a passagem do estado q 1 ao estado q 2 acontece quando aparece o primeiro b. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 310

11 Que faz então o autómato? Quando atinge q 3? ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 311

12 O estado q 3 é alcançado quando o NPDA lê uma cadeia de L = {a n b n : n 0} {a}. Pd Pode-se afirmar, por analogia com o que acontece nos DFA, que o NPDA aceita esta linguagem. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 312

13 Descrição instantânea de um NPDA Completamente definida pelo tripleto (q, w, u) ) q : estado actual do autómato. w : parte ainda não lida da cadeia de entrada. u:conteúdo da pilha, sendo o topo o símbolo mais à esquerda (convenção). ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 313

14 Uma movida de uma descrição de base para outra (q,aw,bx) (q,w,yx) 1 2 só é possível se existir a transição (q 1,a,b) = {(q 2,y)} ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 314

15 movidas com um número arbitrário de passos M indica que a movida se refere ao autómato M. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 315

16 Linguagem aceite por um NPDA, L (M) Definição 7.2. Aceitação por um estado final M = (Q,,,, q 0, z 0, F ) L (M) = { w * :(q 0, w, z 0 ) M ( p,, u), p F, u * } É o conjunto de todas as cadeias capazes de colocarem o autómato num estado final (aceitador) no fim da leitura da cadeia. O conteúdo da pilha, u, é irrelevante para esta definição. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 316

17 Dfiiã Definição Aceitação por pilha vazia M = (Q,,,,q 0, z 0, F ) L (M) = { w * :(q 0, w, z 0 ) M ( q,, ), para algum q Q} É o conjunto de todas as cadeias capazes de colocarem o autómato com a pilha vazia (depois de lidas completamente) e num estado qualquer. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 317

18 As duas definições são equivalentes: Se existe um NPDA que aceita uma linguagem L por um estado final, então existe um NPDA que aceita a mesma L pela pilha vazia.... e vice-versa Ver Hopcroft e Coll. (p ) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 318

19 Exemplo 3 Qual o NPDA que aceita L = {w {a, b}* : n a (w) = n b (w)} É necessário contar o número de a s e b s, usando a pilha. A ordem dos a e b não interessa neste caso. algoritmo: define-se um símbolo para contar o número de a s, por exemplo o 0, sempre que aparece um a acrescenta-se um 0 à pilha (push), sempre que aparece um b, apaga-se um zero da pilha (pop), quando não houver mais zeros, restando apenas o símbolo bl de inicialização iiili da pilha, e aparecer um b, acrescenta-se um 1 à pilha (push), quando o topo da pilha for um 1 e aparecer um a,, apaga-se esse 1 (pop). p) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 319

20 Teremos assim as seguintes transições: (q 0,, #) = {(q f, #)} (q 0, a, #) = {(q 0, 0#)} (q 0, b, #)) = {(q 0, 1#)} (q 0, a, 0) = {(q 0, 00)} (q 0, b, 0) = {(q 0, )} (q 0, a, 1) = {(q 0, )} 0 0 (q 0, b, 1) = {(q 0, 11)} M = ({q 0, q f }, {a,b}, {#, 0, 1},, q 0, #, {q f }) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 320

21 O não-determinismo no autómato A transição com na entrada introduz não-determinismo: (q 0,, #) = {(q f, #)} (q 0, a, #) = {(q 0, 0#)} Quando aparece um a à entrada, pode acontecer uma de duas coisas: o autómato t transita para o estado q f sem consumir o a da entrada (transição - ) o autómato consome o carácter de entrada, escreve 0 na pilha e mantém-se em q 0. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 321

22 Grafo do PDA A etiqueta de cada aresta é da forma (notação de Linz e do JFLAP): Pilha a, 1 ; 01 0 q 0 q 1 Estando o autómato no estado q 0, se lê a e se a pilha estiver com 1 no topo, p, o autómato passa ao estado q 1, faz o pop da pilha (apaga 1) e depois o push e 01 ( esceve o 1 seguido do zero, topo à esquerda, 0) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 1 322

23 Grafo do PDA A etiqueta de cada aresta é da forma (notação de Taylor e do Deus Ex Máquina): a, 1 ; 01 Pilha q 0 q 1 1 Estando o autómato no estado q 0, se lê a e se a pilha estiver com 1 no topo, o autómato passa ao estado q 1, faz o pop da pilha (apaga 1) e depois o push de 0 e 1 (escreve 0 seguido de 1, topo à direita, 1) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 323 0

24 Grafo do PDA a, # ; # 0 a, # ; 0# b, # ; 1# b, # ; # 1 2 ( a verde notação JFLAP) 3 a, 0 ; 0 0, # ; # q 0 4 q f 7 5 b, 1 ; 1 1 b, 0; 6 (Taylor, p.538) a, 1 ; ( a azul notação DEM) 1. (q 0,, #) = {(q f, #)} 2. (q 0, a, #) = {(q 0, 0#)} 3. (q 0, b, #) = {(q 0, 1#)} 4. (q 0, a, 0) = {(q 0, 00)} 5. (q 0, b, 0) = {(q 0, )} 6. (q 0, a, 1) = {(q 0, )} 7. (q 0, b, 1) = {(q 0, 11)} ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 324

25 aabbabba produz as seguintes movidas: (q 0, aabbabba, #) (q 0, abbabba, 0#) (q 0, bbabba, 00#) (q 0, babba, 0#) (q 0, abba, #) (q 0, bba, 0#) (q 0, ba, #) (q 0, a, 1#) (q 0,, #) (q f,#) e portanto é aceite. Este exemplo vem implementado no Deus Ex Máquina, directoria de exemplos de PDA, Example Ver também em Taylor, pp 540. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 325

26 Exemplo 4 Desenhar o grafo do NPDA da linguagem (Taylor, 541). L = {a n b m : 0 n < m, m 2 } a, 0 ; 0 0 b, 0 ; b, # ; # a, #; # 0 q 0 b, # ; # b, 0 ; q 1 b#;# b, # q f Este problema está implementado no Deus Ex Máquina ficheiro Example na directoria Pushdown Automata. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 326

27 7.2. Autómatos de pilha e linguagens livres de contexto Para toda a linguagem livre de contexto existe um NPDA que a aceita. É mais fácil de demonstrar para gramáticas na forma normalizada da Greibach, em que todas as produções são da forma A ax, a T, Tx V*. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 327

28 NPDA s para gramáticas livres de contexto o NPDA implementa a derivação pela extrema-esquerda de qualquer cadeia. as variáveis da parte direita da forma sentencial colocam-se na pilha. a parte esquerda da forma sentencial, composta pelos símbolos terminais, é idêntica à entrada lida. começa-se colocando o símbolo inicial na pilha. para simular A a x (forma normal de Greibach) - coloca-se A no topo da pilha - introduz-se a como símbolo de entrada - a variável na pilha é removida e substituída por x ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 328

29 a a A # x # A ax ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 329

30 Exemplo 5 Projectar um NPDA que aceite e a linguagem ge gerada pela gramática S asbb a transformar a gramática na forma de Greibach S asa a A bb B b O autómato correspondente terá 3 estados {q 0, q 1, q 2 } sendo q 2 =q f. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 330

31 1º colocar o símbolo inicial S na pilha: (q 0,, #) = { (q 1, S#)}. S # 2º simular a produção S asa, remove S da pilha e colocando lá SA lendo a à entrada simular a produção S a, a substituindo i na pilha S por (q 1, a, S) = { (q 1, SA), (q 1, )} S A # # ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 331

32 3º simular a produção A bb b b (q 1, b, A) = { (q 1, B)} 4º simular a produção B b A # B # (q 1, b, B) = { (q 1, )} # 5º completar a derivação quando aparece # no topo da pilha (q 1,, #) = { (q f, #)}. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 332

33 S asbb a S asa a A bb, B b. a, S ; a, S ; SA q 0, # ; S# 0, # ; # q 1 q f (Notação JFLAP) b, A ; B b, B ; L (G) ={a a n b 2(n-1) : n 1} ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 333

34 Exemplo 6 Seja a CFG em forma normal de Greibach S aa ab A aab abb B b 3.1 L (G) = { a n b n : n 1} ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 334

35 derivação pela extrema esquerda de aaaabbbb S aa (de 1.1) aaab (de 2.1) aaaabb (de 2.1) aaaabbbb (de 2.2) aaaabbbb (de 3.1) aaaabbbb (de 3.1) aaaabbbb (de 3.1) aaaabbbb (de 3.1) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 335

36 Produção Movida Grafo Carregar S (q 0,, #) = { (q 1, S#)} q 0, # ; S# q 1 Notação JFAP S aa (q 1, a, S) = { (q 1, A)} q 1 a, S ; A S ab (q 1, a, S) = { (q 1, B)} q 1 a, S ; B A aab (q 1, a, A) = { (q 1, AB)} q 1 a, A ; AB Notação JFLAP q 1 A abb (q 1, a, A) = { (q 1, BB)} a, A ; BB B b (q 1, b, B) = { (q 1, )} q 1 b, B ; aceitar a cadeia (q 1,, #) ={(q f, #)} q, # ; # 1 q f ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 336

37 S aa ab A aab abb B b a, S ; A a, S ; B, # ; S# q 0 q 1, # ; # q f (Notação JFLAP) a, B ; a, A ; BB 3 estados para a, A ; AB qualquer gramática de Greibach L (G) = { a n b n : n 1 } ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 337

38 Teorema 7.1 Para qualquer que linguagem ge L livre decontexto, o,existe eum NPDA M que a aceita, i.e, existe um M tal que L = L (M) se L éumacflsem, então existe uma CFG na forma normal de Greibach para L. contrói-se uma NPDA para simular as derivações pela extrema-esquerda dessa gramática. A forma de Greibach é apenas para facilitar o desenvolvimento. O teorema aplica-seatodaacfg. a a ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 338

39 Qual o número mínimo de estados de um NPDA, para uma linguagem definida por uma gramática de Greibach? - no exemplo obtiveram-se três ; - o estado q 0 pode ser eliminado (fica não-determinístico); - passa a ser aceite a, S ; A, # ; S# a, B ; q 1 a, S ; B, #;# # a, A ; BB q f Et Este resultado ltd é geral: para qualquer CFL com,existe um NPDA com dois estados, sem, três estados. a, A ; AB (Notação JFLAP) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 339

40 Se quisermos evitar a introdução do, pode-se utilizar um símbolo especial na pilha, $, para inicializar a gramática: (q 0, λ,, #)) = { (q 0,S$)} E agora começa-se com a gramática de Greibach. a, S ; A a, S ; B Finalmente: para qualquer CFL,$;# $ ; # sem λ existe um q 1 q, # ; S$ f NPDA com dois estados, a, B ; a, A ; BB aa;ab a, AB (Notação JFLAP) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 340

41 Gramáticas livres de contexto para NPDA s O inverso do teorema e anterior também é verdadeiro: de dado do um NPDA, existe para ele uma CFG. Para o provar baste reverter o processo construtivo, de modo que a gramática simule as movidas do NPDA. Teorema 7.2. Se uma linguagem L é aceite por algum NPDA M, então L é uma linguagem g livre de contexto Dem: Linz,189 ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 341

42 7.3. Autómatos de pilha determinísticos i e linguagens livres de contexto determinísticas Um autómato de pilha determinístico DPDA Deterministic PushDown Accepter nunca tem escolha possível nas suas movidas. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 342

43 Definição 7.4. DPDA Um PDA M= (Q,,,, q 0, z 0, F ) diz-se determinístico se for um PDA que obedece às seguintes restrições para todo o q Q, a { }, b : 1. Dado um símbolo de entrada e um símbolo no topo da pilha, só é possível uma movida, no máximo. (q, a, b) contém no máximo um elemento (uma só movida possível) 2. Quanto é possível uma transição- para alguma configuração, não existe nenhuma alternativa que consuma caracteres de entrada para essa mesma configuração. se (q,, b) não é vazia, então (q, c, b) deve ser vazia para todo o c ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 343

44 Diferenças entre DFA e DPDA DFA DPDA não admite transições - admite transições - é uma função total há equivalência entre os determinísticos e os não determinísticos não é necessariamente uma função total não há equivalência entre os determinísticos e os não determinísticos ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 344

45 Semelhanças entre DFA e DPDA RE r = a*b a a DFA b q 1 q 0 q f b b a DPDA a, # ; # q 0 b, # ; # q 0 q f a, # ; # q f b, #;# (a pilhanão é usada) q 1 b,# ;# a, # ; # ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 345

46 Dfiiã Definição Linguagem CFL determinística i Uma linguagem L diz-se livre de contexto determinística (DCFL) se e só se existir um autómato de pilha determinístico DPDA M que a aceite, L = L(M) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 346

47 Exemplo CFL : L = { a n b n : n 1 } DPDA M = ({q 0, q 1, q 2 }, }{ab}{#1} {a, b}, {#,1},, q 0, #{q #, f }) (q 0, a, # ) = {(q 1, 1#)}, (inicia a contagem dos a s) (q 1, a, 1 ) = {(q 1, 11)}, (conta os a s ) (q 1, b, 1 ) = {(q 2, )}, (detecta o primeiro b) (q 2, b, 1 ) = {(q 2, )}, (conta os b s) (q 2,, # ) = {(q f, )} ( aceita se nº a s s = nº b s). aceita L. Logo L é CFL determinística. ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 347

48 L = { a n b n : n 1 } a, 1 ; 11 b,1 ; b, 1 ; q a, # ; 1#, # ; 0 q 1 q 2 q f (notação JFLAP) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 348

49 L = { a n b n : n 0 } a, 1 ; 11 b,1 ; b, 1 ; q a, # ; 1#, # ; 0 q 1 q 2 q f (notação JFLAP) ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 349

50 L = { a n b n : n 0 } a, 1 ; 11 b,1 ; q f a, # ; 1# q 1 b, 1 ; q 2, # ; ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 350

51 7.4. Gramáticas para linguagens livres de contexto determinísticas pode-se fazer o seu parsing facilmente (gramáticas-s, mas não só) gramáticas LL (Left scan, Leftmost derivations) gramáticas LR (Left scan, Rightmost derivations) em Compiladores (3º ano) ver a implementação no JFLAP ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 351

52 Bibliografia An Introduction to Formal Languages and Automata, Peter Linz, 3rd Ed., Jones and Bartelett Computer Science, 2001 Models of fcomputation and dformal llanguages, R. Gregory Taylor, Oxford University Press, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, 2nd Ed., John Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey Ullman, Addison Wesley, Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and Christos Papadimitriou, 2nd Ed., Prentice Hall, Introduction th the Theory of Computation, Michael Sipser, PWS Publishing Co, ADC/TC/Cap.7/ /LEI/DEIFCTUC 352