Regulares (RL) 4.1. Propriedades d de fecho das RL ADC/TC/CAP.4/ /LEI/DEIFCTUC 192

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1 Capítulo 4 Propriedades das Linguagens Regulares (RL) 4.1. Propriedades d de fecho das RL 4.2. Pertença e finitude it das RL 4.3. Identificação de linguagens não regulares 192

2 4.1. Propriedades de fecho das linguagens regulares (RL) Fecho em relação a operações de conjuntos Teorema 4.1. Se L 1 e L 2 são RL, então também o são L 1 LL 2, L 1 L 2, L 1 L 2, Compl(L 1 ), Compl(L 2 ) L 1 *, L 2 *, L 1 L 2 =L 1 Compl(L 2 ) 193

3 Teorema 4.2. A família das RL é fechada em relação à reversão. Prova construtiva : constrói-se um NFA com um só estado final para L transforma-se o estado inicial em final e o final em inicial inverte-se e o sentido das setas em todas as arestas do grafo do NFA o NFA resultante aceita L R 194

4 Fecho em relação a outras operações Homomorfismo, h 1 * 2 2 ={0,1} a h 01 h b 110 c h 0101 h(abbc) = h(a)h(b)h(b)h(c) = (01)(110)(110)(0101)=

5 Imagem homomórfica de uma linguagem L h(l) = {h(w) : w L } Teorema 4.3. A família das LR é fechada em relação a qualquer homomorfismo Quociente à direita Teorema 4.4..A família das RL é fechada em relação ao quociente à direita por uma linguagem regular. Se L 1 e L 2 são RL no mesmo alfabeto, então L 1 /L 2 é também LR L 1 /L 2 x y L 2 L 1 /L 2 ={x: xy LL 1 para algum y LL 2 } L 1 196

6 4.2. Pertença e finitude de LR s São formas padrão de representar linguagens: um autómato finito (DFA ou NFA) uma expressão regular uma gramática regular 197

7 A questão da pertença Teorema 4.5. Dada uma representação padrão de qualquer RL L em e dada uma qualquer cadeia w *, existe um algoritmo para determinar se w pertence ou não a L. - constrói-se um DFA de L e verifica-se se w é aceite ou não. 198

8 A questão de finitude ou infinitude Teorema 4.6. Existe um algoritmo para verificar se uma linguagem, dada numa forma padrão, é vazia, finita ou infinita.??? início q 1 q q 2 Existe um caminho para um estado aceitador? Existem ciclos num caminho para um estado aceitador? 1 199

9 A questão da igualdade de linguagens Teorema 4.7 Dadas duas linguagens regulares L 1 e L 2 numa forma padrão, existe um algoritmo para determinar se L 1 =L 2 L = (L 1 L 2 ) (L 2 L 1 ) L é vazia? sim L 1 = L 2 não L 1 L 2 200

10 4.3. Identificação de linguagens não regulares O princípio do pombal ( pigeonhole ) se dispusermos n objectos em m caixas (gaiolas no pombal) e se n > m, então pelo menos uma caixa tem que conter mais do que um objecto. 201

11 A analogia com os autómatos finitos têm memória limitada não são capazes de distinguir prefixos (de cadeias) de comprimentos arbitrários. num grafo de transição com n vértices, qualquer caminho de comprimento igual ou superior a n tem que repetir algum vértice, isto é, tem que conter um ciclo. Num autómato com n estados,,qualquer q cadeia mais longa do que n produz estados repetidos. 202

12 Exemplo 1: Provar que a linguagem L = {a n b n, n N} é não regular. Prova por contradição: Suponha-se sequeexisteumdfam existe um M que aceita L (L é regular) com n estados. Considere-se a cadeia a r b r, r n: q 0 a q 1 a q 2 a a q r b q r+1 b... b... q 2r Sendo r n e M tendo só n estados, tem que existir pelo menos um estado visitado duas vezes nas primeiras r transições. Admita-se que esse estado foi visitado nas iésima e jésima movidas,com j > i. 203

13 j-i movidas q i = q j q 0 Um caminho em M q k F Mas então, evitando o ciclo, a cadeia a r-(j-i) b r será aceite por M Mas é um absurdo porque a r-(j-i) b r não faz parte de linguagem L.... logo L é não regular 204

14 Exemplo 2: Provar que a linguagem L = {1 kk, k > 0} } é não regular ( 1 expoente k ao quadrado) Prova por contradição: Suponha-se que existe um DFA M que aceita L (L é regular) com n estados. Nesse caso M também deve aceitar a cadeia 1 nn q 0 1 q 1 1 q q... nn Sendo nn n e dado que M tem só n estados, terão que existir pelo menos dois estados iguais desde q 0 até q nn. Sejam eles q i e q j com j-i = m n, necessariamente. 205

15 m = j-i movidas q i = q j q 0 Um caminho em M q k F Mas agora poderemos repetir o ciclo mais uma vez, e por isso 1 (nn+m) será também aceite por M. Ora nn+m+ não é um quadrado: d o próximo quadrado d a seguir a n 2 é (n+1) 2 = nn + 2n + 1 > nn + m (note-se que m<n). E portanto 1 (nn+m) não será aceite por M.... logo L é não regular 206

16 OL Lema da bombagem b ( pumping lema ) Teorema 4.8. Seja L uma RL infinita. Então existe algum inteiro positivo m tal que toda a cadeia w L com w m se pode decompor em w=xyz com xy m e y 1 tl tal que w i =xy i z também pertence a L para todo o i=0, 1, 2,

17 y Movidas y 1 m q i =q j w=xyz z movidas q 0 x movidas q k F xy m i w i =xy i z 208

18 qualquer cadeia suficientemente longa de L pode -se partir em três partes, um número arbitrário de repetições da parte do meio produz outra cadeia de L, a parte do meio não está muito longe do início, a sub-cadeia do meio é bombeada, e daí o nome do lema. 0 m w x y z 209

19 Este lema serve para provar, por contradição, que uma linguagem não é regular: supõe-se que é regular verifica-se o que acontece se obedecer ao lema da bombagem, i.e., procura-se uma cadeia da linguagem igual ou maior a m, e nela uma decomposição xyz e um ciclo y (para todo o m). se for possível produzir uma cadeia que não pertença a L, para qualquer decomposição, contradiz-se o lema (para todo o m ) e portanto é não regular. 210

20 OL Lema pela afirmativa OL Lema pela negativa - existe um m tal que para - para qualquer valor de m sou capaz de encontrar - qualquer cadeia w m pertencente a L existe - (pelo menos) uma cadeia w m pertencente a L em que - uma decomposição xyz que - qualquer que decomposição xyz produz, pela bombagem produz, pela bombagem de de y, xy m y, xy m - todas cadeias pertencentes a L i 0, xy i z L - (pelo menos) uma cadeia que não pertence à linguagem i 0, xy i z L 211

21 O Lema pela afirmativa O Lema pela negativa -existe um m tal que - para qualquer valor de para m sou capaz de encontrar y Movidas y 1 m w=xyz z movidas - qualquer q cadeia w - (pelo menos) uma m pertencente a L cadeia w m existe pertencente a L em que q 0 x movidas q i = q j q k F - uma decomposição xyz que produz, pela bombagem de y, xy m - qualquer decomposição xyz produz, pela bombagem de y, xy m xy m w i =xy i z - todas cadeias - (pelo menos) uma Contradição: pertencentes a L cadeia que não Para qualquer valor de m que me proponhas i 0, xy i z L pertence à linguagem sou capaz de encontrar uma cadeia i 0, xy i z L maior do que m, em que qualquer q decomposição xy, com xy m e y 1, bombeada em y, dá pelo menos uma cadeia que não pertence à linguagem. 212

22 O lema garante que existe um m e uma decomposição xyz mas não diz como os encontrar. O m depende naturalmente da linguagem L, mas é uma constante em cada linguagem. A decomposição xyz tem que obedecer bd apenas às restrições xy m y não vazia Se encontrarmos um m específico ou uma decomposição particular xyz que viola o lema, isso não faz prova por contradição, porque pode haver um outro m que verifique o lema. Tem que se provar que o lema é contradito para todo o m. 213

23 Se, para qualquer que seja o valor de m, é possível encontrar uma cadeia (da linguagem em causa) maior do que ou igual a m, em que qualquer decomposição legítima xyz contraria o lema, então quer dizer que não existe um m apropriado, e portanto o lema é contradito. Dado um m qualquer (10000, ,...): Escolhe-se uma cadeia maior do que m. Nessa cadeia faz-se uma qualquer decomposição xyz. É possível bombear para fora da linguagem em todas as decomposições possíveis? Se sim a linguagem não é regular. 214

24 Exemplo: L= {a p b q c p, p,q 0 } é regular? Vamos à procura do m!!! 1º: m=1000 Seja a 1000 b 200 c 1000 Decomposição : xyz= a 999 a b 200 c 1000 Bombeando y 0 vezes obtém-se xyz= a 999 a 0 b 200 c 1000 = xyz=a 999 b 200 c 1000 L - e é suficiente para se rejeitar m=1000 Facilmente se vê que a bombagem i vezes, com i 1, produz cadeias que não pertencem à linguagem. E o mesmo acontece para qualquer outra decomposição tal que xy 1000 e y 1 215

25 2º: m= Seja a b 200 c Decomposição : xyz= a a b 200 c note-se que xy m Bombeando y 0 vezes obtém-se xyz= a a 0 b 200 c = =a b 200 c L - e é suficiente para se rejeitar m= A bombagem i vezes, com i 1, produz cadeias que não pertencem à linguagem. E o mesmo acontece para qualquer que outra decomposição o tal que xy e y 1. 3º: m= Seja a b 200 c Decomposição : xyz= a a b 200 c

26 4º Para qualquer outro valor de m, com uma cadeia com a mesma estrutura, a m b q c m, qualquer q que seja a decomposição xyz legítima, a bombagem i vezes, com i 1, produz cadeias que não pertencem à linguagem (seria suficiente mesmo que isso acontecesse só par um valor de i). Para qualquer valor de m que me dês, apresento-te a cadeia a m b 20 c m. Nesta cadeia é impossível encontrar uma decomposição xyz que satisfaça if o Lema da Bombagem. Conclusão: é impossível encontrar um valor de m que verifique o lema da bombagem!!! Por isso a linguagem é não-regular. 217

27 Ad demonstração pode-se fazer genericamente da seguinte forma: Prove pelo lema da bombagem b que a linguagem L = {a p b q c p, p,q 0 } não é regular. estrutura da cadeia em função de m (qualquer m) : a m b q c m decomposição xyz : x=a m-1, y=a, z=b q c m xy m: xy = m y =1_ bombagem:a a m-1 (a) i b q c m conclusão : quando (m-1+i) m, a cadeia bombeada passa a ter a s e c s em números diferentes, e por isso essa cadeia não pertence à linguagem,contrariando o lema da bombagem. O mesmo acontece para qualquer xy m e y 1. Logo a linguagem não é regular. 218

28 A demonstração, usando o lema da bombagem, de que uma linguagem g não é regular consiste em provar que: Para qualquer valor de m que me proponhas sou capaz de encontrar uma cadeia di maior do que m, em que qualquer decomposição xy, com xy m e y 1, bombeada em y, dá pelo menos uma cadeia que não pertence à linguagem. 219

29 Poema sobre o lema da bombagem: The Pumping Lemma by Harry Mairson Any regular language L has a magic number p And any long-enough word in L has the following property: Amongst its first p symbols is a segment you can find Whose repetition or omission leaves x amongst its kind. So if you find a language L which fails this acid test, And some long word you pump becomes distinct from all the rest, By contradiction you have shown that language L is not A regular guy, resiliant to the damage you have wrought. But if, upon the other hand, x stays within its L, Then either L is regular, or else you chose not well. For w is xyz, and y cannot be null, And y must come before p symbols have been read in full. As mathematical postscript, an addendum to the wise: The basic proof we outlined here does certainly ygeneralize. So there is a pumping lemma for all languages context-free, Although we do not have the same for those that are r.e. de edu/ html 220

30 Bibliografia An Introduction to Formal Languages and Automata, Peter Linz, 3rd Ed., Jones and Bartelett Computer Science, 2001 Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, 2nd Ed., John Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey Ullman, Addison Wesley, Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and Christos Papadimitriou, it i 2nd ded., Prentice Hall, Introduction to the Theory of Computation, Michael Sipser, PWS Publishing Co,