COMPLEXIDADE PARAMETRIZADA PARTE 1. Rafael Coelho.

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1 UMA BREVE INTRODUÇÃO À TEORIA DE COMPLEXIDADE PARAMETRIZADA PARTE 1 Rafael Coelho rcoelho@ime.usp.br Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo Seminários de Teoria da Computação, Combinatória e Otimização 26 de setembro de 2014

2 Os pais fundadores (a) Fellows (b) Downey (c) Langston Uma ideia simples, mas brilhante Talvez boa parte ou toda a explosão combinatória que precisamos enfrentar para resolver de forma exata uma instância qualquer de um problema intratável esteja confinada em uma característica estrutural pequena dessa instância.

3 Conceitos básicos e notação Como de praxe, descrevemos problemas de decisão como linguagens sobre um alfabeto finito não vazio Σ. Chamamos uma linguagem Q Σ de um problema de decisão clássico. Parametrização Uma parametrização de Σ é uma função π : Σ > computável em tempo polinomial. Problema parametrizado Um problema parametrizado é um par (Q, π), onde Q Σ e π é uma parametrização de Σ.

4 Conceitos básicos e notação Vamos representar um problema parametrizado da seguinte maneira: Um exemplo: π-q Entrada: x Σ. Parâmetro: π(x). Problema: x Q? -CLIQUE Entrada: um grafo G e k >. Parâmetro: (G). Problema: G tem uma clique de tamanho pelo menos k?

5 Conceitos básicos e notação Algoritmo parametrizado Um algoritmo é chamado de um algoritmo parametrizado (com respeito a uma parametrização π) se existem uma função computável f : > > e uma constante não negativa c tal que, para todo x Σ, o tempo de execução de com entrada x é no máximo f(π(x)) x c. Tratabilidade por parâmetro fixo Um problema parametrizado (Q, π) é chamado de tratável por parâmetro fixo se existe um algoritmo parametrizado (com respeito a π) que decide Q.

6 Conceitos básicos e notação A classe FPT FPT é a classe de todos os problemas tratáveis por parâmetro fixo. Observação Sejam Q um problema de decisão clássico definido sobre um alfabeto Σ e π uma parametrização de Σ. Considere o problema parametrizado L = (Q, π). Tome x Q e defina p = π(x). Para simplificar a escrita, vamos denotar por (x, p) a instância (x, π(x)) de L.

7 Conceitos básicos e notação Afirmação -CLIQUE é tratável por parâmetro fixo. Prova. Considere o algoritmo: ALGORITMOFPT -CLIQUE(G, k) 1 for todo v V(G) 2 do for todo S {u V(G) : {u, v} E(G)} 3 do if G[S {v}] é uma clique e S {v} k 4 then return SIM 5 return NÃO Sejam o grau máximo e n o número de vértices de G. Note que ALGORITMOFPT -CLIQUE decide CLIQUE em tempo O(2 2 n).

8 Conceitos básicos e notação Existem problemas que não são tratáveis por parâmetro fixo? Fatia de um problema parametrizado Sejam (Q, π) um problema parametrizado e l >. A l-ésima fatia de (Q, π) é o problema de decisão clássico (Q, π) l = {x Q : π(x) = l}. Afirmação Seja (Q, π) um problema parametrizado. Se (Q, π) FPT, então (Q, π) l P para todo l >.

9 Conceitos básicos e notação k-coloração Entrada: um grafo G e k >. Parâmetro: k. Problema: G admite uma coloração própria dos vértices com k cores? Teorema [Dailey, 1980] 3-COLORAÇÃO é um problema NP-completo mesmo se restrito a grafos planares 4-regulares. Afirmação k-coloração FPT, a menos que P = NP.

10 O continente perdido do tempo polinomial Preprocessing is a humble strategy for coping with hard problems, almost universally employed. It has become clear, however, that far from being trivial and uninteresting, that preprocessing has unexpected practical power for real-world input distributions, and is mathematically a much deeper subject than has generally been understood. It is almost impossible to talk about preprocessing in the classical complexity framework in any sensible and interesting way, and the historical relative neglect of this vital subject by theoretical computer science may be related to this fact. (Michael Fellows)

11 Regra de redução Uma regra de redução é uma função r : Σ > Σ > que, a cada instância (x, p) de um problema parametrizado L, devolve uma outra instância (x, p ) de L tal que (i) r é computável em tempo polinomial em x + p, (ii) (x, p) L se, e somente se, (x, p ) L. Núcleo Um núcleo consiste em um conjunto finito de regras de redução que, quando aplicadas (possivelmente em alguma ordem específica) em uma dada instância (x, p) de um problema parametrizado L, devolvem uma nova instância (x, p ) de L tal que x g(p) e p g(p) para alguma função computável g : > >. Chamamos x de núcleo e a função g de tamanho do núcleo.

12 Vamos ver uma aplicação concreta. Considere o seguinte problema parametrizado: k-cobertura POR VÉRTICES Entrada: um grafo G e k >. Parâmetro: k. Problema: G tem uma cobertura por vértices de tamanho no máximo k? Para simplificar a escrita, denotamos por (G, k) uma instância de k-cobertura POR VÉRTICES. Regra de redução 1 Se G tem um vértice isolado v, então devolva a instância (G v, k).

13 Fato Sejam G um grafo, k > e v um vértice de G com grau pelo menos k + 1. Se existe uma cobertura por vértices de G de tamanho no máximo k, então v pertence a toda cobertura por vértices de G de tamanho no máximo k. Regra de redução 2 Se G tem um vértice v de grau pelo menos k + 1, então devolva a instância (G v, k 1).

14 Fato Sejam G um grafo com grau máximo d e k >. Então, k vértices de G cobrem no máximo kd arestas de G. Lema Seja (G, k) uma instância afirmativa para o k-cobertura POR VÉRTICES. Se as regras de redução 1 e 2 não se aplicam a G, então V(G) k 2 + k e E(G) k 2. Prova. Como δ(g) 1, então para toda cobertura por vértices C de G, todo vértice em G C é adjacente a algum vértice de C. Mais ainda, como (G) k, segue que V(G C) k C e, portanto, V(G) (k + 1) C. Visto que (G, k) é uma instância afirmativa de L, temos que V(G) (k + 1)k e E(G) k 2.

15 Regra de redução 3 Seja (G, k) uma instância do k-cobertura POR VÉRTICES. Se as regras de redução 1 e 2 não se aplicam a G e V(G) > k 2 + k ou E(G) > k 2, conclua que (G, k) é uma instância negativa. Teorema [Buss & Goldsmith, 1993] k-cobertura POR VÉRTICES admite um núcleo com O(k 2 ) vértices e O(k 2 ) arestas. Pergunta tradicional: podemos fazer melhor do que isso? Resposta: SIM! Para entender como, precisamos antes entender o conceito de uma decomposição coronal.

16 Decomposição coronal Uma decomposição coronal de um grafo G é uma partição de V(G) em três partes C, H e R tais que (i) C e H são não vazios, (ii) C é um conjunto independente, (iii) não existem arestas entre vértices de C e R, (iv) seja E o conjunto de arestas entre C e H; E contém um emparelhamento que satura H. Teorema [Kőnig, 1931] Em um grafo bipartido, o tamanho de um emparelhamento máximo é igual ao tamanho de uma cobertura por vértices mínima.

17 Teorema [Hall, 1935] Seja G um grafo bipartido com bipartição (V 1, V 2 ). G admite um emparelhamento que satura V 1 se, e somente se, para todo X V 1, X N(X). Teorema [Hopcroft & Karp, 1973] Seja G um grafo bipartido com bipartição (V 1, V 2 ), n vértices e m arestas. É possível encontrar um emparelhamento máximo (e uma cobertura por vértices mínima) de G em tempo O(m n). Mais ainda, se G não admite um emparelhamento que satura V 1, em tempo O(m n) podemos encontrar X V 1 tal que X > N(X).

18 Teorema [Chor et al., 2004] Seja G um grafo sem vértices isolados e com pelo menos 3k + 1 vértices, para algum k >. Então, existe um algoritmo que, em tempo polinomial, encontra um emparelhamento de tamanho k+1 em G ou encontra uma decomposição coronal de G. Regra de redução 4 Seja (G, k) uma instância do k-cobertura POR VÉRTICES. Aplique as regras de redução 1, 2 e 3 exaustivamente a G. Se a instância ainda não foi decidida, chame de (G, k ) a instância reduzida. Se V(G ) 3k, devolva (G, k ). Do contrário, aplique o Teorema de Chor et al. a G. Se conseguirmos um emparelhamento de G com k + 1 arestas, conclua que (G, k ) é uma instância negativa. Se conseguirmos uma decomposição coronal V(G ) = R H C de G, aplique a regra de redução 4 recursivamente à instância (G H, k H ).

19 Teorema [Abu-Khzam et al., 2004] k-cobertura POR VÉRTICES admite um núcleo com no máximo 3k vértices. Vamos voltar para o cenário mais geral. Tome um problema parametrizado (Q, π). Suponha que Q seja decidível. Se (Q, π) FPT, então também é verdade que (Q, π) admite um núcleo? E a recíproca? Afirmação (Q, π) FPT se, e somente se, Q é decidível e (Q, π) admite um núcleo.