ALGUNS GRAFOS BEM-COBERTOS LIVRES DE K 1,3

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1 ALGUNS GRAFOS BEM-COBERTOS LIVRES DE K 1,3 Márcia R. Cappelle Santana UEG Universidade Estadual de Goiás Campus BR 153, Km 98 Caixa Postal: 459 CEP: Anápolis-GO mcappelle@ueg.br Rommel Melgaço Barbosa UFG Universidade Federal de Goiás Instituto de Informática, Campus Samambaia CEP Goiânia-GO rommel@inf.ufg.br RESUMO Um grafo é bem-coberto se todos os seus conjuntos independentes maximais de vértices são máximos. O problema de reconhecimento de grafos bem-cobertos é Co-NP-completo. Se o grafo não possuir um K 1,3 como subgrafo induzido o problema é polinomial. Embora o reconhecimento seja polinomial, existem poucas caracterizações destes grafos. Nosso objetivo é mostrar que podemos construir classes de grafos bem-cobertos livres de K 1,3 que não sejam simpliciais. PALAVRAS CHAVE. grafos bem-cobertos, grafos livres de K 1,3, número de independência, Teoria de Grafos. ABSTRACT A graph is well-covered if all its maximal independent sets of vertices are maximum. The well-covered recognition problem is Co-NP-complete. If the graph contains no induced subgraph isomorphic to K 1,3 the problem is polynomial. Although the recognition problem is polynomial, there are few characterizations of this graphs. Here we show a way to build classes of well-covered claw-free graphs that are not simplicial. KEYWORDS. Well-covered graphs, claw-free graphs, independence number. Graph Theory. [ 2237 ]

2 1. Introdução Seja G = (V, E) um grafo conexo. Um grafo G é livre de K 1,3 se não contém um subgrafo induzido isomorfo a K 1,3. Um grafo simples é regular se todo vértice deste grafo tem o mesmo grau. Um grafo regular é chamado n-regular se todo vértice neste grafo tem grau n. O grafo linha de G, denotado por L(G), é um grafo construído a partir de G da seguinte forma: cada aresta de G é representada por um vértice de L(G) e há uma aresta ligando dois vértices se as arestas correspondentes em G são adjacentes. Seja a V um vértice de G e A V qualquer conjunto de vértice: O conjunto de todos os vértices adjacentes a a será denotado por N(a); denotaremos: N[a]= N(a) {a}; Uma clique de G é um subgrafo induzido que é um grafo completo maximal em G. Um vértice v em um grafo G é simplicial se o grafo induzido por N[v] é uma clique em G. Um emparelhamento em um grafo conexo G = (V,E) é um conjunto de arestas M E(G) tal que quaisquer duas arestas não compartilham um vértice. Um emparelhamento é perfeito se satura todos os vértices do grafo. Um emparelhamento é maximal se não está propriamente contido em outro emparelhamento e é máximo se tem cardinalidade máxima. Um grafo G é equi-emparelhável se todo emparelhamento maximal de arestas em G é também máximo. Lesk, Plummer e Pulleybkank (1984) apresentaram um algoritmo polinomial que decide se um grafo é eqüi-emparelhável: Teorema 1 Lesk, Plummer e Pulleyblank (1984): Existe um algoritmo polinomial que decide se um grafo é equi-emparelhável. Um conjunto independente em um grafo G=(V,E) é um conjunto de vértices S V(G) tal que u,v S, u,v E(G). Um conjunto independente é maximal se não é subconjunto próprio de outro conjunto independente e é máximo se tem cardinalidade máxima. A cardinalidade de um conjunto independente máximo em um grafo G é o número de independência de G e é denotado por α(g). Um grafo G é bem-coberto se todo conjunto independente maximal de vértices em G é máximo. O problema de determinação de α(g) é um problema NP-Completo para grafos em geral. Para grafos bem-cobertos este problema torna-se mais simples, pois basta encontrar qualquer conjunto independente maximal, visto que todos têm a mesma cardinalidade. O problema de verificação de um grafo ser bem-coberto é um problema co-np-completo para grafos em geral como provado independentemente por Chvátal e Slater (1993) e Sankaranarayana e Stewart (1992). Caro, Sebö e Tarsi (1993) provaram que mesmo quando a entrada está restrita a grafos que não contêm um subgrafo induzido isomorfo a K 1,4, o problema permanece co-npcompleto. Os problemas relacionados aos conjuntos independentes de vértices em um grafo G = L(H) podem ser vistos como problemas de emparelhamentos no grafo H. O problema é que nem todo grafo é o grafo linha de algum grafo. Há uma lista de subgrafos proibidos para grafos linha da qual K 1,3 faz parte. Lovàsz e Plummer (1986) desenvolveram um algoritmo polinomial para determinação do número de independência de um grafo livre de K 1,3. Os autores transformam um grafo G, livre de K 1,3, em um grafo G* = L(H) para, então, construir o grafo H e aplicar algum algoritmo polinomial para calcular a cardinalidade do emparelhamento máximo que corresponderá a α(g'). O método utilizado na redução possibilita que α(g) seja facilmente calculado a partir α(g'). Teorema 2 Lovàsz e Plummer (1986): O número de independência de um grafo livre de K 1,3 pode ser computado em tempo polinomial. [ 2238 ]

3 Tankus e Tarsi (1996) apresentaram um algoritmo de tempo polinomial para verificar se um grafo G, livre de K 1,3, é bem-coberto. Eles utilizaram a redução de Lovàsz e Plummer (1986) para construir um grafo G*=L(H) a partir do grafo de entrada G. Posteriormente, verificam se H é equi-emparelhável, utilizando o algoritmo polinomial de Lesk, Plummer e Pulleyblank (1984). Se H é equi-emparelhável, G é bem-coberto. Teorema 3 Tankus e Tarsi (1996): Existe um algoritmo de tempo polinomial que decide se um grafo livre de K 1,3 é bem-coberto. Os Grafos bem-cobertos livres de K 1,3 que são 4-conexo e 4-regulares e os que são 4- conexos e planares foram caracterizados por Hartnell e Plummer (1996). Whitehead (1995) mostra como construir grafos bem-cobertos livres de K 1,3 unindo subgrafos isomorfos a K 2 ou K 3. O grafo resultante não contém 4-ciclos. A autora mostra que os únicos grafos bem-cobertos livres de K 1,3 sem 4-ciclos além dos construídos desta forma, são K 1, C 5 e C 7. Embora o reconhecimento de grafos bem-cobertos livres de K 1,3 seja polinomial, sabemos pouco sobre esta classe de grafos. As caracterizações de Hartnell e Plummer ( 1996) e Whitehead (1995) provêem, formas de construir infinitos grafos bem-cobertos livres de K 1,3. Podemos observar que alguns grafos caracterizados pelos primeiros autores são grafos linha e não se tratam de grafos simpliciais enquanto os grafos caracterizados por Whitehead são todos simpliciais. O objetivo deste trabalho é mostrar que existem outras formas de construir infinitos grafos bem-cobertos livres de K 1,3, simpliciais ou não, além das formas apresentadas por estes autores. 2. Resultados Uma maneira simples de construir grafos bem-cobertos é construir grafos simpliciais. Os grafos simpliciais bem-cobertos foram caracterizados por Prisner, Topp e Vestergaard (1996). Em um grafo simplicial cada vértice ou é um vértice simplicial ou é adjacente a um vértice simplicial. Assim, podemos decompor os vértices do grafo em cliques, sendo que cada uma destas cliques tem, pelo menos, um vértice simplicial. Qualquer conjunto independente maximal pode conter um vértice simplicial de uma clique e o grafo será bem-coberto. α(g) será igual ao número de cliques em G com estas características. Se adicionarmos a restrição de o grafo ser livre de K 1,3, temos que verificar para cada clique como ela está ligada a outras cliques. Chamemos cada clique de um componente V i do grafo, i = 1, 2,..., n. Quando houver um vértice x i V i adjacente aos vértices y 1, y 2,..., y k com k 2 que pertencem respectivamente aos componentes V 1, V 2,..., V n V i (não necessariamente distintos) então os vértices y 1, y 2,..., y k também serão adjacentes entre si. Hartnell e Plummer (1996) caracterizam os grafos bem cobertos da família G 0 que são grafos 4-conexos, 4-regulares, e livres de K 1,3. Eles são construídos da seguinte forma: Seja {K 4 (1),..., K 4 (r)} qualquer coleção de ao menos dois K 4 's. Una estes K 4 's com um emparelhamento perfeito para obter um grafo sobre 4r vértices. O grafo resultante é 4-conexo, 4- regular e livre de K 1,3. Para que estes grafos sejam bem-cobertos, cada um dos K 4 's não pode estar ligado a mais do que 3 outros K 4 's. Seguindo o raciocínio de Hartnell e Plummer podemos criar uma classe de grafos não simpliciais bem-cobertos livres de K 1,3 que necessariamente possuirão C 4 como subgrafo induzido, conforme o teorema abaixo: Teorema 4: Seja um grafo G conexo construído a partir da união de componentes que são subgrafos completos isomorfos a K 3, sendo que há uma quantidade par destes componentes. Os componentes estão ligados entre si formando um emparelhamento perfeito e cada um não pode estar ligado a mais do que outros dois componentes. Os grafos construídos desta forma são bemcobertos, livres de K 1,3 e conterão C 4 como subgrafo induzido. [ 2239 ]

4 Prova: Cada componente K 3 pode contribuir, ao máximo, em um vértice para um conjunto independente e então α(g) V(G) /3. Para que o grafo seja bem-coberto, temos que mostrar que todos os conjuntos independentes maximais são iguais, provando que exatamente um vértice de cada componente estará em um conjunto independente maximal. Devido à restrição de um componente estar ligado, no máximo, a dois outros componentes formando um emparelhamento perfeito, se o grafo tiver dois componentes, eles estarão ligados entre si e é trivial verificar que o grafo é bem-coberto. Se o grafo tiver mais que dois componentes, cada um estará ligado a exatamente outros dois componentes. Seja X 1 um componente e a, b, c os vértices deste componente e J um conjunto independente maximal de vértices em G. Então, para que nenhum vértice de um componente possa ser adicionado ao conjunto independente maximal J, cada um de seus três vértices são adjacentes a um vértice de J e se isto ocorre, como X 1 está ligado a exatamente dois componentes, temos 3 vértices independentes nestes dois componentes, o que contradiz a independência de J. Podemos facilmente verificar que o grafo é livre de K 1,3 pois cada vértice v de G tem grau 3 e os vértices de N(v) não são independentes entre si porque dois deles estão em um mesmo componente. O grafo sempre conterá um C 4 como subgrafo induzido pois um componente, digamos X 1, estará ligado a somente dois outros componentes. Seja X 2 um destes componentes (o único se o grafo contiver apenas dois componentes) e sejam a e b dois vértices de X 1 e c e d dois vértices de X 2. Então, sem perda de generalidade, a e b estão ligados, respectivamente, aos vértices c e d, e como os vértices a e b são adjacentes, assim como os vértices c e d também são adjacentes, teremos um C 4 induzido pelos vértices a, b, c e d. π Os grafos construídos da forma descrita pelo teorema acima são, ainda, 3-regulares. Podemos construir infinitos grafos com estas propriedades (veja figura 1), observando que não se tratam de grafos simpliciais. Figura 1: Grafos bem-cobertos livres de K 1,3 com 4-ciclos [ 2240 ]

5 Hartnel e Plummer sugerem que esta forma de construir grafos bem-cobertos livres de K 1,3 seja estendida a qualquer componente K m sendo que cada K m não pode estar ligado a mais que m-1 componentes distintos. Podemos generalizar a sua idéia para construir grafos bemcobertos livres de K 1,3 com componentes que são subgrafos completos de tamanhos diferentes e que não necessariamente sejam grafos regulares e que sejam ou não grafos simpliciais. O teorema 5 descreve a forma de construção de tais grafos. Teorema 5: Seja G um grafo conexo construído a partir da união de m grafos completos K n, n >1, aqui denominados componentes {V 1,V 2,...,V m }. Então G é bem coberto e é livre de K 1,3 se as seguintes condições são satisfeitas: 1. se x i V i é adjacente aos vértices y 1, y 2,..., y k com k 2 que pertencem respectivamente aos componentes V 1, V 2,..., V n V i (não necessariamente distintos) então os vértices y 1, y 2,..., y k também devem ser adjacentes entre si. 2. pelo um dos dois deve ocorrer: a. V i deve ter pelo menos um vértice simplicial; b. V i não pode ser adjacente a mais do que V i - 1 componentes distintos. Quando houver mais de uma aresta entre dois componentes, estas arestas devem formar um emparelhamento perfeito; Prova: A condição 1 assegura que o grafo será livre de K 1,3 já que cada vértice do grafo estará em, no máximo, duas cliques. Temos que mostrar que sempre é possível incluir um e somente um vértice de cada componente em qualquer conjunto independente maximal e então α(g) = m. Como cada componente é uma clique, só pode contribuir em, no máximo, um elemento para um conjunto independente maximal J e então resta provar que J sempre conterá exatamente um elemento deste componente. Seja V i um componente de G. Se a situação 2.a ocorre, então há pelo menos um vértice simplicial em V i que sempre poderá estar em J. Caso ocorra a situação 2.b e não ocorra a condição 2.a, então um componente estará ligado por arestas a não mais que V i -1 outros componentes e haverão, pelo menos, dois vértices de V i ligados a vértices de um mesmo componente formando um emparelhamento perfeito. Suponha, então, sem perda de generalidade, que J contenha vértices que são adjacentes a todos os vértices de V i. Neste caso, teríamos em V i -1 componentes V i vértices independentes o que contradiz a independência de J já que cada componente é uma clique. Então sempre haverá um vértice em V i que pode ser adicionado a J. π Figura 2 Dois grafos bem-cobertos livres de K 1,3. (i) é um grafo simplicial e (ii) não é um grafo simplicial [ 2241 ]

6 As condições do teorema 5 são suficientes mas não necessárias para construção de grafos livres de K 1,3 bem-cobertos. Portanto o teorema não é uma caracterização, e, então, existem outros grafos livres de K 1,3 bem-cobertos, que não satisfazem ao teorema. Os grafos construídos da forma descrita no teorema acima podem, ou não, serem grafos simpliciais. Se cada componente de um grafo G, livre de K 1,3, possui um vértice simplicial, o grafo G será um grafo simplicial. Temos na figura 2 dois grafos que satisfazem ao teorema sendo que o primeiro é um grafo simplicial e o segundo não. Referências Caro, Y., Sebö, A. e Tarsi, M. Recognizing greedy structures. Jouma1 of A1goritms, 20: , Chvátal, V. e Slater, P., A note on well-covered graphs. Quo Vadis Graph Theory?, p , Hartnell, B. e Plummer, M. D., On 4-connected claw-free well-covered graphs. Discrete Ap1ied Mathematics, 64:57-65, Lovàsz, L. e Plummer, M. D., Matching Theory, volume 29. E1sevier Science Publishers, Lesk, M., Plummer, M.D. e P ulleyblank W., Equimatchable graphs. Graphs Theory and combinatorics, p , Prisner, E., Topp, J. e Vestergaard, P.D., Well covered simplicial, chordal, and circular arc graphs. Journal of Graph Theory. 21: , 1996 Sankaranarayaba, R. e Stewart, L., Complexity results for well-covered graphs. Networks, 22: , Tankus, D. e Tarsi, M., Well-covered Claw-Free Graphs. Journa1 of Combinatoria1 Theory, 66: , Whitehead, C. A., A characterization of well-covered claw-free graphs containing no 4-cycles. Ars Combinatoria., 39: ,1995. [ 2242 ]