INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos. RESOLUÇÃO DO 2 o TESTE

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos Ano Lectivo de 2006/ o Semestre RESOLUÇÃO DO 2 o TESTE I. (2,0+2,0+2,0 = 6,0 val.) 1) Calcule o valor óptimo da função objectivo e o respectivo valor das variáveis x 1, x 2 e x 3 para o programa linear utilizando o algoritmo Simplex. max x 1 + 2x 2 + 3x 3 s.a. x 1 + x 2 + 2x 3 8 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 20 x 1,x 2,x 3 0 x 1 = 0, x 2 = 8, x 3 = 0, função objectivo= 16. 1/12

2 2) Calcule o valor óptimo da função objectivo e o respectivo valor das variáveis x 1, x 2 e x 3 para o programa linear utilizando o algoritmo Simplex. max x 1 + x 2 + x 3 s.a. x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 x 1 + 2x 2 + x 3 3 x 1,x 2,x 3 0 Não exequível. 2/12

3 3) As análises de um paciente demonstram a falta dos nutrientes N a,n b,n c. No entanto, estes nutrientes podem ser encontrados em diferentes alimentos. Considere a seguinte tabela que indica a quantidade de cada nutriente N a,n b,n c por cada quilograma dos diversos alimentos A 1,A 2,A 3. N a N b N c A A A O problema de saúde do paciente pode ser resolvido se consumir 30 unidades de cada um dos três nutrientes. No entanto, o preço por quilograma dos alimentos difere da seguinte forma: preco(a 1 ) = 1, preco(a 2 ) = 3, preco(a 3 ) = 2. Indique a formulação de programação linear que ajude o paciente na compra dos alimentos. Pretende-se comprar uma certa quantidade de cada alimento de tal forma a que o paciente consuma a quantidade de nutrientes que precisa, mas minimizando o custo total. Seja x i a quantidade do alimento A i a comprar pelo paciente. minimizar x 1 + 3x 2 + 2x 3 s.a. 3x 1 + 8x x x 1 + 4x 2 + 5x x 1 + 7x 2 + 2x 3 30 x 1,x 2,x 3 0 3/12

4 II. (1,5+2,0+1,5 = 5,0 val.) 1) Considere que são dados 2 veículos e um conjunto de N cidades, todas ligadas entre si, e ordenadas previamente de 1 a N. O objectivo é determinar o percurso de cada um dos dois veículos de tal forma que a distância total percorrida por eles seja mínima. todas as cidades têm que ser visitadas por um e um só veículo. cada percurso deve respeitar a ordem estabelecida para visitar as cidades. cada veículo pode começar em qualquer cidade e pode terminar em qualquer cidade (não tem que voltar ao início). as distâncias entre cidades d[i, j] são todas positivas, mas podem não respeitar a desigualdade triangular. Escreva a fórmula da recursão para a resolução deste problema em termos de programação dinâmica. Basta considerar os casos i < j. c[0, 1] = 0 c[i, j] = c[i, j 1] + d[ j 1, j], i < j 1 (o segundo carro teve de vir de j 1) min (c[k, j 2] + d[k, j]) k=0,..., j 2, caso contrário (segundo carro não utilizado ou vindo de 1,..., j 2) V Opt (N) = min k=1,...,n 1 c(k,n) 4/12

5 2) Considere a seguinte instância do problema da mochila não fraccionário com 5 objectos: M = 13 p = 2,3,7,5,11 v = 4,20,28,30,46 M é o peso máximo da mochila, p i é o peso do objecto i e v i é o valor do objecto i. Calcule os valores máximos conseguidos utilizando: uma estratégia greedy com base na ordenação dos valores v i /p i. um algoritmo baseado em programação dinâmica Greedy Prog. Dinâmica /12

6 3) Considere o problema de compressão de dados de um ficheiro usando a codificação de Huffman. Para cada caracter, indique o código livre de prefixo óptimo para um ficheiro com as seguintes ocorrências: f (a) = 28, f (b) = 20, f (c) = 28, f (d) = 18, f (e) = 25, f ( f ) = 26, f (g) = 28, f (h) = 12. Qualquer solução com um código de 3 bits para cada caracter, desde que diferentes entre si. 6/12

7 III. (1,5+1,5+2,0 = 5,0 val.) 1) Considere o algoritmo de Knuth-Morris-Pratt. Calcule a função de prefixo π para o padrão aabcaabccacbcaabcaba. P a a b c a a b c c a c b c a a b c a b a i π P a a b c a a b c c a c b c a a b c a b a i π /12

8 2) Considere o algoritmo baseado em autómatos para o emparelhamento de cadeias de caracteres. Seja n N e P o padrão ab n ab n 1 ab n 2...ab 2 aba tal que a b e a,b Σ. Calcule o número de transições para estados diferentes do inicial em função de n e Σ. a. (n 2 + 3n) Σ b. n Σ c. (n + 2)(n + 1) + 2 d. (n + 2)(n + 1)/2 + 1 e. n 2 + 3n + 2 f. nenhuma das alíneas anteriores e 8/12

9 3) Indique qual das frases seguintes está incorrecta. a. P NP. b. Seja X NPC, é possível verificar respostas para instâncias positivas de X em tempo polinomial. c. Se existe X P NPC, então P = NP. d. Basta que exista um algoritmo com complexidade linear que resolva X NP para que NPC P. e. Dado X NP-difícil, qualquer Y NPC verifica Y p X. f. P NP conp. g. Se existem X NPC e Y NP tais que X p Y, então Y NP-difícil. d 9/12

10 IV. (2,0+2,0 = 4,0 val.) 1) O problema cobertura de conjuntos, SET-COVER, consiste em determinar se, dada uma colecção de conjuntos S 1,...,S n, cuja união é o conjunto U, existe um subconjunto de k desses conjuntos cuja união seja U. Formalmente: Dados: n conjuntos S 1,...,S n e um k N Questão: existe C {1,...,n} tal que C k e S i C S i = S n i=1 S i? Prove que o problema SET-COVER é NP-Completo. Pista: provou-se nas aulas que o problema cobertura de vértices num grafo, VERTEX-COVER, é NP-Completo. Provar que está em NP: dado um conjunto C {1,...,n}, provar que S i C S i contém todos os elementos de U pode ser feito em tempo linear em termos do número de elementos que pertencem a todos os S i, com i C. Verificar que a cardinalidade de C é igual ou inferior a k é trivial. Provar que é NP-difícil: redução de VERTEX-COVER a SET-COVER. Formar por cada vértice um conjunto diferente formado com os arcos cobertos por esse vértice. Dada uma instância de VERTEX-COVER, G(V,E),k, criar uma instância de SET-COVER S 1,...,S n,k, em que n = V e S i = {e E : e incidente em v i }. Claramente, esta redução é realizada em tempo polinomial, O(V E). Seja C V V uma cobertura de vértices de tamanho k ou menor. Então C S = {i : v i C V } é uma cobertura de conjuntos de tamanho k ou menor ( C S = C V ). Notar que U = S n i=1 S i = E, e todos arcos estão cobertos pelos vértices em C V. Seja C S {1,...,n} uma cobertura de conjuntos, com C S k. Portanto, S n i=1 S i = E. Nesse caso, C V = {v i : i C S } cobre todos os arcos com C V = C S k. 10/12

11 2) Dado um grafo G(V,E), pesado, ligado e não dirigido, e um conjunto de vértices U V, chamados terminais, a Árvore de Steiner consiste num conjunto de arcos S E com peso total mínimo que interliguem todos os vértices em U (nota: os caminhos que ligam os vértices em U podem incluir vértices que não pertencem a U). Por exemplo, para o grafo da figura seguinte, com U = {A,B,C}, a Árvore de Steiner {(A,D),(B,D),(C,D)} tem peso 3 e utiliza o vértice D como vértice intermédio. A B D 1 2 C Considere pesos positivos e que se verifica a desigualdade triangular. Este problema da Árvore de Steiner está provado ser NP-difícil. a. Considere que se calculam os caminhos mais curtos entre todos os pares de vértices de G e se constrói um grafo completo G (V,E ) em que V = U e cada arco em E tem o peso do caminho mais curto entre os pares de vértices a que está ligado. Calcule a relação entre o peso de uma MST em G e o custo da Árvore de Steiner em G. (pista: utilize uma abordagem semelhante à do caixeiro viajante estudada nas aulas: calcule o custo de um circuito que visita os vértices de U por uma ordem definida por uma pesquisa sobre a Árvore de Steiner). 11/12

12 b. Proponha um algoritmo de aproximação com limite da razão de aproximação igual a 2 para este problema. a. Seja C o custo da Árvore de Steiner. Definir um circuito H que percorre a Árvore de Steiner visitando os vértices pela ordem definida por uma pesquisa em profundidade primeiro. Este circuito percorre cada arco duas vezes logo o seu custo será C(H) = 2C. Retirando do circuito todos os nós não-terminais e os nós terminais quando aparecem pela segunda vez, obtém-se um circuito H que passa só por nós terminais, uma e uma só vez, e que terá um custo C(H ) 2C (pela desigualdade triangular, retirar um nó intermédio reduz ou mantém o comprimento total). Retirar um qualquer arco a este circuito resulta numa árvore abrangente T em G, e C(T ) < C(H ). Por definição, C(MST ) C(T ) logo C(MST ) 2C. b. (a) calcular G, e guardar f (u,v): nós de G no caminho mais curto entre os nós terminais u e v (b) calcular MST sobre G (c) calcular árvore T formada pela S (u,v) MST f (u,v) T é uma árvore que liga todos os nós em U. Pela alínea a), esta árvore terá um custo inferior a duas vezes a Árvore de Steiner. Cada um dos passos do algoritmo é realizado em tempo polinomial, logo temos um algoritmo também ele polinomial. 12/12