Largura em Árvore de Grafos Planares Livres de Ciclos Pares Induzidos

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1 Largura em Árvore de Grafos Planares Livres de Ciclos Pares Induzidos Aline Alves da Silva Departamento de Computação Universidade Federal do Ceará (UFC) Campus do Pici, Bloco 910 Fortaleza, CE Brasil Ana Silva Departamento de Computação Universidade Federal do Ceará (UFC) Campus do Pici, Bloco 910 Fortaleza, CE Brasil Cláudia Linhares Sales Departamento de Computação Universidade Federal do Ceará (UFC) Campus do Pici, Bloco 910 Fortaleza, CE Brasil Resumo A classe dos grafos planares possui largura em árvore ilimitada, pois a grade k k, k N, é planar e tem largura em árvore k. Logo, é interessante conhecermos subclasses de grafos planares cuja largura em árvore é limitada. Neste artigo, mostramos que se G é um grafo planar livre de buracos pares, então G não possui uma subdivisão da grade Desta forma, se os menores grade de G são obtidos de subdivisões, então G possui largura em árvore no máximo 49. PALAVRAS CHAVE: Grafos planares. Grafos livres de buracos pares. Largura em árvore. Teoria de Grafos. Abstract The planar graph class has unbounded treewidth, since the k k grid, k N, is planar and has treewidth k. So, it is of interest to acknowledge subclasses of planar graphs wich have bounded treewidth. In this paper, we show that if G is an even-hole-free planar graph, then it does not contain a subdivision of the grid. So, if the grid minors of G are obtained from subdivisions, then G has treewidth at most 49. KEYWORDS: Planar Graphs. Even-hole-free graphs. Treewidth. Graph Theory. Esse projeto foi financiado pelo CNPq. [2589]

2 1 Introdução Os conceitos de Decomposição em Árvore e Largura em Árvore foram introduzidos por Robertson e Seymour em sua série de artigos sobre menores de grafos, publicados ao longo da década de 90. Intuitivamente, uma decomposição em árvore de um grafo procura organizar os vértices do grafo em uma estrutura de árvore, e a largura desta decomposição reflete o quão bem essa tarefa é desempenhada. Ademais, a largura em árvore de um grafo é igual à menor largura de uma decomposição em árvore do mesmo. Desta forma, a largura em árvore mede a semelhança do grafo a uma árvore. Sabe-se que muitos problemas N P-difíceis podem ser resolvidos polinomialmente para um grafo G, dada uma decomposição em árvore de G de largura limitada. Logo, limitar a largura em árvore de uma classe de grafos torna-se um objeto de estudo de grande interesse. Neste contexto, a classe dos grafos planares se mostra bastante intrigante, uma vez que, apesar de possuir outras métricas limitadas em valores baixos (por exemplo, clique máxima e número cromático no máximo igual a quatro [Kuratowski, 1930, Appel and Haken, 1976]), não possui largura em árvore limitada. Basta notar que a grade k k é um grafo planar cuja largura em árvore é igual a k, para todo inteiro k[biró, 2005]. Desta forma, uma alternativa é restringir a classe estudada para uma subclasse dos grafos planares. Neste artigo, estudamos a classe dos grafos planares livres de buracos pares (que daqui em diante, iremos representar por Γ) e mostramos que um grafo em Γ não contém uma subdivisão da grade Em [Robertson et al., 1994], Robertson et al. provam que se G não possui um menor grade k k, então G tem largura em árvore no máximo 6k 5. Esse limite superior foi melhorado pelos mesmos autores para 5k 1 [Robertson et al., 2000]. Esse último resultado, junto com o resultado do presente artigo, implicam que: se G Γ é tal que todo menor grade k k de G pode ser obtido por uma subdivisão da grade, então G possui largura em árvore no máximo Definições Dizemos que um grafo G contém um grafo H, se H é um subgrafo de G, e que G é livre de H se G não possui H como subgrafo induzido. Um buraco em G é um ciclo induzido em G de tamanho pelo menos quatro. Denotamos por C k um buraco de tamanho k e o chamamos de k-buraco. Um buraco é dito par se ele possui um número par de vértices. Um grafo G = (V, E) é dito completo se (u, v) E, para todo par de vértices u, v V. Denotamos por K n o grafo completo com n vértices. Seja G um grafo e A, B V (G). Denotamos por N A (B), e chamamos de vizinhança de B em A, o conjunto de vértices de A que é vizinho de pelo menos um vértice de B, retirando B. Ou seja, N A (B) = {N(u) A : u B} \ B. A grade k l é o grafo G = (V, E), onde V = {(i, j) : 1 i k, 1 j l; i, j N} e E = {(i, j)(i, j ) : i i + j j = 1}. Denotamos tal grade por G k l. Uma decomposição em árvore de G é um par, {X i i I}, T, onde cada X i é um subconjunto de vértices de G e T é uma árvore cujo conjunto de vértice é I. Além disso, as seguintes propriedades devem ser válidas: i I X i = V ; para toda aresta (u, v) E, existe i I tal que {u, v} X i ; e para todo i, j, k I tais que j está no caminho de i até k em T, então X i X k X j. A largura de {X i i I}, T é dada por max i I X i 1, enquanto que a largura em árvore de G é o menor valor k tal que G possui uma decomposição em árvore de largura k. Denotamos a largura em árvore de G por LA(G). Uma subdivisão de uma aresta e = (u, v) de um grafo G = (V, E) é o grafo obtido pela troca dessa aresta por um caminho de tamanho 2, formado pelo acréscimo de um novo vértice no grafo adjacente às extremidades da aresta original. Uma subdivisão de um grafo G é um grafo obtido a partir de G por uma seqüência finita de subdvisões de arestas. [2590]

3 Seja (x, y) uma aresta de G. Denotamos por G xy o grafo obtido de G pela contração de (x, y) a um vértice x y. Ou seja, V (G xy ) = (V (G) {x, y}) {x y} e E(G xy ) = (E(G) {(x, y)}) {(x y, z): (x, z) ou (y, z) E(G)}. H é um menor de G se pode ser obtido de G por uma seqüência de deleções de arestas, contrações de arestas ou deleções de vértices; enquanto que H é um menor topológico de G se G contém uma subdivisão de H como subgrafo. Nas seções seguintes, iremos mostrar que G não possui um menor topológico da grade Resultados Robertson, Seymour e Thomas [Robertson et al., 1994, Robertson et al., 2000] provaram o seguinte Teorema que relaciona grafos planares, largura em árvore e menores grade k k: Teorema 3.1 ([Robertson et al., 1994, Robertson et al., 2000]) Todo grafo planar que não possui um menor isomórfico a uma grade k k tem largura em árvore no máximo 5k 1. Um resultado também interessante, relacionando menores grade 3 3 e largura em árvore, é apresentado em [Birmelé et al., 2006] e enunciado no Teorema 3.2. Porém, infelizmente, os grafos planares livres de buracos pares podem possuir um menor grade 3 3, como pode ser observado na Figura 1. Teorema 3.2 ([Birmelé et al., 2006]) Seja G um grafo sem um menor grade 3 3. Então, LA(G) 7. Figura 1: Grafo planar livre de buracos pares que contém um menor grade 3 3 O principal objetivo deste artigo é provar o seguinte Teorema: Teorema 3.3 Se G é um grafo planar livre de buracos pares, então G não possui a grade como menor topológico. Os Teoremas 3.1 e 3.3 resultam no seguinte Corolário: Corolário 3.1 Seja G um grafo planar livre de buracos pares. Se todo menor grade k k de G é obtido por uma subdivisão da grade, então LA(G) 49. A seção seguinte é dedicada exclusivamente à prova do Teorema Subdivisão de G Seja G um grafo qualquer. Suponha que H é um subgrafo minimal induzido de G que contém uma subdivisão de G k l. Temos que G k l é um menor topológico de G. Observe que H não é necessariamente uma subdivisão de G k l, ele próprio. Dizemos que H é um modelo de G k l [2591]

4 e chamamos os vértices de H que correspondem aos vértices de G k l de vértices primários do modelo. Aos demais vértices, chamamos vértices secundários. A prova do teorema é feita em duas etapas: a primeira consiste em mostrar que se G Γ então G é livre de determinadas estruturas. A segunda etapa consiste em mostrar que um modelo de G possui necessariamente tais estruturas. Como conseqüência, temos que se G Γ, então G não possui um modelo de G As definições que seguem serão utilizadas nas provas. Uma estrutura ponto-ponto consiste de dois vértices u e v unidos por três caminhos induzidos P 1, P 2 e P 3 de comprimento pelo menos dois, disjuntos dois a dois, internamente, em vértices e sem cordas entre si. Uma estrutura triângulo-triângulo consiste de dois triângulos, x, y, z e x, y, z, e três caminhos induzidos, P x, P y e P z, ligando x a x, y a y e z a z, respectivamente. Além disso, P x, P y e P z são disjuntos dois a dois em vértices e sem cordas entre si. Como pelo menos dois dos caminhos P 1, P 2 e P 3 (ou P x, P y e P z ) têm a mesma paridade, é fácil observarmos que todo grafo livre de buracos pares é, também, livre das estruturas ponto-ponto e triângulo-triângulo. Uma estrutura ponto-buraco é formada por um vértice, x, um buraco, H, x H, e três caminhos induzidos entre x e H, disjuntos dois a dois, internamente, sem cordas entre si e tais que existe somente um vértice interno em cada caminho vizinho ao buraco. Em contrapartida, uma estrutura triângulo-buraco é formada por um K 3, x, y, z, um buraco, H, e três caminhos induzidos, P x, P y, P z, ligando x, y e z a H, respectivamente. Além disso, P x, P y e P z são disjuntos dois a dois, sem cordas entre si e tais que existe somente um vértice interno em cada caminho vizinho ao buraco. Lema 4.1 Seja G Γ. Temos que G não possui uma estrutura ponto-buraco, ou triângulo-buraco, onde os caminhos têm comprimento pelo menos dois e as vizinhanças dos caminhos no buraco são separadas por pelo menos um vértice. Prova: Denote por P 1, P 2, P 3 os caminhos da estrutura em questão e por H, o buraco. Iremos mostrar por contradição. Analisamos os seguintes casos: (i) Existem P i, P j tais que N H (P i ) 3 e N H (P j ) 3: Sejam x i e x j os vértices internos de P i e P j vizinhos a H, respectivamente (note que são únicos, devido às definições de estrutura ponto-buraco e triângulo-buraco). Numere os vértices de H, v 1,, v q, de forma que todos os vizinhos de x i ocorram antes de todos os vizinhos de x j (note que isso é possível, pois o grafo é planar). Sejam vi e o vizinho de x i mais à esquerda na ordem e vi d, o mais à direita. Defina vj e e vd j com relação a x j analogamente. Temos uma contradição, devido à existência da estrutura ponto-ponto unindo os vértices x i e x j pelos seguintes caminhos: caminho unindo vi e e vd j em H que não passa por vd i e ve j ; caminho unindo vd i e ve j em H que não passa por vi e e vd j ; e caminho formado pela união dos caminhos P i e P j, passando pelo vértice ou triângulo (dependendo de qual estrutura se trata, se ponto-buraco ou triânguloburaco). Note que, se N H (P i ) = {v, v }, porém v N(v ), ainda é possível tomar os caminhos descritos. O mesmo ocorre pra P j, obviamente. (ii) Existem P i, P j tais que N H (P i ) = {v i } e N H (P j ) = {v j }: é fácil ver que teremos uma estrutura ponto-ponto unindo os vértices v i e v j e formado pelos três seguintes caminhos: dois deles definidos por H (cada caminho terá pelo menos um vértice intermediário, devido à premissa) e o terceiro caminho definido pela união dos caminhos P i e P j (caso se trate de uma estrutura triângulo-buraco, o caminho conterá também a aresta do triângulo unindo os caminhos P i e P j ). (iii) N H (P i ) = {v 1, v 2 }, N H (P j ) = {u 1, u 2 }: nesse caso, vamos mostrar que (v 1, v 2 ) e (u 1, u 2 ) são obrigatoriamente arestas de H. Sem perda de genaralidade, suponha por absurdo que [2592]

5 (v 1, v 2 ) não é uma aresta de H. Logo, é fácil vermos que o grafo possui uma estrutura ponto-ponto unindo os vértices v 1 e v 2 (dois desses caminhos estão em H e outro é formado pela união dos caminhos P i e P j ). Agora, sabendo que (v 1, v 2 ), (u 1, u 2 ) E(H), sejam v P i \ {v 1, v 2 } e u P j \ {u 1, u 2 } vizinhos de H (são unicamente definidos, devido às definições das estruturas ponto-buraco e triângulo-buraco). Numere os vértices de H a partir de v 1 e suponha, sem perda de generalidade, que v 1, v 2, u 1, u 2 aparecem nesta mesma ordem após a numeração. Logo, nesse caso, temos uma estrutura triângulo-triângulo no grafo formada pelos dois K 3, v 1, v 2, v e u 1, u 2, u, e caminhos entre v 1 e u 2, v 2 e u 1 contidos em H, e entre u e v definido pela união dos caminhos P i e P j passando pelo vértice ou triângulo da estrutura. (iv) N H (P i ) 3 e N H (P j ) = {v}: numere os vértices de H a partir de v e seja x i o vértice interno de P i que possui um vizinho em H, e vi e e vi d, o vizinho mais à esquerda de x i na ordem e o mais à direita, respectivamente. Temos uma estrutura ponto-ponto unindo os vértices x i e v e formada pelos três seguintes caminhos induzidos, de comprimento pelo menos dois, disjuntos e sem cordas entre si: subcaminho v = v 1,, vi e, x i de H na ordem dada; subcaminho x i, vi d,, v H, v 1 = v de H na ordem dada; e caminho entre v e x i passando somente pelos vértices dos caminhos P i e P j. Note que, pelos itens (i) a (iii), a única possibilidade de existência da estrutura descrita no teorema é que um dentre os caminhos P 1, P 2, P 3 possua exatamente um vizinho em H, um possua exatamente dois vizinhos em H e o último possua três ou mais vizinhos em H, porém, pelo item (iv), isso também não é possível. No que segue, uma estrutura proibida é uma estrutura ponto-buraco ou triangulo-buraco tal como descrita no Lema 4.1. Seja H um modelo em G de uma grade G k l. Iremos representar o vértice primário de H correspondente ao vértice (i, j) de G k l por v i,j. Além disso, iremos representar o caminho na subdivisão entre dois vértices u, v numa mesma linha i por L i [u, v] (u e v podem ser primários ou secundários). Iremos usar parênteses em vez de colchetes quando nos referirmos ao caminho sem tal extremidade. Por exemplo, L 1 [v 1,3, v 1,5 ) representa o caminho entre v 1,3 e v 1,5 na linha 1 da subdivisão de G k l, incluindo v 1,3 e excluindo v 1,5. Às vezes, utilizaremos a notação L i [r, s] quando os vértices das extremidades do caminho forem os vértices primários v i,r e v i,s, já que o índice i, no caso, torna-se reduntante. Analogamente, definimos C i [u, v] como sendo o caminho entre u e v na coluna i da subdivisão, onde u e v são vértices quaisquer da coluna i. As notações adicionais utilizadas para linhas também serão utilizadas, de maneira análoga, para colunas. Seja G Γ e considere que H é um modelo de G em G. Na prova do Lema 4.2, utilizaremos os seguintes fatos, que podem ser facilmente verificados, devido a G ser planar e H ser minimal: (F1) L i [j, j + 1] é um caminho induzido, para 1 i 10 e 1 j 9. O mesmo é válido para C i [j, j + 1]. (F2) Para 1 < i, j < 10, a vizinhança de L i (j, j + 1) está contida em L i 1 [j, j + 1] L i+1 [j, j + 1] C j [i 1, i + 1] C j+1 [i 1, i + 1]. Analogamente, o mesmo é válido para as colunas. Lema 4.2 Se G contém uma subdivisão de G 10 10, então G possui uma estrutura proibida. Prova: Dividimos a prova deste lema em duas partes, a seguir: Parte 1: Seja H um modelo de G em G. Seja H um modelo de G 3 2 contido em H que não possui vértices das linhas 1 ou 10, nem das colunas 1 ou 10 (a subdivisão em H é interna à [2593]

6 subdivisão em H) e, além disso, possui vértices de colunas e linhas consecutivas da subdivisão de G No que segue, os vértices, linhas e colunas rotulados se referem ao modelo H. Queremos mostrar que existe uma estrutura formada por um vértice v, ou um K 3, = x, y, z, e três caminhos induzidos, disjuntos e sem cordas entre si, ligando v, ou cada um dos vértices de, aos vértices v 1,1, v 3,1 e v 2,2. Tal vértice, ou triângulo, será escolhido usando os vértices da linha 2 da subdivisão de H. A seguir, analisamos os possíveis casos: 1. Não existem arestas entre L 2 (1, 2] e C 1 [1, 2), nem entre L 2 (1, 2] e C 1 (2, 3]: trivial, basta tomar o vértice v 2,1 e os caminhos L 2 [1, 2], C 1 [1, 2] e C 1 [2, 3]. 2. Existem arestas somente entre L 2 (1, 2] e C 1 [1, 2): seja u 1,, u q os vértices de C 1 [1, 2] numerados a partir de v 2,1 até v 1,1 ; e seja v 1,, v r os vértices de L 2 [1, 2] numerados a partir de v 2,1 até v 2,2. Seja (u i, v j ) uma aresta tal que i e j são máximos. Certamente, i > 1 e j > 1. Considere os seguintes subcasos: (a) Se (u i, v l ) E(H), para qualquer 1 l < j: Observe a figura 2. Tomamos o vértice v j e os caminhos P 1 = v j, u i,, u q, P 2 = v j, v j 1, v 1 C 1 (2, 3] e P 3 = v j,, v r entre v j e v 1,1, v 3,1 e v 2,2, respectivamente. Certamente, não existem arestas entre P 2 e P 3, devido a (F1) e ao fato de que não existem arestas entre L 2 (1, 2] e C 1 (2, 3]. Ademais, não existem arestas entre P 1 e P 3 devido à escolha de i e j, nem entre P 1 e P 2, devido a (F2) e ao fato de que u i não possui vizinhos em {v 1,, v j 1 }. (b) Existe v l N(u i ), onde l < j: tomamos o vértice u i e os caminhos P 1 = u i,, u q, P 2 = u i, u i 1,, u 1 C 1 (2, 3] e P 3 = u i, v j,, v r entre u i e v 1,1, v 3,1 e v 2,2, respectivamente. Certamente, não existem arestas entre P 1 e P 3, devido à escolha de i e j; nem entre P 1 e P 2, devido a (F1) e (F2). Se não existem arestas entre P 2 e P 3, temos uma estrutura como a desejada. Caso contrário, as possíveis arestas entre P 2 e P 3 certamente ocorrem entre v j e {u 1,, u i 1 }, pois o grafo é planar e devido a não existirem arestas entre L 2 (1, 2] e C 1 (2, 3]. Temos, então, que u i não possui vizinhos em {v 2,, v j 1 }, pois o grafo é planar. Logo, como deve existir v l N(u i ), para algum 1 l < j, temos que a única possibilidade é que v 1 N(u i ), ou seja, i = 2. Além disso, como existe u l N(v j ), para 1 l < i = 2, temos que j = 2. Desta forma, u i, v j, v 2,1 é um triângulo, que, juntamente com os caminhos tomados, formam uma estrutura como a desejada. 3. Existem cordas somente entre L 2 (1, 2] e C 1 (2, 3]: análogo ao caso anterior. 4. Existem cordas entre L 2 (1, 2] e C 1 [1, 2] e entre L 2 (1, 2] e C 1 (2, 3]: numere os vértices de C 1 [1, 2] e L 2 [1, 2] como feito no caso 2. Além disso, seja também w 1,, w s uma numeração de C 1 [2, 3] a partir do vértice v 2,1. Sejam (u i, v j ), (w f, v g ) E(H) tais que i, j, f, g são máximos. Analisamos os seguintes casos: (a) g = j: tomamos o vértice v g e os caminhos P 1 = v g,, v r, P 2 = v g, u i,, u q e P 3 = v g, w f,, w s entre v g e v 1,1, v 2,2 e v 3,1, respectivamente. Não existem arestas entre P 1 e P 2, pela escolha de i e j; nem entre P 1 e P 3 pela escolha de f e g; nem entre P 2 e P 3, por (F2). (b) g > j: Observe a figura 3. Tomamos o vértice v g e os caminhos P 1 = v g,, v r, P 2 = v g, w f,, w s e P 3 = v g, v g 1,, v j, u i,, u q. Certamente, não existem arestas entre P 1 e P 3, nem entre P 1 e P 2, devido à escolha de i, j, f, g. Se w f não possui vizinhos em {v j,, v g 1 }, não haverá arestas entre P 2 e P 3, logo, obtemos uma estrutura como a desejada. Caso contrário, tomamos o vértice w f e os caminhos P 1 = w f, v g,, v r, P 2 = w f, w f 1,, w 1 = u 1,, u q e [2594]

7 P 3 = w f,, w s. Não existem arestas entre P 1 e P 3, devido à escolha de f e g, nem entre P 2 e P 3, devido a (F1) e (F2). Finalmente, como w f possui vizinhos em {v j,, v g 1 } e 1 < j < g, temos que v g não possui vizinhos em {w 1,, w f 1 }. Além disso, não podem haver outras arestas entre P 1 e P 2, devido à escolha de i e j e ao fato de que G é planar. Logo, w f, P 1, P 2 e P 3 formam uma estrutura como a desejada. (c) g < j: análogo ao subcaso anterior. Parte 2: Agora, tomemos um modelo, H, da grade contido em G. Observe a Figura 4 para um melhor entendimento. Na figura, as arestas representam caminhos da subdivisão contida em H. Além disso, as possíveis arestas entre esses caminhos existentes em H que não fazem parte da subdivisão não estão representadas. Para obter uma estrutura proibida, utilizaremos as seguintes três subestruturas: Considere a estrutura obtida como descrito na Parte 1 da prova, para o modelo de G 3 2 formado pelas linhas 4,5,6 e colunas 2,3. Denotemos tal estrutura por S. Na figura 4, a parte de H contendo S está destacada de cinza escuro. Considere o ciclo em H, não necessariamente induzido, destacado de cinza claro na Figura 4. Note que as possíveis cordas existentes neste ciclo serão entre C 5 [3, 4] e L 3 [5, 6], ou entre L 3 [8, 9] e C 9 [3, 4], ou entre C 9 [6, 7] e L 7 [8, 9], ou entre L 7 [5, 6] e C 5 [6, 7]. Para obter um buraco a partir deste ciclo basta diminuir o ciclo tomado de forma a não mais conter cordas. Por exemplo, caso existam cordas entre C 5 [3, 4] e L 3 [5, 6], tomar a corda (u, v), onde u C 5 [3, 4], v L 3 [5, 6] e u e v são os mais próximos de v 4,5 e v 3,6, respectivamente. Fazendo o mesmo para os outros cantos do ciclo, é fácil notar que obtemos um buraco. Denotemos tal buraco por B. Finalmente, considere os caminhos P 1 = L 5 [3, 5], P 2 = C 2 [1, 4] L 1 [2, 8] C 8 [1, 3] e P 3 = C 2 [6, 9] L 9 [2, 8] C 8 [7, 9], ligando v 5,3, v 4,2 e v 6,2 aos vértices v 5,5, v 3,8 e v 7,8, respectivamente. Na Figura 4, P 1, P 2 e P 3 estão destacados. Note que P 2 e P 3 não são necessariamente induzidos, podendo ocorrer cordas, por exemplo, entre C 2 [1, 2] e L 1 [2, 3]. Porém, neste caso, basta diminuir tais caminhos, de maneira semelhante à descrita no item anterior, de forma a obter caminhos induzidos. Além disso, note que pode ocorrer, em cada caminho, de existir mais de um vértice vizinho ao buraco tomado. Por exemplo, em P 1, podem haver mais de um vértice em L 5 [4, 5) que possui algum vizinho em C 5 [4, 6] B. Neste caso, basta tomar o subcaminho de P 1 contendo somente até o vértice mais próximo de v 5,4 que possui um vizinho em C 5 [4, 6]. Fazemos o mesmo para os outros caminhos, obtendo caminhos induzidos, P 1, P 2, P 3. Juntando S, B e P 1, P 2, P 3, obtemos uma estrutura proibida. Basta notar que cada caminho não possui cordas entre si, possui pelo menos um vértice interno e exatamente um vértice interno vizinho a B. Além disso, note que entre um vizinho de P 1 em B e um vizinho de P 2 em B existe pelo menos o vértice v 3,6 ; entre um vizinho de P 1 em B e um vizinho de P 3 em B, existe pelo menos o vértice v 7,6 ; e entre um vizinho de P 2 em B e um vizinho de P 3 em B, existe pelo menos o vértice v 5,9. Pelo Lema 4.2, temos, então, que se G possui G como menor topológico, então G possui uma estrutura proibida, o que, pelo Lema 4.1, implica que G Γ. [2595]

8 q v 1,1=u u i 1 1 v 2,1=v =u v j r v 2,2=v v 3,1 Figura 2: Esquema do caso 2.a da parte 1 da prova do Lema 4.2. O vértice e os caminhos tomados estão destacados de preto. Os traços curvos representam caminhos e as possíveis arestas entre eles não estão representadas, com exceção da aresta (u i, v j ). q v 1,1=u u i v 2,1 v j v g r v 2,2=v w f v 3,1 Figura 3: Esquema do caso 4.a da parte 1 da prova do Lema 4.2. O vértice e os caminhos tomados estão destacados de preto. Os traços curvos representam caminhos e as possíveis arestas entre eles não estão representadas, com exceção das arestas (u i, v j ) e (w f, v g ). 5 Conclusão Neste artigo, incrementamos o conjunto dos menores topológicos proibidos para os grafos planares livres de buracos pares e apresentamos um limite superior para a largura em árvore de uma subclasse destes grafos. O resultado apresentado neste artigo está sendo estendido a menores grade quaisquer, ou seja, queremos provar que todo grafo planar livre de buracos pares não possui um menor grade Ressaltamos que em [Perkovic and Reed, 2000] é fornecido um algoritmo linear que encontra um menor grade k k, para k fixo. Desta forma, dado um grafo G qualquer, o resultado mencionado leva a um algoritmo linear que responde SIM à questão G é planar livre de buracos pares?. Infelizmente, caso G não possua um menor grade 10 10, nosso resultado não leva à resposta NÃO, porém, para um algoritmo de reconhecimento em tempo O(n 3 ), remetemos o leitor a [Porto, 1992]. Apesar de sabermos um limite superior para a classe de grafos analisada no presente artigo, a prova apresentada não fornece uma decomposição em árvore dos grafos. Em [Silva, 2007], são apresentados dois algoritmos polinomiais para encontrar uma decomposição em árvore dos grafos livres de buracos pares. Tais algoritmos não são exatos, mas é feita uma análise acerca da largura [2596]

9 P P P3 10 Figura 4: Modelo de G 10 10, com um modelo de G 3 2 (destacado em cinza escuro), um ciclo contendo um buraco induzido (destacado em cinza claro) e três caminhos, em negrito, entre eles. em árvore máxima de uma decomposição fornecida. Referências [Appel and Haken, 1976] Appel, K. and Haken, W. (1976). Four-color theorem. Provado por um programa de computador que não existe um contra-exemplo minimal. [Birmelé et al., 2006] Birmelé, E., Bondy, J., and Reed, B. (2006). Tree-width of graphs without a 3 3 grid minor. to appear. [Biró, 2005] Biró, C. (2005). Treewidth and grids. Technical report, School of Mathematics, Georgia Institute of Technology. [Kuratowski, 1930] Kuratowski, C. (1930). Sur le problème des courbes gauches en topologie. Fund. Math., 15: [Perkovic and Reed, 2000] Perkovic, L. and Reed, B. (2000). An improved algorithm for finding tree decompositions of small width. International Journal of Foundations of Computer Science, 11(3): [Porto, 1992] Porto, O. (1992). Even induced cycles in planar graphs. In LATIN, pages [Robertson et al., 1994] Robertson, N., Seymour, P., and Thomas, R. (1994). Quickly excluding a planar graph. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 62: [Robertson et al., 2000] Robertson, N., Seymour, P., and Thomas, R. (2000). Tree decompositions of graphs. thomas/slide/cbms/trdec.pdf (comunicação privada). [2597]

10 [Silva, 2007] Silva, A. (2007). Decomposição e largura em árvore de grafos planares livres de ciclos pares induzidos. Master s thesis, Departamento de Computação, Universidade Federal do Ceará. Dissertação a ser defendida em Junho/2007. [2598]