O Teorema da Amizade

Transcrição

1 O Teorema da Amizade Seminário Diagonal David Mesquita Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 13 de Maio de 2009

2 Teorema da Amizade,TA Formulação Original Suponha-se que numa sociedade, cada par de pessoas têm exactamente um amigo em comum. Então há uma pessoa que é amiga de toda a gente.

3 Conceitos 1 Definição - Grafo (Simples) Chama-se grafo,g, a um dupleto (V (G), E(G)) onde V (G) = {v 0, v 1,..., v n } é chamado o conjunto de vértices, E(G) = {e 1,..., e m } o conjunto das arestas. Definição- Grafo Finito Um grafo diz-se finito se V (G) e E(G) forem finitos.

4 Conceitos 2 Definição - Grau Chama-se grau de um vértice v ao número d(v) de arestas que incidem sobre esse vértice. Definição - Adjacência Dois vértices u, v dizem-se adjacentes se estiverem ligados por uma aresta. Escreveremos u v.

5 Conceitos 3 Definição - N-Caminho Um n-caminho num grafo é uma sequência finita (v 1,..., v n ) V (G) onde v i v i+1, i {1,..., n 1}. Definição - N-Ciclo Um n-ciclo é um caminho (v 0,..., v n ) V (G) onde v 0 = v n e v i v j, i, j {0,..., n}.

6 Exemplo

7 Grafos de Amizade Grafos que representam as relações de amizade. Pessoas - Vértices. Relações de Amizade - Arestas. Dois vértices são adjacentes se as respectivas pessoas forem amigas. Nota Estamos a assumir que a amizade é recíproca e sempre em relação a outrém.

8 Teorema da Amizade Formulação Combinatória Grafo Amigo - A-Grafo Um grafo G diz-se amigo sse quaisquer 2 vértices de G tem exactamente um vértice adjacente a ambos. Teorema da Amizade - Grafos Seja G um A-grafo finito. Então há um vértice de G que é adjacente a todos.

9 Quais são os A-Grafos finitos? O Teorema da Amizade, garante que estes são os únicos A-grafos finitos.

10 E para A-Grafos infinitos? O 5-ciclo iterado Construa-se G 0 assim: G 1 = 5 ciclo; G n+1 = G n +{vizinhos comuns para pares (u, v) G n que não os tinham}; G 0 = lim n G n Conclusão O TA não tem análogo para A-grafos infinitos.

11 Demonstração- Paul Erdös, Alfred Rényi, Vera Sós Prova por redução ao absurdo Suponhamos que nenhum vértice de G = (V (G), E(G)), um A grafo, é adjacente a todos os outros. Isto é equivalente a dizer que u V (G), v V (G) : u v.

12 Parte 1 - Combinatória Proposição G é regular, i.e., temos d(u) = d(v), u, v V (G). Prova Não pode haver ciclos de comprimento 4. Fixados u, v, u v temos d(u) = d(v) = k. d(z) = k, z V (G) {u, v}. QED.

13 Parte 1 - Combinatória Vértices de G Quantos tem? G tem n = k 2 k + 1 vértices.

14 Parte 2 - Se k 2 temos, Álgebra Linear Passamos daqui em diante a supor k > 2.

15 Parte 2 - Matriz de adjacência Álgebra Linear Definição Chama-se matriz de adjacência de G = (V (G), E(G)), V (G) = {v 1,..., v n }, à matriz M = (a ij ) definida por: { 1 se vi v a ij = j 0 se v i v j

16 Parte 2 - Álgebra Linear A matriz de adjacência de G Como será a matriz de adjacência M de G? Simétrica ( portanto, diagonalizável). Cada linha tem exactamente k 1 s. Para quaisquer 2 linhas, há uma coluna onde ambas levam 1. A diagonal só tem 0 s.

17 Parte 2 - A matriz M 2 Álgebra Linear Forma Esta matriz está bem definida. M 2 = (k 1)I + O, I a identidade, O a matriz com 1 s em todas as entradas. Valores próprios: k 2 (multiplicidade 1) e k 1 (multiplicidade n 1).

18 Parte 2 Valores próprios de M -Álgebra Linear Quais são? Resposta k, k 1, k 1.

19 Parte 2- Usando o traço de M Álgebra Linear α - número de valores próprios k 1; β - número de valores próprios k 1; α + β = n 1; tr(m) = k + α k 1 β k 1 = 0 Como α β, k 1 = k α β

20 Parte 3 - Teoria de Números Teorema Se m Q, então m N. Prova - Deedekind,1858 n 0 - menor natural tal que n 0 m N. Se m / N, existe l N tal que 0 < m l < 1. Se n 1 = n 0 ( m l),então n 1 N. n 1 m N mas n1 < n 0. Contradição.

21 Parte 3 - Teoria de Números Seja então h = k 1 N. Voltando acima, tiramos h(α β) = k = h Conclusão h divide h 2 e h Logo h = 1 e k = 2. Contradição. Está demonstrado o Teorema da Amizade.

22 O TA Generalizado Suponha-se que numa festa, cada par de pessoas amigas tem exactamente λ amigos em comum, e cada par de pessoas que não se conhecem tem exactamente µ 1 amigos em comum. Então ou toda a gente tem o mesmo número de amigos, ou há uma pessoa que é amiga de toda a gente.

23 Em Grafos Definição - (λ, µ)-grafo Grafo onde u, v V (G), u e v têm ou exactamente λ vizinhos, se u v, ou exactamente µ vizinhos, se u v. Definição - Grafo Fortemente Regular GFR(n,k,λ, µ) É um (λ, µ) grafo de n vértices, onde d(v) = k, v V.

24 Grafos Fortemente Regulares

25 O TA Generalizado Seja G um (λ, µ)-grafo, µ 1. Então ou G é fortemente regular, ou G tem um vértice adjacente a todos os outros.

26 (λ, µ)-grafos Irregulares Caracterização Teorema Seja G um (λ, µ)-grafo irregular de n vértices. Então uma das seguintes afirmações ocorre: µ = 0, G = mk λ+2 + tk 1, n = m(λ + 2) + t; µ = 1, G = K 1 (mk λ+1 ), n = m(λ + 1) + 1; Nota G 1 + G 2 = (V (G 1 ) V (G 2 ), E(G 1 ) E(G 2 )). G 1 G 2 = (V (G 1 ) V (G 2 ), E(G 1 ) E(G 2 ) {(u, v) : u V (G 1 ), v V (G 2 )}).

27 Outra Formulação Seja G um grafo com a propriedade de entre quaisquer 2 vértices existir um único 2 caminho. Então G tem um vértice que é adjacente a todos.

28 Em aberto... Conjectura de Kotzig Seja l > 2. Então não há grafos finitos com a propriedade de entre quaisquer 2 vértices existir um único l caminho.

29 Problema Suponha-se que numa festa, quaisquer m 2 pessoas têm exactamente um amigo em comum. Encontra o número de amigos da pessoa que têm mais amigos.

30 Bibliografia I IGNER, Martin; ZIEGLER, Günter:Proofs from the Book, Terceira Edição,Springer; ERA, Ralucca; SHEN, Jian:Extension of Strongly Regular Graphs,THE ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS 15, (2008);