Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Grafos, Matrizes e o Teorema da Amizade Gleicy Terezinha Ferreira Cesar Orientador: Prof Alberto Sarmiento Belo Horizonte, setembro de 2007

2 Dedicatória A meus filhos João pedro e Maria Luíza i

3 Agradecimentos Começo meus agradecimentos agradecendo a Deus, por que sem ele nada é possível A Alberto Berly Sarmiento Vera, professor coordenador desta monografia e cujo empenho em sua realização foi muito importante para a conclusão Agradeço também aos meus pais que nunca medem esforços para que eu dê continuidade a meus estudos A todos os amigos(as) que fiz durante o curso, em especial a meu conterrâneo e co-piloto Fábio Ao Rômulo por ter sido paciente a minhas ausências Em fim agradeço a todos que de uma forma ou de outra contribuíram para que eu chegasse até o fim ii

4 iii Sumário Noções básicas de Álgebra Linear 2 Matrizes, Autovalor e Autovetor 2 2 Diagonalização 4 3 Determinantes 7 2 Grafos e Caminhos 4 2 Grafos 4 22 Matriz de Adjacência 7 23 Número de Caminhos Possíveis 8 3 Teorema da Amizade 23 3 Demonstração do teorema da amizade 28 Apêndice: Interpolação Polinomial Interpolação Polinomial 30 2 Fórmula da Interpolação de Lagrange 3 References 33

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO Esta monografia trata-se do estudo do Teorema da amizade O capítulo introduz definições básicas: Matrizes, Autovalor e Autovetor, Diagonalizaão e por fim Determinantes Essas definições serão usadas para demonstração do Teorema da Amizade No capítulo 2 definimos os tipos, o comprimento de um caminho, o grau e o ciclo de um grafo Exemplificamos as várias formas de representação, como a matriz de adjacência E para finalizar esse capítulo o Número de caminhos Possíveis O capítulo 3 é o último, esse é dedicado a demonstração do Teorema da Amizade Começando relatando o problema seguindo da sua representação na versão de grafos e matricial, logo após provamos diversos lemas essenciais para sua demonstração Na segunda parte desse capítulo temos a demonstração propriamente dita, divida em: A Se u é um vértice de grau máximo e x um vértice de grau não máximo, então x é adjacente a u (x u) B Existe um único vértice de grau máximo

6 2 Capítulo Noções básicas de Álgebra Linear Matrizes, Autovalor e Autovetor Uma matriz A, m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn A i-ésima linha de A é V = [ a i a i2 a in ] para i =,, m e a j -ésima coluna de A é a j a 2j V = a mj para j =,, n Usamos também a notação A = (a ij ) mxn Dizemos que a ij ou [A] ij é o elemento ou a entrada de posição i, j da matriz A Se m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e os elementos a, a 22,, a nn formam a diagonal (principal) de A Uma matriz quadrada A = (a ij ) nxn é invertível ou não singular, se existe uma matriz B = (b ij ) nxn tal que AB = BA = I n,

7 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 3 em que I n é a matriz identidade A matriz B é chamada de inversa de A Se A não tem inversa, dizemos que A é não invertível ou singular Definição Seja A uma matriz de ordem n n Um número λ é chamado autovalor de A, se existe um vetor não nulo v v 2 V = de Rn tal que (A λi)v = 0 Um vetor não nulo que satisfaz a equação acima, é chamado autovetor de A Para cada λ, os autoespaço associados a λ são os vetores não nulos da solução do sistema acima Seja A uma matriz n n (a) Os autovalores (reais) de A são as raízes reais do polinômio p(t) = det(a ti n ) (b) Para cada autovalor λ, os autovetores associados a λ são os vetores não nulos da solução do sistema (A λi n )X = 0 Definição 2 Seja A uma matriz nxn O polinômio p(t) = det(a ti n ) é chamado polinômio característico de A Exemplo : Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz: A = Para isto, calculamos: Solução P (λ) = det(a λi) = det 2 λ 0 2 λ λ = (2 λ)( λ)(2 λ) [( λ)] = 0 ( λ)(2 λ) 2 ( λ) = 0 ( λ)((2 λ) 2 ) = 0

8 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 4 ( λ) 2 (3 λ) = 0 Como os autovalores de A são as raízes reais de p(λ), temos que os autovalores de A são λ = e λ 2 = 3 Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ = e λ 2 = 3 Para isto vamos resolver os sistemas (A λ I 3 )X = 0 e (A λ 2 I 3 )X = 0 O sistema (A λ I 3 )X = 0 é x y z = Resolvendo o sistema temos x + z = 0, vamos fazer z = α então x = α e y = β a nossa solução geral é ( α, β, α) = ( α, 0, α) + (0, β, 0) = α(, 0, ) + β(0,, 0), logo os autovetores que gerão W são (, 0, ) e (0,, 0) onde W = [( α; β; α)/α, βɛr], que é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = acrescentado o vetor nulo Enquanto o sistema (A λ 2 I 3 )X = 0 é x y 0 z = Resolvendo agora esse sistema gerado pela matriz acima temos x + z = 0, vamos chamar z = α então x = α e y = 2α e a solução geral é (α, 2α, α) = α(, 2, ), logo os autovetores que geram W 2 são (, 2, ) que é o conjunto de todos os autovetores associados a λ 2 = 3 acrescentado o vetor nulo 2 Diagonalização Certos processos são descritos em cada estágio por uma matriz A quadrada e em k estágios pela potência k da matriz A, A k, em que k é um número inteiro positivo Suponha que desejamos saber a matriz que corresponde a k estágios, para k um inteiro positivo qualquer Se a matriz A é diagonal, λ 0 0 λ k λ 2 0 A =, então A = 0 λ k 2 0, 0 0 λ n 0 0 λ k n Se a matriz A não é diagonal, mas existe uma matriz P tal que λ 0 0 A = P DP 0 λ 2 0, em que A =, 0 0 λ n

9 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 5 A 2 = (P DP )(P DP ) = P D(P P )DP = P D 2 P que A k = P D k P, temos que A k = A k A = (P DP ) k (P DP ) = (P D k P )(P DP ) = P D k (P P )DP λ k 0 0 P D k P 0 λ k 2 0 = P P 0 0 λ k n podemos facilmente [ encontrar ] a[ k-ésima potência ] [ de A 3 0 Seja A =,P = e D = A = P DP ] são tais que Assim, [ ] [ ] [ ] 3 A k = P D K P k 0 = ( ) k 2 2 [ ] [ ] [ A k = P DP 3 = k ( ) k 23 k 2( ) k 2 2(3 4 = 2 k + ( ) k ) ( ) k 3 k 4 4(( ) k 3 k ) 2(3 k + ( ) k ) Definição 3 Dizemos que uma matriz A, de ordem n n, é diagonalizável, se existem matriz quadrada invertível P e matriz diagonal D tais que A = P DP, ou equivalentemente, D = P AP ] Suponhamos que a matriz A é diagonalizável, como na definição acima Dado o polinômio f(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n Podemos calcular o polinômio na matriz A da seguinte forma f(a) = a 0 }{{} I +a }{{} A +a }{{} A a n =P IP =P DP =(P DP ) 2 A n }{{} =(P DP ) n f(a) = a 0 (P IP ) + a (P DP ) + a 2 (P D 2 P ) + + a n (P D n P ) Logo: f(a) = P a 0 IP + P (a D)P + P (a 2 D 2 )P + + P (a n D n )P = P (a 0 IP + (a D)P + (a 2 D 2 )P + + (a n D n )P ) = P ((a 0 I + a D + a 2 D a n D n )P

10 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 6 f(a) = P (f(d))p Concluindo, é mais fácil obter f(d) do que f(a) Definição 4 Uma matriz quadrada A = (a ij ) de ordem n tal que a ij = a ji, i j, ou seja, A = A t, é chamada de matriz simétrica Exemplo 2 A = é simétrica pois A = A t Se A é uma matriz simétrica, então existe uma matriz P invertível e uma matriz diagonal D tal que D = P AP Assim, se A é simétrica, então ela é diagonalizável Lema : Sejam λ, λ 2,, λ n autovalores da matriz A diagonalizável de ordem n n Se f e g são polinômios tais que: f(λ i ) = g(λ i ), para todo i =, 2, 3,, n f(a) = g(a) Prova: Seja P a matriz invertível tal que A = P DP onde D é a matriz diagonal correspondente, na diagonal aparecem os autovalores de A Então, da observação anterior f(a) = P f(d)p = P P f(λ ) 0 f(λ 2 ) 0 f(λ n ) g(λ ) 0 g(λ 2 ) 0 g(λ n ) P = P = P g(d)g = g(a)

11 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 7 3 Determinantes Vamos inicialmente definir o determinante de matrizes Para cada matriz A = [a] definimos o determinante de A, indicado por det(a), por det(a) = a Vamos, agora, definir o determinante de matrizes 2 2 e a partir daí vamos definir para matrizes de ordem maior A cada matriz A, 2 2, associamos um número real, denominado determinante de A, por: [ ] a a det(a) = det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que são os menores de uma matriz Dada uma matriz A = (a ij ) n n, fixado o elemento a ij, denotado por A ij, é a submatriz (n ) (n ) de A obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A Por exemplo, se A = (a ij ) 3 3, A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 [ a22 a A = 23 a 32 a 33 ] A 2,3 [ a a 2 a 3 a 32 ] Agora, vamos definir os cofatores de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é definido por ã ij = ( ) i+j det(a ij ); ou seja, o cofator a ij, do elemento a ij é igual a mais ou menos o determinante do menor A ij, o sinal ( ) i+j ; da a seguinte regra: para os termos da diagonal (i, j) é psempre positivo, a partir disto vemos que o sinal alterra, assim, no caso 4x4 fica:, Exemplo 3 Vamos, agora, definir o determinante de uma matriz 3 3 Se A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 então, o determinante de A fixada a primeira linha é igual à soma dos produtos dos elementos da primeira linha pelos seus cofatores det(a) = a ã + a 2 ã 2 + a 3 ã 3 =

12 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 8 [ ] [ ] [ ] a22 a a det 23 a2 a a a 32 a 2 det 23 a2 a + a 33 a 3 a 3 det a 3 a 32 = a (a 22 a 33 a 32 a 23 ) + a 2 (a 2 a 33 a 3 a 23 ) + a 3 (a 2 a 32 a 3 a22) Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes 2 2, definimos o determinante de matrizes 3 3, podemos definir o determinante de matrizes quadradas de ordem maior Supondo que sabemos como calcular o determinante de matrizes (n ) (n ) Vamos definir o determinante de matrizes n n Seja A = (a ij ) n n O determinante de A, denotado por det(a), é definido por det(a) = a ã + a 2 ã a n ã n = n j= a jã j ; em que ã j = ( ) +j det(a j ) é o cofator do elemento a j A expressão é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de A em termos da a linha Seja A = (a ij ) uma matriz de ordem n n, denotemos por v, v 2,, as linhas da matriz A, assim temos: A = Seja A = (a ij ) uma matriz de ordem n n, denotemos por c, c 2,, c n as colunas da matriz A, assim temos: v v 2 A = [ c c 2 c n ] O determinante é uma função que associa cada matriz quadrada um escalar, satisfazendo as seguintes propriedades: O determinante da matriz identidade é 0 0 A = det = 2 O determinante troca de sinal se duas linhas ou colunas forem trocadas de posição 3 Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero

13 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 9 4 Se uma linha de A é soma de dois vetores digamos v + w o det(a) segue esta regra: v v v v 2 v 2 v 2 v + w = det v + det w = det(a) = det 5 Se v i = kv det = v v 2 kv V n = kdet v v 2 v V n 6 Se duas linhas paralelas de uma matriz forem iguais, ou proporcionais, o determinante desta matriz é nulo Das propriedades anteriores temos que: O determinante não é alterado se uma linha ou coluna for substituída por essa mesma linha ou coluna somada a uma combinação linear das outras linhas Isto é: det = v v i v j + kv i Com efeito, v v i 4 det = {}}{ = det v j + kv i = det v v i v j v v i v j + kdet v v i v i

14 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 0 Como Então A = A = v v i v v i v i v j + kv i v = 0 v i v j + kv i = det = v v i v j v v i v j O seguinte lema é um resultado fundamental para resolver o teorema da amizade no capítulo 3 Lema 2 : t t det(a) = det t t n n = (t ) n (t + n ) Prova:

15 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR A = v v 2 v 3 = v v 2 v 2 v 3 = v v 2 v 2 v 3 v 3 = = v v 2 v 2 v 3 v 3 v 4 = Realizando essa sequencia de operações na matriz A temos o seguinte resultado à = t t t t t t t t t Notemos que em cada linha podemos fatorar o termo (t ), por exemplo na linha, é da forma: (t ) [ ] Pelas propriedades do determinante temos que det(a) = det(ã) Logo: det(a) = (t ) n det t = (t ) n det(u) n n Para mostrar o lema, basta calcular que o determinante da matriz U é (t + n ) Para isso vamos calcular o determinante por cofator fixando a primeira linhaassim: det(u) = det t (n ) (n ) +

16 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 2 det t Vamos calcular a segunda parcela e veremos que é : det t (n ) (n ) (n ) (n ) Fixando a primeira linha, o determinante é igual ao determinante de uma matriz semelhante porém de ordem (n 2) (n 2) Com o mesmo processo obteremos uma matriz (n 3) (n 3) e assim sucessivamente até chegarmos em uma matriz 3 3 que é: = det t = det [ 0 t Podemos concluir que det(u) = det t Novamente fixamos a a linha temos: det(u) = det t ] = (n ) (n ) (n 2) (n 2) + +

17 CAPÍTULO NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA LINEAR 3 Então: det t det(u) = det t (n 2) (n 2) + (n 2) (n 2) + 2 det(u) = = det(u) = = det 0 0 t (n (n 3)) (n (n 3)) + (n 3) det(u) == (t + ) + () + n 3 = t n 3 = t + n

18 4 Capítulo 2 Grafos e Caminhos Leonhard Euler em Sete Pontes de Königsberg é considerado o primeiro resultado da teoria dos grafos É também considerado um dos primeiros resultados topológicos na geometria; isto é, não dependente de quaisquer medidas Isso ilustra a profunda conexão entre a teoria dos grafos e topologia A palavra gráfico é, muitas vezes, usada para qualquer representação visual de dados, outras formas incluem o gráfico de barras, o gráfico pictório e o gráfico em setores Os gráficos que trataremos agora são chamados de grafos Usaremos duas definições de grafos: uma é baseada em uma representação visual e a outra é uma definição mais formal que não fala nada sobre uma representação visual Os grafos são geralmente representados graficamente da seguinte maneira: é desenhado um círculo para cada vértice, e para cada aresta é desenhado um arco conectando suas extremidades Se o grafo for direcionado, seu sentido é indicado na aresta por uma seta Note que essa representação gráfica (o layout) não deve ser confundida com o grafo em si (a estrutura abstrata, não-gráfica) Vários diferentes layouts podem corresponder ao mesmo grafo 2 Grafos A Teoria dos Grafos é uma área da Matemática que estuda as propriedades de grafos, principalmente na representação de circuitos e redes de comunicação: Um grafo é um conjunto não vazio de nós (vértices) e um conjunto de arcos (arestas) tais que cada arco conecta dois nós Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter direção, pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso (numérico) associado Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, ou dígrafo Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial ou o ponto

19 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 5 Definição 2 Um grafo que denotamos por G(V, A), onde V é um conjunto não vazio de nós (vértices) A é um conjunto de arcos (arestas) G é uma função que associa cada arco a um par não ordenado de nós, chamados as extremidades de a Definição 22 Dois vértices do grafo são considerados adjacentes se existe uma aresta ligando eles Exemplo 4 Neste exemplo iremos ligar pessoas amigas com uma aresta e cada pessoa será um vértice Notemos que Maria é amiga de Pedro, Pedro é amigo de Joana e Luiz, Maria é amiga de Joana mas Joana e Maria não são amigas de Luiz Maria P edro Joana Luiz Figura Definição 23 Dado um grafo G, um caminho no grafo é uma sequência de vértices v, v 2,, v k de modo que todo par de vértice v i, v i+ são adjacentes Um caminho é chamado simples se nenhum dos vértices no caminho se repete Dois caminhos são independentes se não tiverem nenhum vértice em comum, exceto o primeiro e o último Definição 24 Considerando cada aresta como um caminho a percorrer, definese o comprimento de um caminho como sendo o número de arestas a serem percorridas para se deslocar de um vértice a outro figura 3

20 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 6 Dado o grafo com conjunto de vértices V = {, 2, 3, 4, 5, 6} e conjunto de arestas E = {(, 2), (, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 5), (4, 6)}(ver figura 3) No grafo anterior, os vértices e 2 são adjacentes, mas os vértices 2 e 4 não são O conjunto de vizinhos de um vértice consiste de todos os vértices adjacentes a ele No grafo-exemplo, o vértice possui 2 vizinhos: vértice 2 e vértice 5 No grafo de exemplo 3, (, 2, 5,, 2, 3) é um caminho com comprimento 5, e(5, 2, ) é um caminho simples de comprimento 2 Se for possível estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice de um grafo, diz-se que o grafo é conexo Definição 25 Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos um caminho ligando cada par de vértices deste grafo G x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 figura 4 Definição 26 Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhum caminho x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 figura 5 Definição 27 Um vértice é chamado de vértice par se e somente se um número par de arestas partem desse vértice Para um número ímpar de arestas partindo do vértice, o mesmo é chamado de vértice ímpar Com relação aos vértices e arestas de um grafo temos as propriedades: P - A quantidade de vértices ímpares é sempre par P2 - Só é possível sair de um vértice e retornar ao mesmo percorrendo todas as arestas se todos os vértices forem pares Grau O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes Em figura, por exemplo: grau (Pedro)= 3

21 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 7 grau (Maria)= 2 Grafo Regular Se todos os vértices do grafo tem o mesmo grau d, dizemos que o grafo é regular Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau O grafo G4, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3 Ciclo Ciclo de um grafo é um caminho fechado Em termos um tanto vagos, um ciclo em um grafo é um caminho fechado sem vértices repetidos Mais precisamente, um ciclo é um caminho com (v 0, a, v, a 2,, a k, v k ) com k onde v k = v 0 mas v 0, v, v 2,, v k são distintos dois a dois Chamamos de quadrado, a um ciclo de comprimento quatro com vértices diferentes Chamamos de triângulo, a um ciclo de comprimento três x w y z y x z figura 0 22 Matriz de Adjacência Na computação, um grafo finito direcionado ou não-direcionado (digamos, n vértices) é geralmente representado por sua matriz de adjacência: uma matriz de ordem n n cujo valor na linha i e coluna j fornece o número de arestas do i-ésimo ao j -ésimo vértices Uma matriz de adjacências é uma das formas de se representar um grafo Dado um grafo G com n vértices, digamos v, v 2,, podemos representar o grafo por uma matriz M n n, da seguinte forma a entrada m ij é o número de arestas que ligam o vértice i ao vértice j

22 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 8 Em grafos não direcionados, as matrizes de adjacência são simétricas, isto é, m ij = m ji Para todo i j Matrizes de adjacência de grafos direcionados, no entanto, não são assim Exemplo 5 Seja o grafo G(V, A) com vértices em V = {, 2, 3, 4, 5} e arestas em A = {(, 2), (, 3), (, 5), (2, 4), (3, 4)} A qual podemos representar graficamente assim: figura 6 A matriz de adjacência associado a este gráfico é: A = Número de Caminhos Possíveis Na matriz do exemplo anterior, vamos encontrar o número de caminhos possíveis para ir do vértice i ao vértice j com comprimento 2 Denotemos por a 2 ij a entrada ij da matriz A A 2 = a 2 ij é o número de caminhos possíveis para ir do vértice i ao vértice j com comprimento 2 Por exemplo, a entrada a 2 23 = 2, este número representa que temos 2 caminhos distintos par ir do vértice 2 ao vértice 3 com comprimento 2 a saber (2, 4, 3)(2,, 3) Analiticamente basta notar que a 2 23 = a 2 a 3 + a 22 a a 25 a 53 que podemos representar no diagrama abaixo

23 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 9 a a a a a a 3 23 a a a a Note que cada segmento a 2i a i3 é 0 ou, pois ou temos um caminho do vértice 2 ao vértice 3 passando por i neste caso a 2i = e a i3 = ou nenhum isto é a 2i ou a i3 = 0 O seguinte teorema generaliza este exemplo Teorema 2 : Seja A nxn = (a ij ) matriz de adjacência ao grafo de n- vértices Se A m = (a m ij ), então a i-j-ésima entrada da matriz Am, a m ij é o número de caminhos possíveis para ir do vértice i ao vértice j com caminhos de comprimento m Prova (Indução) Para n =, A = por definição a Suponhamos que vale para n = k, isto é, se A k = (a k ij ) n n e a k ij é o número de caminhos de comprimento k para ir de i ao vértice j, Para n = k + temos: A k+ = A k A = (A k+ ij ) n n Vamos mostrar pelo processo combinatório os caminhos de comprimento k + Hipótese de Indução Vale para n = k, isto é, se A k = ((A k ) ij ) nxn (A k ) ij é o número de caminhos de comprimento k para ir do vértice i ao vértice j Para n = k + temos A k+ = A k A = ((A k+ ) ij ) nxn Vamos mostrar pelo processo combinatório os caminhos de comprimento k + fixado ij, (a k+ ij ) = (a k i )a j + (a k i2 )a 2j + + (a k in )a nj, que podemos representar no diagrama abaixo Como (a k il ) pela hipótese de indução é o número de caminhos para ir do vértice i ao vértice l, então se (a lj ) é zero, não teremos nenhum caminho para ir de i a j passando pelo vértice l no penúltimo vértice

24 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 20 i k ( a ) k ( a ) i 2 k k ( a ) ( a ) i2 k ( a ) n- k ( a ) i(n-) 2j (n-)j j j k ( a ) in k ( a ) nj n Se a lj =, então o número de caminhos para ir de i a j passando por l no penúltimo vértice é (a k il )(a lj) Assim variando l de até n temos que (a k+ ij )

25 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 2 Exemplo 6 Calcular quantos caminhos de comprimento 00vão do vértice ao vértice 6 no grafo do acima (octaedro) Considere o grafo dado pelos vértices do octaedro A matriz de adjacência associada a esse grafo é 6 A = Para encontrar o polinômio característico vamos calcular o determinante de det(a λi) = λ 0 λ 0 λ 0 0 λ 0 λ 0 λ Usando o Maple obtemos o polinômio P (x) = x 6 2x 4 6x 3 Exemplo 7 Calcular quantos caminhos de comprimento 000 vão do vértice ao vértice 6 no grafo do acima (octaedro) Do teorema (2) basta calcular A 000, e ver a entrada (, 6) (a ) de A 000 A = P DP em que λ = 0, λ 2 = 2 e λ 3 = 4 são auto valores A 000 5x5 = P D 000 P os autovalores são λ = 0, λ 2 = ( 2) 000 e λ 3 = 4 000

26 CAPÍTULO 2 GRAFOS E CAMINHOS 22 f(x) = x 000 f(a) = A 000 Vamos propor outro polinômio p(x) = ( )x 2 + ( )x 2 este polinômio é obtido por interpolação, veja Apêndice p(0) = f(0) = 0 p( 2) = f( 2) = ( 2) 000 p(4) = f(4) = p(x) = ( )x 2 + ( )x p(0) = 0 p( 2) = ( 2) 000 p(4) = Assim do lema () temos que f(a) = P (A) = 0 A 000 = a( )A 2 + b( )A

27 23 Capítulo 3 Teorema da Amizade Em uma festa imagine que todo mundo se conhece Mas digamos que foram pessoas sorteadas ao acaso e que, portanto, podem ou não se conhecer O que podemos dizer sobre o modo como essas pessoas se agrupam? Ou seja, será que podemos dizer que necessariamente há um grupo de quatro pessoas que conhecem umas às outras? Ou existe um grupo de quatro delas que não se conhecem? Quatro ou três? Quantas? Se duas pessoas são amigas, isso quer dizer que elas se conhecem Muito bem O que vamos mostrar é que, em qualquer grupo de pessoas, sempre existem três delas que: se conhecem mutuamente ou não se conhecem mutuamente Talvez seja difícil ver a complexidade do que queremos demonstrar Faça o seguinte, então Acompanhe a demonstração desse teorema Teorema 3 Uma festa com n pessoas onde cada duas pessoas têm exatamente um amigo comum Então alguém da festa conhece todas as pessoas Notemos que o problema é trivial se na festa fzem parte apenas três pessoas, nesta situação cada uma das três pessoas conhecem as outras, o grafo associado é um triângulo Assim, resta resolver os casos que temos mais de três pessoas A matriz de adjacência do problema da amizade satisfaz as seguintes propriedade: - A matriz é simétrica - Todas as entradas de 0 s ou s -Diagonal principal é toda de zeros - Os s na linha i é o grau do vértice i ou número de amigos de i Teorema 32 (versão grafos) Se G(V, A) é um grafo com número n = V 4, tal que a cada 2 vértices distintos x e y há exatamente um único vértice z tal que x z e y z = existe um único vértice u tal que x u x G\{u} Teorema 33 (versão matricial)

28 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 24 v 6 v5 v 4 v 7 x v 3 v n v v 2 Se A = (a ij ) nx n é uma matriz simétrica de ordem n 4, cujas entradas são 0 s e l s, com diagonal de zeros e para todo i, j com i j há um único k tal que a ik = a jk = Então existe exatamente uma única linha cheia de s exceto a diagonal 0 A = O seguinte lema será necessário para mostrar o teorema da amizade Lema 3 :Se d Z, com d > 2, então d d não Z Prova: ) Se (d ) não é quadrado perfeito = d é irracional = d d é irracional (não é inteiro) 2) Se (d ) é quadrado perfeito = ( d Z) mdc (d, d ) = (d ) e ( (d )) tem os mesmos fatores primos = mdc(d, d ) = d d Q\Z d Logo d não pertence a Z Seja G(V, A) um grafo com as condições do Teorema (ver versão grafos) Assim temos os seguintes lemas Lema 32 : G não tem quadrados; Prova: Suponhamos por absurdo que x, y, v, w são os vértices de um quadrado (um ciclo de comprimento quatro) x y w v

29 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 25 figura 2 os vértices y e w possuem vértices x e v simultaneamente adjacentes ao par yw isto contradiz a propriedade de G Logo o lema esta demonstrado Lema 33 : Cada aresta pertence exatamente a um triângulo Prova: Pelo absurdo, suponhamos que a aresta de vértices y e w pertence aos triângulos x, y, w e v, y, w x y w v figura 2 = x, y, v, w é quadrado, isto é um absurdo, pois contradiz o lema 32 Lema 34 : Todo vértice tem grau par e maior ou igual a 2 Prova: Fixamos u V, se x V \u, para o par ux existe y o único vértice tal que u y e x y Do lema 33 a aresta uy pertence a um único triângulo x x u y u (a) y w (b) Figura 3: Logo o grau(u) 2 Se nenhum outro vértice sai de u, acabou, o grau é 2 Se temos que uz é uma aresta novamente pelo lema 33, há um único triângulo u = p onde p y e p w pois não existe quadrado figura (b), logo temos dois triângulos uyw e uzp, que geram pelo menos 4 arestas saindo de u Pelo anterior a cada aresta nova saindo de u temos um triângulo cujas arestas são disjuntas das arestas dos triângulos anteriores, como o número de vértice é finito, só podemos ter um número par de arestas saindo de u Sendo u um vértice arbitrário o lema está demonstrado Lema 35 : Existe um vértice de grau 4

30 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 26 Prova: Fixemos uma aresta denotemos xy, do lema 33 existe um único triângulo xyz Como V 4 seja w V \x, y, z Para o par yw, existe um único vértice p tal que y p e w p Temos dois casos: Se p = x ou reciprocamente p = z = o vértice x teria grau 3 ver figura (a), pelo lema 34 é par = grau(x) 4 Se p x figura (b) = grau de y 3 logo do lema 34 grau(y) 4 Definição 3 Distância Em um grafo conexo, a distância entre dois vértices é o comprimento do caminho mais curto Lema 36 : A distância entre dois vértice quaisquer é ou 2 Prova: Seja x, y e V ou x y ou x y Se x y a distância é E se x y existe z tal que x z e y z logo a distância é 2 x y z Proposição :O grafo G(V, A) do problema da amizade não é regular Prova: Pelo método de solução ao absurdo, suponha que G é regular de grau d do lema 35 e 36 d é par e d 4 Denotemos por n = V Fixemos v V, como o grau(v) = d, v, v 2,, v d os vértices adjacentes, a aresta vv tem um único triângulo, cujo outro vértice e algum v i com i j Fazendo isso sucessivamente e re-enumerando temos d 2 triângulos com vértices em comum d figura (4) Do lema 36, todos os outros vértices exceto v, v, v 2,, v d estão a distância 2 de v Fixando v quantos vértices estão a distância 2 de v, usando caminhos passando por v? Como o grau(v ) = d, e temos uma aresta que vai para v e outra que vai para v 2 (distância de v a v 2 é ), então v contribui com (d 2) vértice a distância 2 de v O mesmo acontece com v i para i =, 2, 3,, d lodo n= vértices de distância zero de V + vértices distância de v + vértices de distância 2 de v n = + d + d(d + 2) = d 2 d + A = (a ij ) nxn matriz simétrica de adjacência ao grafo Cada linha têm d s o resto das entradas é zero

31 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 27 Afirmação: o vetor W = AW = A é autovetor de A com autovalores d = d d d d d = d = dw Como, toda matriz simétrica é diagonalizável, existe M matriz invertível tal que λ 0 0 MAM 0 λ 2 0 = λ n λ (MAM )(MAM ) = MA 2 M 0 λ = λ 2 n Por outro lado, a matriz A 2 é da seguinte forma d d 0 0 d Pois cada 2 vértices i j existe um único caminho de comprimento 2 O polinômio característico de A 2 é: Como n = d 2 d + temos det(a 2 xi) = (d x) n (d 2 x) logo (d ) e d 2 são autovalores de A 2 O polinômio característico da matriz A 2 é: d x d x p(x) = det(a 2 xid) = det d x d x

32 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 28 Do lema 2, cap, fazendo t = d x temos que: p(x) = (d x) n (d + n x) = (d x) n (d + (d 2 d + ) x) P (x) = (d x) (n ) (d 2 x) Então os valores próprios de A 2 são as raízes de P (x) = 0, logo : λ 2 = d 2, λ 2 2 = d, λ 2 3 = d,, λ 2 n = d Como já temos observado que d é valor próprio da matriz A, então λ = d os outros valores próprios da matriz A são λ i = ± d, digamos que p deles são iguais a + d e q deles são iguais a d Como a diagonal da matriz A é composta de zeros, então a traça da matriz é zero, isto é: 0 = λ + λ 2 + λ λ n = d + (p q) d, obtendo d = (q p) d, logo d d = (q p) d Esta ultima igualdade é um absurdo, pois como d 4, do lema 3, d não é inteiro, mais (q p) é inteiro Logo temos mostrado que o grafo não é regular 3 Demonstração do teorema da amizade Seja G(V, A) um grafo satisfazendo as hipóteses do teorema da amizade, da proposição anterior temos que nem todos os vértices tem o mesmo grau O primeiro passo da demonstração é verificar que o vértice de grau máximo é adjacente a todos os outros vértices, o que mostra a existência A Se u é um vértice de grau máximo e x é um vértice que não temde grau máximo, então x é adjacente a u (x u) Com efeito, pelo absurdo, suponha que x não é adjacente a u Seja u o único vértice que é adjacente ao par u e x, e denotemos por u 2, u 3,, u d ; onde d 4 é grau máximo e sabemos que é par Por outro lado denotemos por x, x 2,, x k os vértices adjacentes a x é claro que k d 2 (k também é par) Como não existe quadrados no grafo temos que {u, u 2,, u d } {x, x 2,, x k } = {u = x }

33 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 29 u 4 u 3 x 2 u u 2 x x 3 u 5 u u =x d x k x 4 Notemos que x não é adjacente a nenhum dos u 2, u 3,, u d, porque formaria um quadrado Para cada u i com i = 2, 3,, d o vértice adjacente a x e u i é um dos x j como k d 2, então temos que existe u i, u j diferentes de modo que o mesmo x l é adjacente comum para os pares x, u i e x, u j logo u, u i, x l, u j seria um quadrado o que é um absurdo e prova A Para terminar mostraremos que há só um único vértice de grau máximo, o que mostra por completo o teorema da amizade B Existe um único vértice de grau máximo Com efeito, por ser um número finito de vertices então o grau de cada vértice é finito, como o grafo não é regular, há pelo menos um de grau máximo, mostraremos que não pode existir mais de um de grau máximo Suponhamos que x e x 2 são dois vértices distintos com grau máximo, para cada um deles os outros vértices de grau menor (digamos, u,, u k ) são adjacentes a ambos logo x, u, x 2, u 2 seria um quadrado o que é um absurdo e prova B

34 30 Apêndice Interpolação Polinomial A interpolação polinomial consiste em determinar uma função polinomial cujo gráfico contém um certo número de pontos fixados apriori A interpolação polinomial pode-se revelar desadequada se os pontos de interpolação não forem escolhidos convenientemente De um modo geral, o conjunto das funções interpoladoras é determinado por um número finito de parâmetros que deverá ser igual ao número de condições impostas, para que haja apenas uma solução Nos casos que veremos, a determinação dos parâmetros, que definem a função interpoladora, irá levar-nos à resolução de um sistema linear Suponha que (n + ) pontos sejam dados:(x 0, f 0 ), (x, f ), (x n, f n ) onde x 0, x x n são distintos O polinômio de grau n que passa por (n+) pontos pode ser escrito assim: g(x) = a 0 a x + a 2 x a n x n onde a i são coeficientes indeterminados O ajustamento do polinômio para os (n + ) pontos gera o sistema de equações lineares f 0 = a 0 + a x 0 + a 2 x a n x n 0 f = a 0 + a x + a 2 x a n x n f n = a 0 + a x n + a 2 x 2 n + + a n x n n Embora os coeficientes, a i possam ser determinados pela solução do sistema de equações lineares usando um programa de computador, tal tentativa não é desejável por duas razões Primeira, seria necessário um programa para resolver um conjunto de equações lineares, e, segunda, a solução por computador pode não ser exata Felizmente existem muitos métodos para determinar a interpolação polinomial sem resolver o sistema de equações lineares Um destes métodos é a fórmula

35 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 3 de interpolação, usando as fórmulas de Lagrange ou de Newton, que reduzem significativamente o número de operações envolvidas O polinômio de grau n que passa por (n + ) pontos é único Isso significa, sem considerar a fórmula de interpolação, que todas as interpolações ajustadas para os mesmos pontos são matematicamente idênticos 2 Fórmula da Interpolação de Lagrange Dados os (n + ) pontos no plano (x 0, f 0 ),, (x n, f n ), com x 0, x,, x n, distintos Pelo método de Interpolação de Lagrange, vamos encontrar um polinômio de grau n cujo gráfico passa pelos pontos dados Primeiramente considere o produto de fatores: L 0 (x) = (x x )(x x 2 )(x x n ) A função L 0 é um polinômio de grau n em x, notemos que dividindo L 0 (x)por L 0 (x 0 ), obtemos a função polinomial de grau n: L 0 (x) = L 0(x) L 0 (x 0 ) = (x x )(x x 2 )(x x n ) (x 0 x )(x 0 x 2 )(x 0 x n ) Notemos que L 0 (x 0 ) = e L 0 (x ) = = L 0 (x n ) = 0 De modo similar consideremos para i =, 2,, n L i (x) = L i(x) L i (x i ) = (x x )(x x 2 ) (x x i )(x x i+ ) (x x n ) (x i x 0 )(x i x ) (x i x n ) Logo a função L i (x) é um polinômio de grau n e satisfaz que L i (x i ) = e L i (x ) = = L i (x) i = L i (x i+ ) = = L i (x n ) = 0) Assim multiplicando os polinômios L 0 (x), L (x),, L n (x) por f 0, f,, f n, respectivamente, e adicionando-os, a soma é um polinômio de grau n, denotado por g: g(x) = L 0 (x)f 0 + L 0 (x)f + + L n (x)f n g(x) = (x x )(x x 2 )(x x n ) (x i x 0)(x i x )(x i x n) f 0 + (x x )(x x 2 )(x x n ) (x x 0)(x x )(x x n) f (x x 0)(x x )(x x n ) (x n x 0 )(x n x )(x n x n ) f n Assim temos g(x i ) = f i para todo i = 0,,, n O polinômio g é chamado de Polinômio de Lagrange A seguinte interpolação será usada no capítulo 2

36 CAPÍTULO 3 TEOREMA DA AMIZADE 32 Exemplo 8 :Considere os 3 pontos (0, 0), ( 2, ( 2) 000 ), (4, ) e encontre o Polinômio de Lagrange de grau 2 associado a estes três pontos Solução: Notemos que x 0 = 0, x = 2 e x 2 = 4 e f(x 0 ) = 0, f(x ) = ( 2) 000, f(x 2 ) = 4 000, então p(0) = 0, p( 2) = ( 2) 000, p(4) = Como queremos interpolar 3 pontos o polinômio de Lagrange será de grau p(x) = ( 2) 000 L (x) L 2 (x) p(x) = 0L 0 (x) + ( 2) 000 ( (x x0)(x x) (x x 0 )(x x 2 ) ( (x x0)(x x) (x 2 x 0 )(x 2 x ) p(x) = ( 2) 000 [ x(x 4) ( 2)( 6) [ x(x+2) 4(6) ] Fazendo ( 2) 000 = m e = n então teremos p(x) = mx2 2 4mx 2 + nx nx 24 p(x) = ( m 2 + n 24 )x2 + ( 2n 24 4m 2 )x E agora chamamos a = 2m+n 24 e b = 2n 24 4m 2 substituindo em a e b os valores de m e n ficamos com a = e b = ( 2)000 2 Logo: p(x) = ( )x 2 + ( )x 2

37 33 References Àlgebra Linear Pearson Educa- [SW ] Seinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo tion, (987) J Plínio O Santos, Margarida P Mello Idani C Murari Int Á Análise Combinatória Ed Unicamp (995) 2 Judith L Gersting Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação LTC Editora (200) Álgebra Moderna Básica Ed Guan- 3 Garrett Birkhoff, Saunders Maclane abara Dóis (980) 4 TOMEI, Carlos Autovalores e autovetores - além de n = 2 Departamento de Matemática, PUC - Rio Disponível em tomei@matpuc-riobr Acesso em 28 jan BRUNAT, J;Uma demostració del Teorema de l amistat per métdes elementals Butll, SCM 7 (992) p SANTOS, Reginaldo J;Introdução à Álgebra Linear Ed Universitária (2007)