Programação Linear. Dualidade
|
|
- Sarah Bento
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Programação Linear Dualidade
2 Dualidade Já vimos em sala que para cada PPL existe um outro PL chamado dual, que consiste em modelar um problema que utiliza os mesmos dados que o original, mas alterando a função objetivo, ou seja, o foco. Para facilitar a compreensão, vimos como exemplo o problema da dieta, que após modelado ficava no formato a seguir:
3 Dualidade Para esse mesmo PPL, mudando o foco da narrativa, conseguimos obter a formulação do seu problema dual: max b T w s.a A T w c w 0 (*) Observe que o vetor de variáveis duais pode ter várias representações (letras) diferentes dependendo do livro onde estejam olhando; a única coisa importante é que as variáveis duais são DIFERENTES das variáveis primais; assim, não é recomendável utilizar a letra 'x' para representar.
4 Dualidade O par de problemas primal-dual nesse formato é conhecido como forma canônica : Primal: Dual: min c T x max b T w s.a A x b s.a A T w c x 0 w 0 Independente do formado dos PPLs, as observações abaixo são válidas: * O número de variáveis de um PPL é igual ao número de restrições do outro PPL. * Se um PPL é min o outro é max (e vice-versa) * O tipo de restrição de um PPL influencia no tipo de variável do outro PPL. * O tipo de variável de um PPL influencia no tipo de restrição do outro PPL. * Se um PPL tem A como matriz nas restrições, o outro tem a matriz A T * Entre o primal e o dual, os vetores b e c trocam de posição.
5 Exemplo Primal: Dual:
6 Forma padrão da dualidade Para qualquer formato de PPL é possível escrever o dual. Para isso, basta pegar o primal, colocar no formato de minimização com restrições de maior ou igual, e escrever o dual conforme o slide anterior. Por exemplo, o para de problemas primal dual abaixo está no formato padrão : Primal: Dual: min c T x max b T w s.a A x = b s.a A T w c x 0 w irrestrito
7 Exemplo Primal: Dual:
8 Dualidade Para facilitar, é possível utilizar a tabela abaixo que ajuda a escrever o dual de acordo com as características (tipos de restrições e tipos de variáveis) do primal.
9 Dupla dualidade Os PPLs primal-dual possuem propriedades que os relacionam; a primeira propriedade é o lema abaixo, facilmente verificável (basta tomar um PPL original, escrever seu dual (D) e depois escrever o dual de (D), retornando ao PPL original). LEMA O dual do dual é o primal O primal do primal é o dual
10 Teorema Fraco de Dualidade TEOREMA FRACO DE DUALIDADE Considere o par de problemas primal-dual na forma canônica. Se x é um ponto viável para o problema primal e w é viável para o problema viável, então: Dem. Como x é viável-primal e w é viável-dual, temos e Juntando as duas desigualdades O que encerra a demonstração.
11 Teorema Fraco de Dualidade O teorema fraco vale para qualquer par de problemas primaldual, desde que o primal seja de minimização. Ou seja, se temos um ponto viável no primal e um ponto viável no dual, podemos comparar as imagens e assegurar que a imagem do dual é SEMPRE menor ou igual que a imagem do primal.
12 Teorema Fraco de Dualidade COROLÁRIO - TEOREMA FRACO DE DUALIDADE Se x é um ponto viável para o primal e w é viável para o dual, tais que as imagens coincidam: Então x é solução do primal e w é solução do dual. Dem. Seja x* SBV-primal e w* SBV-dual tais que b T w* = c T x*. Sabemos, do teorema, que: b T w c T x*, para todo w. Assim b T w c T x* = b T w* E portanto a imagem de w* é a maior possível no PPL dual w* é ótimo dual Sabemos, do teorema, que: b T w* c T x, para todo x. Assim c T x* = b T w* c T x E portanto a imagem de x* é a menor possível no PPL primal x* é ótimo primal
13 Teorema Forte de Dualidade Vimos que se as imagens são iguais, então temos as soluções primal-dual. Mas o contrário da afirmação também é verdade? TEOREMA Se o primal tem pelo menos uma SBV ótima x*, então o respectivo dual também tem pelo menos uma SBV ótima w*, e os correspondentes valores ótimos (imagens) coincidem. Dem. Considere o PL primal escrito na forma padrão. Se x* é uma SBV ótima do primal, então Como ela é ótima, sabemos que todos os custos reduzidos são menores ou iguais a zero
14 Teorema Forte de Dualidade Denotando por, temos Onde a j são as colunas da matriz A. Como a desigualdade acima é válida para todas as colunas, então: E portanto, verificamos que w* é ponto viável dual.
15 Teorema Forte de Dualidade Observe também que Ou seja, x* tem a mesma imagem que w*. Pelo corolário, sabemos então que w* é solução ótima dual.
16 Teorema Forte de Dualidade Ou seja, o que esse Teorema nos diz é que, se temos uma SBV ótima de um dos problemas (x*), podemos garantir que o outro PPL também tem pelo menos uma solução, dada por w*: Ou seja, além de garantir que o outro PPL também tem solução, podemos exibir uma solução usando c B e B. Isso nos indica que o número de bases ótimas é igual no dual e no primal.
17 Teorema Fund. de Dualidade Obs: No teorema abaixo, dizemos que um PPL tem valor ótimo finito se a imagem não tende a menos infinito (no caso de minimização) ou mais infinito (no caso de maximização). Ou seja, um PPL tem valor ótimo finito se existe pelo menos uma SBV ótima. TEOREMA (1) Um PPL tem valor ótimo finito se existem soluções viáveis para os problemas primal-dual. (2) Se algum dos problemas não tem ótimo finito, então o outro não possui soluções viáveis. Dem. (1) Sabemos que b T w c T x para quaisquer pontos x (viável primal) e w (viável dual). Em particular, para a solução x* do primal b T w c T x* E portanto a imagem de x* é limitada inferiormente, e não pode tender a menos infinito.
18 Teorema Fund. de Dualidade Dem. (1) Analogamente: Sabemos que b T w c T x para quaisquer pontos x (viável primal) e w (viável dual). Em particular, para a solução w* do dual b T w* c T x E portanto a imagem de w* é limitada superiormente, e não pode tender a mais infinito. Obs: * Se um PPL tem ponto viável, a solução do outro não tende a menos infinito. * Se um PPLtem solução ilimitada, então o outro PPL não tem ponto viável.
19 Teorema Fund. de Dualidade Dem. (2) Suponha que o primal não tem ótimo finito (ou seja, a imagem da função objetivo tende a - infinito ). Vamos supor por absurdo que, simultaneamente, o problema dual tem pontos viáveis; seja w um desses pontos. Sendo assim, teríamos que nos indica que o valor da função objetivo primal é limitado inferiormente, o que é um absurdo. De forma análoga, é possível demonstrar que se o dual não tem ponto ótimo finito, então o primal não tem pontos viáveis.
20 Conclusões Pode-se concluir que, para os problemas primal-dual, verificase uma e só uma das seguintes situações: Ambos têm soluções ótimas x* e w* e os valores ótimos coincidem: Se um problema não tem ótimo finito, então o outro é impossível; Ambos os problemas são impossíveis.
21 Exemplos Ambos têm solução ótima
22 Exemplos Primal: ótimo infinito; Dual: inviável;
23 Exemplos Ambos são impossíveis.
Pesquisa Operacional
Pesquisa Operacional Teoria da Dualidade Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG outubro - 2015 Problema Dual Cada problema de Programa de Programação Linear está associado a um outro problema de
Leia maisCombinando inequações lineares
Combinando inequações lineares A multiplicação por um número > 0 não altera uma inequação 2x x 5 4x 2x 10 1 2 1 2 A soma de duas inequações (com o mesmo sentido) produz uma inequação válida x 3x x 3 1
Leia maisTeoremas de dualidade
Teoremas de dualidade Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização
Leia maisCombinando inequações lineares
Combinando inequações lineares A multiplicação por um número > 0 não altera uma inequação 2x x 5 4x 2x 0 2 2 A soma de duas inequações (com o mesmo sentido) produz uma inequação válida x 3x + x 3 2 + 5x
Leia maisProgramação Linear. Dual Simplex: Viabilidade Dual Método Dual Simplex
Programação Linear Dual Simplex: Viabilidade Dual Viabilidade Dual Considere o par de problemas primal (P) dual (D). Agora já sabemos como encontrar a solução de um desses PPL a partir da solução do outro.
Leia maisRepresentação de poliedros
Representação de poliedros Marina Andretta ICMC-USP 8 de novembro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 -
Leia maisLema de Farkas e desigualdades lineares
Lema de Farkas e desigualdades lineares Marina Andretta ICMC-USP 30 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP)
Leia maisUniversidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.
Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema
Leia maisCones e raios extremos
Cones e raios extremos Marina Andretta ICMC-USP 7 de novembro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização
Leia maisTeoria de dualidade. Marina Andretta ICMC-USP. 19 de outubro de 2016
Teoria de dualidade Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização
Leia maisProf.: Eduardo Uchoa.
Análise de sensibilidade Prof.: Eduardo Uchoa http://www.logis.uff.br/~uchoa/poi 1 Análise de Sensibilidade Uma vez que já se tenha resolvido um PL, existem técnicas para avaliar como pequenas alterações
Leia maisProgramação Matemática. Método Simplex
Programação Matemática Método Simplex Forma Padrão - Revisão Características da forma padrão: Problema de minimização Todas as restrições são de igualdade Todas as variáveis são não-negativas Considerar
Leia maisAula 07: Análise de sensibilidade (2)
Aula 07: Análise de sensibilidade (2) Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Departamento de Computação UFOP Previously Aulas anteriores: Dualidade
Leia maisAulas 6 / 05 de setembro
Gabriel Coutinho DCC5 - Pesquisa Operacional - 7. Simplex Ei-lo. Aulas 6 / 5 de setembro Método Simplex Input: Uma PL e uma base viável de colunas B. Output: Uma solução ótima, ou um certificado de que
Leia maisPontos extremos, vértices e soluções básicas viáveis
Pontos extremos, vértices e soluções básicas viáveis Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta
Leia maisOtimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Forma geral de um problema Em vários problemas que formulamos, obtivemos: Um objetivo de otimização
Leia maisGraduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081. PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR E-mail: ivo.junior@ufjf.edu.br Aula Número: 07 Programação Linear Últimas
Leia maisAula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo
Aula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br 2018/2 - PCC174/BCC464 Aula Prática - Laboratório COM30!1 Breve Revisão Modelagem Método gráfico O Algoritmo Simplex
Leia maisExistência e otimalidade de pontos extremos
Existência e otimalidade de pontos extremos Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP)
Leia maisProfessor João Soares 20 de Setembro de 2004
Teoria de Optimização (Mestrado em Matemática) Texto de Apoio 2A Universidade de Coimbra 57 páginas Professor João Soares 20 de Setembro de 2004 Optimização Linear Considere o problema (1) abaixo, que
Leia maisα ( u 1 - u 2 ) = u 3 - u 2.
2- NOÇÕES DE CONVEXIDADE E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 21 Noções de Convexidade 211 - Combinação Convexa de pontos ponto b = αx 1 Considere C um conjunto contendo os pontos
Leia maisMétodo Simplex dual. Marina Andretta ICMC-USP. 24 de outubro de 2016
Método Simplex dual Marina Andretta ICMC-USP 24 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística
PESQUISA OPERACIONAL Fabiano F. T. dos Santos Instituto de Matemática e Estatística Dualidade em Programação Linear Todo problema de programação linear, que chamaremos de primal, traz consigo um segundo
Leia maisCAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade
CAPÍTULO 4 1. Introdução Uma dos conceitos mais importantes em programação linear é o de dualidade. Qualquer problema de PL tem associado um outro problema de PL, chamado o Dual. Neste contexto, o problema
Leia maisProgramação Linear M É T O D O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A S D e 1 1 d e m a r ç o a 2 9 d e a b r i l d e
Programação Linear A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Existe um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL I
PESQUISA OPERACIONAL I Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin/po-i.html Dualidade Introdução Uma das mais importantes descobertas no início do
Leia maisÍndice. Prefácio Os modelos de programação linear e a investigação operacional 17
Índice Prefácio 13 Capítulo 1 Introdução 1. Os modelos de programação linear e a investigação operacional 17 2. O problema de programação linear 18 2.1. O problema de programação linear em substituição
Leia maisAlgoritmos de aproximação - Método primal-dual
Algoritmos de aproximação - Método primal-dual Marina Andretta ICMC-USP 28 de outubro de 2015 Baseado no livro Uma introdução sucinta a Algoritmos de Aproximação, de M. H. Carvalho, M. R. Cerioli, R. Dahab,
Leia maisOtimização Aplicada à Engenharia de Processos
Otimização Aplicada à Engenharia de Processos Aula 4: Programação Linear Felipe Campelo http://www.cpdee.ufmg.br/~fcampelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Belo Horizonte Março de 2013
Leia maisPesquisa Operacional
Pesquisa Operacional Casos Especiais do Método Simplex e Gráfica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG setembro - 2015 1 Casos Especiais do Método Simplex Degeneração Múltiplas soluções ótimas
Leia maisX - D U A L I D A D E
X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi
Leia maisMétodos de Pesquisa Operacional
Métodos de Pesquisa Operacional Programação Linear é a parte da Pesquisa Operacional que trata da modelagem e resolução de problemas formulados com funções lineares. Programação Linear } Métodos de Resolução
Leia maisMaristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo
Programação Matemática Maristela Santos Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Forma Padrão - Definição Características da forma padrão: Problema de minimização Todas
Leia maisTP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil
TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil Algoritmo Dual Simplex Motivação max sa Z = cx Ax = b x 0 escolhida uma base viável max sa Z = c B x B
Leia maisProgramação Linear - Parte 5
Matemática Industrial - RC/UFG Programação Linear - Parte 5 Prof. Thiago Alves de Queiroz 1/2016 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 5 1/2016 1 / 29 Dualidade Os parâmetros de entrada são dados de acordo com
Leia mais5 Análise de Sensibilidade
MAC-35 - Programação Linear Primeiro semestre de 00 Prof. Marcelo Queiroz http://www.ime.usp.br/~mqz Notas de Aula 5 Análise de Sensibilidade Neste capítulo consideramos o problema de programação linear
Leia maisGabriel Coutinho DCC035 - Pesquisa Operacional Lista 6
Lista 6 Exercício. O objetivo deste exercício é modelar o problema de emparelhamento em um grafo bipartido como um problema de fluxo, e verificar que o Teorema de Konig é essencialmente o Teorema de Fluxo
Leia maisOtimização Linear. Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex
Otimização Linear Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex Revisão de Álgebra Linear Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um número k tal que: a)existe pelo menos uma sub-matriz
Leia maisConceitos e Teoremas. Tecnologia da Decisão I TP065. Profª Mariana
Conceitos e Teoremas Tecnologia da Decisão I TP Profª Mariana Restrições de um PL: D= = -=J G= =I =H E=- / /= / /=A 9/ =C . ma Z s.a c a a m c a n n a mn n n n n b b m a A am a n a mn b b b m c c c n n
Leia maisMétodo Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP
Método Simplex Dual Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br Introdução Algoritmo
Leia maisINVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o
Leia maisAlgoritmo Simplex - versão 2.5
Dualidade em Programação Linear 2 [Versão 25: 1 de dezembro de 25 ] 1 Introdução à Programação Linear (2) Algoritmo Simplex - versão 25 Leônidas de Oliveira Brandão http://wwwimeuspbr/ leo http://wwwmatematicabr
Leia maisProgramação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.
Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.
Leia maisOs números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral
Os números primos de Fermat complementam os nossos números primos, vejamos: Fórmula Geral P = 2 = 5 = 13 = 17 = 29 = 37 = 41 = Fórmula Geral 4 4 13 + 1 = 53 Em que temos a fórmula geral: Exatamente um
Leia maisBases Matemáticas. Como o Conhecimento Matemático é Construído. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. Definições Axiomas.
1 Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2012-9-21 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Construído 2 Definições Axiomas Demonstrações Teoremas Demonstração: prova de que um
Leia maisCapítulo 3. O Método Primal Simplex
Capítulo 3 O Método Primal Simplex 3.. Introdução Neste Capítulo, apresenta-se o método de resolução de problemas de programação linear mais utilizado, isto é, o método primal simplex. Assim, apresenta-se
Leia maisDualidade - Definições
Dualidade - Definições Associado a cada problema de programação linear (P) existe um problema (D), denominado problema dual. Relação importante (interpretações econômicas) Para cada dual de um dado PPL
Leia maisResolvendo algebricamente um PPL
Capítulo 6 Resolvendo algebricamente um PPL 6.1 O método algébrico para solução de um modelo linear A solução de problemas de programação linear com mais de duas variáveis, não pode ser obtida utilizando-se
Leia maisMétodo Simplex. Marina Andretta ICMC-USP. 19 de outubro de 2016
Método Simplex Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização linear
Leia mais4- Dualidade em Programação Linear
4- Dualidade em Programação Linear 4.1- Introdução Considere o problema clássico da dieta: (problema primal): Quer-se consumir quantidades de determinados alimentos de tal forma a satisfazer as necessidades
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas Básicos. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina
PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas ásicos Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina Conceitos Solução Viável Solução Não Viável Região Viável Solução ásica Solução ásica Viável Solução
Leia maisA Dualidade em Programação Linear
Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 14 A Dualidade em Programação Linear Para melhor ilustrar este conceito vamos estudar dois problemas intimamente relacionadas: o problema da dona
Leia maisMB PRINCÍPIOS DA PESQUISA OPERACIONAL PO INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS - PROGRAMAÇÃO LINEAR
MB-244 - PRINCÍPIOS DA PESQUISA OPERACIONAL PO-201 - INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS - PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar Z = x 1
Leia maisA forma canônica de Jordan
A forma canônica de Jordan 1 Matrizes e espaços vetoriais Definição: Sejam A e B matrizes quadradas de orden n sobre um corpo arbitrário X. Dizemos que A é semelhante a B em X (A B) se existe uma matriz
Leia mais3- O MÉTODO SIMPLEX Introdução e fundamentos teóricos para o Método Simplex
3- O MÉTODO SIMPLEX 3.1- Introdução O Método Simplex é uma técnica utilizada para se determinar, numericamente, a solução ótima de um modelo de Programação Linear. Será desenvolvido inicialmente para Problemas
Leia maisProgramação Linear Inteira. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30
Programação Linear Inteira Programação Linear Inteira C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO 2016 1 / 30 Programação Linear Inteira Programação Linear Inteira Resolução de problemas de
Leia maisUnidade: Modelo Simplex e Modelo Dual. Unidade I:
Unidade: Modelo Simplex e Modelo Dual Unidade I: 0 Unidade: Modelo Simplex e Modelo Dual Segundo Wikipédia (2008), em teoria da otimização matemática, o algoritmo simplex de George Dantiz é uma técnica
Leia maisTEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:
Leia maisCap. 5 Estabilidade de Lyapunov
Cap. 5 Estabilidade de Lyapunov 1 Motivação Considere as equações diferenciais que modelam o oscilador harmônico sem amortecimento e sem força aplicada, dada por: M z + Kz = 0 Escolhendo-se x 1 = z e x
Leia maisExemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Professor Murilo V. G. da Silva Notas de aula Estrutura de Dados 2 (Aula 09) Conteúdos da Aula: [DPV06 7.1, 7.2, 7.3] [Observação: Estas notas de aula são apenas
Leia maisInvestigação Operacional
Modelos de Programação Linear (Mestrado) Engenharia Industrial http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Modelação Matemática As técnicas e algoritmos
Leia maisPesquisa Operacional
Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Algébrica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 016 1 Análise de Sensibilidade Algébrica Variações do Lado Direito Variações na Função Objetivo
Leia maisCapítulo 6. Operadores Ortogonais. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo
Capítulo 6 Operadores Ortogonais Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 6: Operadores Ortogonais
Leia mais1 Otimização com restrições I: Condições de Primeira Ordem
Otimização com restrições I: Condições de Primeira Ordem Teorema 8: Seja f e h funções C de duas variáveis Suponha x = (x, x 2 ) é uma solução do problema: max f (x, x 2 ) sa h(x, x 2 ) = c Suponha também
Leia mais2 Geometria e Programação Linear
MAC-315 - Programação Linear Primeiro semestre de 2008 Prof. Marcelo Queiroz http://www.ime.usp.br/~mqz Notas de Aula 1 2 Geometria e Programação Linear 2.1 Poliedros e conjuntos convexos Alguns conceitos
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares. Sistemas Lineares - Parte 2. Terceiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Matrizes e Sistemas Lineares Sistemas Lineares - Parte 2 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto 1 A representação
Leia maisAula 20: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo
Aula 20: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464 / PCC174 Departamento de Computação - UFOP Breve Revisão Programação Linear vs Programação Inteira Modelagem
Leia maisJogos de soma zero com dois jogadores
Jogos de soma zero com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Jogador 1 quer encontrar p que maximize v sujeito a i p i = 1 sujeito a (pa)
Leia maisProgramação Matemática
Programação Matemática Docentes: Ana Paula, Franklina e Maristela Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC Universidade de São Paulo USP (Material Elaborado por Aline Leão modificado por
Leia maisPoliedros na forma padrão
Poliedros na forma padrão Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização
Leia maisAnálise I Solução da 1ª Lista de Exercícios
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Matemática Análise I 0- Solução da ª Lista de Eercícios. ATENÇÃO: O enunciado
Leia maisInvestigação Operacional
Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto
Leia maisOtimização Combinatória - Parte 4
Graduação em Matemática Industrial Otimização Combinatória - Parte 4 Prof. Thiago Alves de Queiroz Departamento de Matemática - CAC/UFG 2/2014 Thiago Queiroz (DM) Parte 4 2/2014 1 / 33 Complexidade Computacional
Leia maisAula 19: Lifting e matrizes ideais
Aula 19: Lifting e matrizes ideais Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Departamento de Computação UFOP Previously... Branch-and-bound Formulações
Leia maisEQUAÇÕES RELACIONAIS FUZZY E COMO RESOLVÊ-LAS
EQUAÇÕES RELACIONAIS FUZZY E COMO RESOLVÊ-LAS PEDRO ALADAR TONELLI 1. Introdução Nosso objetivo é apresentar de uma forma simples o procedimento para achar soluções de uma equação relacional fuzzy para
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia maisII. Programação Linear (PL)
II. Programação Linear (PL) Dualidade revisão e interpretação econômica Seja o pl max Z x x x x 4 x, x 5x x 0 8 000-00 Prof.ª Gladys Castillo Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo
Leia maisOs números reais. Capítulo O conjunto I
Capítulo 4 Os números reais De todos os conjuntos numéricos que estudamos agora, a transição de um para outro sempre era construída de forma elementar A passagem do conjunto dos números racionais aos reais
Leia maisAritmética. Somas de Quadrados
Aritmética Somas de Quadrados Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM Objetivo Determinar quais números naturais são soma de dois quadrados. PROFMAT - SBM Aritmética, Somas de Quadrados slide 2/14
Leia maisProgramação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016
Programação Linear (2ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Representação e resolução gráfica dos problemas de programação linear Problema de minimização Problema
Leia maisNotações e revisão de álgebra linear
Notações e revisão de álgebra linear Marina Andretta ICMC-USP 17 de agosto de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211
Leia maisAfirmações Matemáticas
Afirmações Matemáticas Na aula passada, vimos que o objetivo desta disciplina é estudar estruturas matemáticas, afirmações sobre elas e como provar essas afirmações. Já falamos das estruturas principais,
Leia maisSistemas de Equações Lineares
Capítulo 2 Sistemas de Equações Lineares 21 Generalidades Chamamos equação linear nas variáveis (incógnitas) x 1, x 2, x 3,, x n uma igualdade da forma a a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b Os
Leia maisProfessor: Rodrigo A. Scarpel
Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semana 1: Apresentação da disciplina Introdução à Programação Linear Resolução de problemas de PL pelo Método Gráfico
Leia maisMÉTODO SIMPLEX. Prof. MSc. Marcos dos Santos
MÉTODO SIMPLEX OBJETIVO DA AULA Determinar a Solução Ótima de um PPL por meio do Método Simple, especialmente adequado para problemas com mais de duas V.D. SUMÁRIO Overview sobre PO; Métodos Algébricos;
Leia maisSolução de problemas de PL com restrições do tipo >= e =
Solução de problemas de PL com restrições do tipo >= e = Seja o Problema de maximização abaixo: O problema na forma padrão: Tem-se um problema, não existe na restrição 3 uma variável de folga para entrar
Leia maisMétodos Numéricos. MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005
Métodos Numéricos MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005 Métodos Numéricos - MEI 1 Apresentação - Docentes Aulas teóricas: A. Ismael F. Vaz - aivaz@dps.uminho.pt
Leia mais) a sucessão definida por y n
aula 05 Sucessões 5.1 Sucessões Uma sucessão de números reais é simplesmente uma função x N R. É conveniente visualizar uma sucessão como uma sequência infinita: (x(), x(), x(), ). Neste contexto é usual
Leia maisMétodos e Medidas II
Métodos e Medidas II Disciplina: 1 Prof. Álvaro José Periotto ajperiotto@uem.br 3. Método Gráfico (conjunto de soluções/ponto ótimo) 1. Entendimento do Enunciado 2 Início Entendimento do Enunciado do P.P.L.
Leia maisDemonstrações. Terminologia Métodos
Demonstrações Terminologia Métodos Técnicas de Demonstração Uma demonstração é um argumento válido que estabelece a verdade de uma sentença matemática. Técnicas de Demonstração Demonstrações servem para:
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V Base de
Leia maisALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral
Módulo 9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral Contents 9.1 Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos) 136 9. Teorema espectral para operadores auto-adjuntos...........
Leia maisOtimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Dualidade A eoria da Dualidade é um dos mais importantes tópicos da Programação Linear (PL). Estudos
Leia maisMaterial Teórico - Sistemas Lineares e Geometria Anaĺıtica. Sistemas com três variáveis - Parte 1. Terceiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Sistemas Lineares e Geometria Anaĺıtica Sistemas com três variáveis - Parte 1 Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof Antonio Caminha M Neto
Leia maisMarina Andretta. 10 de outubro de Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis.
Solução básica viável inicial Marina Andretta ICMC-USP 10 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211
Leia maisTécnicas de Demonstração. Raquel de Souza Francisco Bravo 17 de novembro de 2016
Técnicas de Demonstração e-mail: raquel@ic.uff.br 17 de novembro de 2016 Técnicas de Demonstração O que é uma demonstração? É a maneira pela qual uma proposição é validada através de argumentos formais.
Leia maisGabarito da lista de Exercícios sobre Técnicas de Demonstração
Universidade Federal Fluminense Curso: Sistemas de Informação Disciplina: Fundamentos Matemáticos para Computação Professora: Raquel Bravo Gabarito da lista de Exercícios sobre Técnicas de Demonstração
Leia maisAula 13: Branch-and-bound
Aula 13: Branch-and-bound Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Departamento de Computação UFOP Previously... Modelagem em PI / Problemas Combinatórios
Leia maisALGA I. Bases, coordenadas e dimensão
Módulo 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Contents 5.1 Bases, coordenadas e dimensão............. 58 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas......... 65 5.3 Mudanças de base e de coordenadas..........
Leia maisNotas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes
Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ
Leia mais