Programação Linear Inteira. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

Transcrição

1 Programação Linear Inteira Programação Linear Inteira C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

2 Programação Linear Inteira Programação Linear Inteira Resolução de problemas de programação linear nos quais as variáveis apenas tomam valores inteiros ou apenas binários. Problema de Programação Linear Inteira (P.L.I.) z = min c t x (P) s. a: Ax b x X N n 0 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

3 Minorantes e Majorantes Minorantes e Majorantes Dado um programa linear (P) [min / max] x X z = c T x podemos obter minorantes z l e majorantes z u para o seu valor ótimo z : z l z z u. Como obter minorantes e majorantes? C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

4 Minorantes e Majorantes Soluções admissíveis o valor de uma solução admissível z a constitui um minorante para um programa linear de maximização max x X z = c T x z a z majorante para um programa linear de minimização min x X z = c T x z z a C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

5 Minorantes e Majorantes Dualidade o valor de uma solução dual admissível z d constitui um majorante para um programa linear de maximização max x X z = c T x z z d minorante para um programa linear de minimização min x X z = c T x z d z C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

6 Minorantes e Majorantes Relaxação Substituir um problema por um outro mais simples (fácil de resolver) de modo a obter uma aproximação para o valor óptimo do problema. Dado um problema P, obtemos uma relaxação de P: (i) aumentando o conjunto das soluções admissíveis (optimizamos sobre um conjunto maior) e/ou (ii) substituindo uma função objectivo de max. (min) por uma outra função que tem um valor igual ou superior (inferior) em toda a solução admissível. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

7 Minorantes e Majorantes Relaxação o valor ótimo z r de uma relaxação constitui um majorante para um programa linear de maximização max x X z = c T x z z r minorante para um programa linear de minimização min x X z = c T x z r z C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

8 Minorantes e Majorantes Relaxação Teorema: Se o problema relaxado (PR) não tem soluções admissíveis (é impossível), então o problema original (P) também não tem qualquer solução admissível Teorema: Se a solução óptima do problema relaxado (PR) é admissível para o problema original (P), então essa solução também é óptima para o problema original (P) C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

9 Minorantes e Majorantes Relaxação Relaxações: (i) Relaxação Linear (ii) Relaxação Lagrangeana (iii) Relaxações Combinatórias... C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

10 Relaxação Linear Relaxação linear consideremos o seguinte problema de Programação Linear Inteira (P.L.I.) z = min c t x (P) s. a: Ax b x X N n chama-se relaxação linear deste problema (P) a z L = min c t x (P L ) s. a: Ax b x 0, x R n C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

11 Relaxação Linear Quando é que a resolução da relaxação linear garante a solução óptima do problema inteiro? Definição uma matriz A inteira e de dim. m n é totalmente unimodular (TU) se o determinante de toda a sua submatriz quadrada for igual a 0, +1, 1. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

12 Relaxação Linear Relaxação linear temos então o seguinte resultado fundamental Proposição se A é uma matriz totalmente unimodular, então todos os vértices do poliedro convexo P = {x R n : Ax b, x 0} são inteiros, para todo o vector b Z m tal que P Proposição se A é uma matriz totalmente unimodular e b e c são vectores de inteiros, então ambos os problemas max{cx : Ax b} = min{yb : y 0, ya = c} possuem sol. óptimas inteiras. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

13 Relaxação Linear Relaxação Em Teoria: todo o problema de programação inteira mista pode ser resolvido como um problema de programação linear usando como formulação a descrição linear do envolvente convexo do conjunto das soluções admissíveis (formulação ideal). Na Prática: Em geral a descrição do envolvente convexo é desconhecida. A descrição do envolvente convexo pode incluir um número de desigualdades válidas que é exponencial no número de variáveis. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

14 Métodos de P.L.I. Métodos para resolver P.L.I. Método Branch & Bound Método de Planos de Corte relaxa a formulação para P.L. e, sucessivamente, insere desigualdades válidas que separam pontos fraccionários Método Branch & Cut combina o método Branch & Bound e o método de Planos de Corte Método Branch & Price combina o método Branch & Bound e o método de geração de colunas etc. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

15 Método Branch & Bound C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

16 Método Branch & Bound particiona o conjunto de soluções do problema e constroi uma árvore de enumeração (branch) sempre que ocorre uma situação inviável abandona/remove o correspondente ramo da árvore (bound) C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

17 Pontos importantes num método Branch & Bound como fazer a enumeração (Passo 2) como percorrer a árvore de enumeração (Passo 3) como limitar a árvore de enumeração (Passo 4) C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

18 como fazer a enumeração (Passo 2) a enumeração gera uma quantidade muito grande de soluções, devemos apenas guardar uma lista de nós activos e a melhor solução viável escolher a variável a ramificar: a mais fraccionária (parte fracc + prox de 0.5) ou a menos fraccionária (parte fracc + distante de 0,5) C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

19 como percorrer a árvore de enumeração (Passo 3) por busca em profundidade memória usada na enumeração pequena obtenção da solução óptima pode ser demorada por busca em largura memória usada na enumeração pode ser excessiva mantém certa igualdade entre os ramos, permitindo manter ramos que contenham boas soluções escolher para ramificar o nó que tem a maior distância entre o limite inferior e superior de modo a diminuir a diferença entre limite superior e inferior, p ex, num prob min escolher o nó com o menor limite inferior C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

20 como limitar a árvore de enumeração (Passo 4) Optimalidade: solução óptima do subproblema encontrada Admissibilidade: o subproblema não tem soluções admissíveis Limite: determinado um minorante do subproblema pior que o valor da melhor solução admissível já encontrado C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

21 como limitar a árvore de enumeração (Passo 4) boas estratégias evitam rápido crescimento da árvore usar o valor da melhor sol encontrada combinada com estratégias que usem limites inf e sup num prob max considerar como lim sup o ϑ(p L ), c/o lim inf ou o valor de uma sol admiss e substituir este valor sp q encontrar uma sol inteira melhor num prob min considerar como lim inf o ϑ(p L ), c/o lim sup + ou o valor de uma sol admiss e substituir este valor sp q encontrar uma sol inteira melhor C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

22 Algoritmo de Branch & Bound - problema de max. Passo 1: Inicialização resolver a relaxação linear (P L ) do P.L.I. Se (P L ) é impossível, STOP (P) é tb impossível. Se a sua solução é inteira, STOP foi encontrada a solução óptima de (P)) Caso contrário seja z o correspondente valor óptimo seja z = ou então igual ao valor da f.o. associado a uma sol. admissível C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

23 Passo 2: Ramificação/Branching particionar o problema a partir de uma var. que viole a rest. de integralidade seja x k a var. escolhida c/ valor fraccionário x k num dos problemas incluir a rest. x k x k no outro problema incluir a rest. x k x k + 1 colocar estes problemas na lista de problemas por analisar C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

24 Passo 3: Selecção do subproblema se já não existirem subprob. p/a analisar, passar ao Passo 5 caso contrário, seleccionar um novo problema e seguir para o Passo 4 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

25 Passo 4: Resolução da rel. lin. do subproblema seleccionado/bounding resolver a rel. linear do prob. seleccionado se a rel. linear for impossível, abandonar o subproblema, cancelar o nó da árvore de pesquisa e passar ao Passo 3 caso contrário, seja z o valor da f.o. correspondente à sol. óptima da rel. linear se z < z, abandone este problema, cancelar este nó, e seguir para o Passo 3 se z z e se na sol. óptima existir pelo menos uma variável inteira com valor fraccionário, então seguir para o Passo 2 se z z e se a sol. óptima verificar todas as rest. de integralidade, então cancelar o nó da árvore, substituir z por z e passar ao Passo 3 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

26 Passo 5: Teste de optimalidade se z = então o problema é impossível e o processo termina caso contrário, a sol. óptima foi obtida e o processo termina com z = z C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

27 Exemplo 1 max z = 3x 1 + 4x 2 s. a: 3x 1 + 2x 2 2 x 1 + 3x 2 11 x 1 + x 2 6 x 1, x 2 0 e inteiros C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

28 (P 0 ) z = 41 2 x = ( 7 2, 5 2 ) z = 41 2 z = (P 1 ) z = 59 3 x = (3, 8 3 ) (P 2 ) z = 20 x = (4, 2) (P 3 ) z = 17 x = (3, 2) z = 17 z = 17 (P 4 ) z = 18 x = (2, 3) z = 18 z = 18 C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

29 Exemplo 2 max z = x 1 + 4x 2 s. a: 2x 1 + 4x 2 8 2x 1 + 3x 2 12 x 1, x 2 0 e inteiros C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30

30 (P 0 ) z = 92 7 x = ( 12 7, 20 7 ) z = 92 7 z = 0 (P 1 ) z = 11 x = (1, 5 2 ) (P 2 ) z = 38 3 x = (2, 8 3 ) (P 3 ) z = 9 x = (1, 2) z = 92 7 z = 9 (P 4 ) imp. (P 5 ) z = 11 x = (3, 2) z = 92 7 z = 11 (P 6 ) imp. C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO / 30