CAPÍTULO IV PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA (PLI)

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1 CAPÍTULO IV PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA (PLI) Prof. Gilson Fernandes da Silva Departamento de Ciências Florestais e da Madeira (DCFM) Programa de Pós-graduação em Ciências Florestais (PPGCF) Universidade Federal Espírito Santo (UFES)

2 1. OBJETIVOS DO CAPÍTULO IV - Apresentar os principais tipos de modelos de PI. - Discorrer sobre os principais métodos de solução. - Realizar treinamento em alguns pacotes computacionais empregados para a solução de modelos de PI.

3 2. INTRODUÇÃO A propriedade de continuidade nas variáveis de decisão nos modelos de Programação Linear permite que valores fracionários sejam atribuídos a essas variáveis, o que limita as aplicações desses modelos. Ocorre que no mundo real muitos fenômenos só podem ser representados por variáveis inteiras.

4 Exemplos de fenômenos representados por variáveis inteiras: Número de peças a serem produzidas, Número de veículos alocados para uma determinada rota, Número de objetos colocados em uma mochila, Quantidade de animais em um galpão.

5 Programação Linear Inteira (PLI) ou simplesmente Programação Inteira (PI)? Quando o modelo de Programação Inteira é simplesmente um caso particular do modelo de Programação Linear, isto é, inclui a restrição de integralidade, o mais correto é chama-lo de PLI. Quando na literatura se encontra a denominação Programação Inteira ou a sigla PI, pode-se imaginar que, além de modelos de PLI, modelos de Programação Não-Linear podem estar sendo considerados. Muitas vezes as siglas PI e PLI são consideradas sinônimos.

6 Assim, um problema de Programação Linear Inteira (PPLI) é um PPL no qual todas as variáveis são positivas e inteiras, ou seja: Max ou Min z = (1) sujeito a n aijx j j 1 b i n j 1 c j x j ; (i = 1,2,..., m) (2) x j 0 e Inteiro ou Z +, para (j = 1,2,..., n) (3) Z + = representa números inteiros e positivos

7 3. CLASSES DE MODELOS DE PLI Existem algumas variações do modelo de Programação Linear Inteira, em função da natureza da restrição de integralidade. Assim, temos basicamente três classes de problemas, a saber: Programação Linear Inteira Pura; Programação Linear Inteira Mista; Programação Linear Inteira (0-1).

8 3.1 Programação Linear Inteira Pura Nesses problemas, todas as variáveis de decisão devem assumir valores inteiros. ex.: Maximizar z = 3x 1 + 5x 2 s.a. 2x 1 + 4x x 1 + 2x 2 18 x 1 e x 2 Z +.

9 3.2 Programação Linear Inteira Mista Aqui, somente algumas variáveis de decisão são requeridas como inteiras. ex.: Maximizar z = 5x 1 + 8x 2 + 3x 3 + 5x 4 s.a. 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x x 1 + 8x 2 48 x 1 e x 2 Z + x 3 0 e x 4 0

10 3.3 Programação Linear Inteira (0-1) Na Programação Linear Inteira 0-1, cada variável de decisão pode assumir somente valores 0 (zero) ou 1 (um). ex.: Maximizar z = 5x 1 + 8x 2 + 3x 3 + 5x 4 s.a. 2x 1 + 4x x 1 + 2x 2 18 x 1, x 2, x 3, x 4 (0, 1).

11 3.3.1 Modelagem de condições Se-Então Suponha que a decisão x j = 1 só pode acontecer caso a decisão também seja x i = 1. Esta condição pode ser modelada pela seguinte restrição: x i - x j 0. Esta inequação permite que x i seja 0 ou 1. Caso x i = 1, x j = 0 ou x j = 1. Caso x i = 0, x j = 0 passa a ser obrigatório para que a inequação seja verdadeira. Ex: Caso se compre a madeira, pode-se fazer as peças ou não. Caso não se compre, nada será feito.

12 Outras variantes desse tipo de relacionamento podem ser encontradas de forma análoga. Por exemplo, para variáveis mutuamente excludentes, a equação x i + x j = 1 pode ser usada. Caso no máximo uma das duas possa acontecer, a inequação x i + x j 1 pode ser usada.

13 3.3.2 Modelagem de condições ou-ou De acordo com Colin (2007), considerando uma restrição do tipo, o lado direito impõe um limite para o quanto o lado esquerdo pode aumentar. Se o lado direito for muito grande, a restrição sempre será atendida e passa a não te efeito, como se não existisse. Este artifício é usado para a modelagem de condições do tipo ou-ou.

14 Suponha o caso de uma formulação em que apenas uma de duas restrições deve ser atendida. Suponha que as duas restrições sejam definidas como se segue (Colin, 2007) : n aijx j j 1 b i n akj x j j 1 b k

15 Em que as variáveis podem ser contínuas ou inteiras. Seja M um valor tal que não afete a região de viabilidade do problema. Se alterarmos essas restrições para o novo formato a seguir n j 1 n j 1 a a ij kj x x y i + y k = 1 j j b b i k Myi My k Esta nova formulação garante que apenas uma das duas restrições seja atendida. {y i, y k } {0, 1}

16 4. MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE MODELOS DE PLI 4.1 Introdução aos métodos de solução Teve sua origem com o matemático americano - EUA Ralph Gomory, que em 1957, como consultor da Marinha dos EUA, propos o primeiro algoritmo de PLI, publicado em A ideia se baseava em adaptar o método Simplex para avaliar variáveis inteiras. Jack Edmonds, pesquisador dos EUA, ao longo da década de 60, com estudos na área de otimização combinatorial, introduziu um formalismo de PLI mais próximo de hoje.

17 Desde o trabalho inicial publicado por Rafph Gomory em 1958 e dos desenvolvimentos realizados por Jack Edmonds, vários métodos e algoritmos de solução foram propostos para resolver problemas de PLI. Goldbarg e Luna (2000) citam os seguintes trabalhos, considerados muito relevantes nesse sentido: Dantzig (1959), Gomory (1960), Glover (1965), Lawer e Wood (1966), Reiter e Rice (1966), Shapiro (1968), Nemhauser e Ullman (1968), Padberg (1970), Wolsey (1972), Pierce e Lasky (1973), Nemhauser e Garfinkel (1972), Geoffrion e Marsten (1972), Shamir (1984).

18 4.2 Principais métodos para a solução de problemas de PLI Existe uma grande variedade de procedimentos de solução de problemas de PLI. Alguns deles são generalizados para resolver qualquer tipo de problema, outros foram desenvolvidos para resolver problemas específicos, como os problemas de PLI com variáveis binárias. A seguir são apresentados alguns métodos empregados para a solução de problemas de PLI.

19 Principais métodos para a solução de problemas de PLI método da enumeração explícita método gráfico método da primeira aproximação ou arredondamento métodos de corte ou planos de corte métodos de branch and bound método da enumeração implícita métodos heurísticos.

20 Dos métodos apresentados, os três primeiros apresentam sérias limitações que os impedem de serem utilizados na prática. A solução por Enumeração Explícita só é viável para problemas com poucas variáveis, da mesma forma que a solução gráfica só se aplica para problemas com até duas variáveis. A solução por arredondamento tem como principal problema a possibilidade de produzir soluções inviáveis.

21 A ideia geral do método de Planos de Corte é o acréscimo sistemático de restrições (cortes) sem que nenhuma solução inteira seja eliminada do conjunto de restrições. No método de Branch and Bound é desenvolvido uma arborescência cuja raiz é a solução do PPL obtida pela relaxação do problema de PLI, isto é, retirando-lhe as restrições de integralidade.

22 Nós métodos de Enumeração Implícita, também é desenvolvido uma arborescência, porém, de maneira diferente, pois parte-se de uma solução inteira viável ou não e dela se deriva uma solução viável ótima. Os métodos de Planos de Corte, Branch and Bound e Enumeração Implícita são métodos para se obter soluções exatas por busca inteligente da solução ótima do problema. Havendo uma solução ótima, ela será encontrada em um conjunto finito de passos.

23 Acontece que, muitas vezes, o espaço de solução da maioria dos problemas de PLI são complexos e de difícil solução, e mesmo com processos de busca inteligentes, a obtenção da solução ótima pode ser tornar inviável em termos de tempo e esforço. Uma alternativa para isto é utilizar métodos heurísticos. Estes métodos buscam encontrar uma solução boa, não necessariamente ótima, porém, com tempos computacionais muito menores. Exemplos de heurísticas: Algoritmos Genéticos, Busca Tabu e Simulated Annealing.

24 4.2.1 Os métodos Gráfico e da Enumeração Explícita Para ilustrar o método da Enumeração Explícita, vamos utilizar como exemplo o problema da confeitaria, apresentado em Goldbarg e Luna (2000) e em Rodrigues (2002): Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de sorvete: Chocolate e creme. Cada lote do bolo de chocolate é vendido com um lucro de R$ 3,00 e os lotes de creme com um lucro de R$ 1,00. Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no

25 mínimo 10 lotes de bolo de chocolate por dia e que o de lotes fabricados nunca seja menor do que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação de sorvetes disponibilizam 180 horas de operação, sendo que cada lote de bolos de chocolate consome 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Determinar o esquema de produção que maximize os lucros com a venda dos bolos de sorvete.

26 Modelagem do problema i. Escolha das variáveis de decisão x 1 = quantidade de lotes de bolos de sorvete do tipo creme x 2 = quantidade de lotes de bolos de sorvete do tipo chocolate ii. Elaboração da função objetivo Maximizar Z = x 1 + 3x 2 iii. Formulação das restrições tecnológicas a) Restrição associada à disponibilidade de maquinaria 3x 1 + 2x 2 180

27 b) Restrição do número de lotes de bolos de creme no mercado x 1 40 c) Restrição do número de lotes de bolos de chocolate no mercado x 1 60 d) Restrições associadas aos contratos com as lojas x 2 10 x 1 + x 2 20

28 iv. Restrições de não negatividade x 1 0 x 2 0 v. Restrições de integralidade x 1 e x 2 Z + O modelo completo vai ficar:

29 Maximizar Z = x 1 + 3x 2 Sujeito a: 3x 1 + 2x x 1 40 x 1 60 x 2 10 x 1 + x 2 20 x 1 0 x 2 0 x 1 e x 2 Z +

30 A Figura 1 permite ver a solução gráfica para o caso de x 1 e x 2 contínuos: Figura 1 Representação da solução gráfica do problema para o modelo contínuo. Fonte: RODRIGUES (2002).

31 Admitindo que, no caso contínuo, a solução ótima vai estar em um dos vértices (A, B, C, D e E), temos as seguintes possibilidades: Tabela 1 Solução pelo método da Enumeração Explícita Vértices examinados Coordenadas Valor da F.O. x 1 x 2 Z = x 1 + 3x 2 A B C D E F

32 Observa-se que resolvendo o PPLI como se fosse um PPL, obteve-se como resultados para as variáveis x 1 e x 2 valores inteiros. Entretanto, tal fenômeno é um fato raro, mas quando isso acontece, solucionar um problema de PL é equivalente a solucionar um problema de PLI. Por outro lado, quando se resolve um modelo de PLI como se fosse um modelo de PL e pelo uma das variáveis não assume um valor inteiro, métodos alternativos devem ser empregados. Uma opção é o método da Enumeração Explícita.

33 Considere o seguinte modelo de PLI apresentado por Rodrigues (2002) e sua respectiva solução gráfica (Figura 2): Max Z = 5x x 2 Sujeito a: 7x 1 + 4x 2 13 x 1 0 x 2 0 x 1 e x 2 Z +

34 Figura 2 Representação da solução gráfica do problema para o modelo contínuo. Fonte: RODRIGUES (2002).

35 De acordo com a solução gráfica apresentada para o caso contínuo (Figura 2), o ótimo é encontrado no vértice B, isto é: x 1 = 0 ; x 2 = 3,25 e Z = 35,75. Observa-se pela solução gráfica anterior que, com as restrições de integralidade, o espaço de soluções viáveis reduz bastante quando comparado com o caso contínuo. Para o caso do PLI, a região viável passa a ser agora o conjunto de pontos inteiros apresentados na Tabela 2. A solução ótima é aquela que apresentar maior valor de Z.

36 Tabela 2 Solução pelo método da Enumeração Explícita Pontos Coordenadas Inteiras Valor da F.O. x 1 x 2 Z = 5x x

37 Em problemas de pequeno porte, o método de Enumeração Explícita pode funcionar. Entretanto, a maioria dos problemas de PLI do mundo real possuem regiões viáveis com um número muito grande de pontos viáveis, o que torna esta abordagem inviável. A título de exemplo, considere um problema de de PLI com variáveis binárias. As diferentes combinações (soluções, nem todas necessariamente viáveis) de valores 0-1 para as variáveis de decisão é da ordem de 2 n.

38 Assim, em um problema com apenas 20 variáveis de decisão (n = 20), o número de combinações possíveis excede um milhão. Se n = 50, este número excede um quatrilhão. Problemas dessa natureza podem necessitar de anos de processamento para pesquisar todas as soluções do problema, mesmo com os sofisticados recursos computacionais da atualidade. Nesse sentido, métodos de busca inteligente e métodos heurísticos passam a ser alternativas mais viáveis de solução.

39 4.2.2 O método da primeira aproximação ou arredondamento O primeiro passo para executar este método é obter uma solução relaxada para o modelo de PLI. Entenda-se como solução relaxada aquela solução para um modelo de PLI em que se ignora as restrições de integralidade, isto é, basta resolver o modelo de PLI como se fosse um modelo de PL. O passo seguinte consiste em arredondar as resposta não inteiras de acordo com algum critério de arredondamento.

40 De acordo com Alves e Delgado (1997), esta técnica não é recomendável por três razões: 1) O trabalho envolvido pode ser muito grande, pois o número de soluções arredondadas pode ser muito elevado. Para cada solução arredondada, é necessário verificar se se trata de uma solução viável e, em caso afirmativo, calcular o valor correspondente da função objetivo; só desta maneira se encontrará a melhor de todas as soluções arredondadas.

41 2) A solução ótima do problema de PL após o arredondamento, pode não ser viável para o modelo de PLI (embora o modelo de PLI tenha soluções). Considere o seguinte modelo cuja representação gráfica se encontra na Figura 3: Max F = 11x x 2 Sujeito a: 2,75x x x 1 + 6x 2 3 x 1 e x 2 Z +

42 Figura 3 Nenhuma das quatro soluções obtidas por arredondamento é viável. Fonte: Alves e Delgado (1997).

43 3) A solução inteira (resultante do arredondamento da solução ótima do problema de PL) pode estar relativamente afastada da solução ótima do problema de PLI (sendo o afastamento medido em termos da função objetivo). Considere o seguinte modelo cuja representação gráfica está na Figura 4: max F = 11x x 2 sujeito a: 2,75x x x 1 + 6x 2 3 x 1 e x 2 Z +

44 Figura 4 Nenhuma das quatro soluções obtidas por arredondamento é viável. Fonte: Alves e Delgado (1997).

45 4.2.3 O método dos Planos de Corte O primeiro passo para executar este método é obter uma solução relaxada para o modelo de PLI. Entenda-se como solução relaxada aquela solução para um modelo de PLI em que se ignora as restrições de integralidade, isto é, basta resolver o modelo de PLI como se fosse um modelo de PI. O passo seguinte consiste em arredondar as resposta não inteiras de acordo com algum critério de arredondamento.

46 Foi o primeiro método de busca inteligente desenvolvido (Gomory, 1958). O algoritmo dos planos de corte (cutting plane algorithm) se inicia com a solução relaxada, isto é, a versão contínua do problema de PLI. Se a solução ótima encontrada não satisfaz o requerimento de integralidade, novas restrições são formuladas e adicionadas ao problema.

47 Estas restrições representam planos de corte (em espaços bidimensionais) ou hiperplanos (em espaços n-dimensionais) que eficientemente eliminam partes da região de soluções viáveis enquanto asseguram que nenhuma solução inteira viável seja eliminada. Os fundamentos dos algoritmos de corte baseiam-se na ideia do simplex, o qual assegura que pelo menos uma das soluções ótimas para um problema de PL encontra-se em um dos vértices do espaço de soluções.

48 Em resumo, o método dos Planos de corte busca eliminar algumas regiões do espaço de soluções viáveis, de forma que o novo espaço contenha apenas vértices inteiros. Considerando este novo espaço e a ideia do simplex, busca-se encontrar uma solução inteira ótima. Caso isso não ocorra, novos cortes são realizados. A Figura 5 ilustra um corte feito no espaço de soluções viáveis na busca por uma solução inteira ótima.

49 Figura 5 Efeito do plano de corte na redução da região viável de um problema de PL. Fonte: RODRIGUES (2002).

50 4.2.3 O algoritmo fracionário de Gomory Para ilustrar a aplicação deste algoritmo, tomaremos como base o exemplo apresentado por Rodrigues (2002) e Alves e Delgado (1997). Considere o seguinte modelo de PLI: max Z = 8x 1 + 5x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 e x 2 Z +

51 Chamaremos este modelo de PLI de P e o modelo de PL de P. Obtendo a solução relaxada P, chega-se ao seguinte quadro simplex: X 1 X 2 s 1 s 2 b i x ,25-0,25 2,25 X ,25 0,25 3,75 Z 0 0 1,25 0,75 41,25 O algoritmo fracionário de Gomory consiste na geração de sucessivos planos de corte e solução via o dual simplex, dos problemas gerados com o corte.

52 A partir do quadro simplex que corresponde à solução relaxada P, temos os seguintes passos para a execução do algoritmo: 1) Escolhe-se aleatoriamente no quadro simplex obtido para P uma restrição cujo lado direito seja fracionado. Arbitrariamente será escolhida a restrição relacionada à variável x 1, ou seja: x 1 1,25s 1 + 0,25s 2 = 3,75 (1)

53 2) Definir [ _b_ ] como o maior inteiro que seja menor ou igual a b, po exemplo: 3,75 = 3 e -1,25 = -2. Qualquer número b pode ser escrito na forma [ _b_ ] + f, em que f é a parte fracionada de b, com 0 f 1. Exemplos: 3,75 = 3 + 0,75 e - 1,25 = ,75. 3) A partir do quadro simplex e considerando a forma [ _b_ ] + f, reescrever a equação (1), tal como se segue: x 1 2s 1 + 0,75s 1 + 0s 2 + 0,25s 2 = 3 + 0,75 (2)

54 3) Coloque todos os termos com os coeficientes inteiros do lado esquerdo e todos os termos com os coeficientes fracionados do lado direito, o que resulta em: x 1 2s 1 + 0s = 0,75s 1 + 0,25s 2 + 0,75 (3) 4) O passo seguinte é adicionar o lado direito de (3) no quadro simplex ótimo de P, da seguinte forma: 0,75s 1 + 0,25s 2 + 0,75 0 (4) Esta restrição é chamada de corte ou plano de corte.

55 Quando é adicionado um corte ao problema P, esperase obter uma solução em que todas as variáveis possuem valores inteiros. Caso isso seja verdade, então foi encontrada a solução ótima para o PLI original. Caso contrário, ou seja, se a solução ótima para o novo problema com a restrição de corte possui alguma variável com valor fracionado, é gerado um novo corte e o processo continua até que uma solução inteira ótima (se houver) seja encontrada.

56 O corte satisfaz as seguintes propriedades: i) Qualquer ponto viável para a PLI satisfaz o corte. ii) A solução ótima atual para a PL relaxada não satisfaz o corte. 5) Obter a restrição de corte rearranjada em termos das variáveis de interesse. Para isso, basta seguir os seguintes passos no caso deste exemplo: a) Escreva as inequações que representam as restrições do problema original. x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45

57 b) Insira as variáveis de folga (s i ) em cada uma das inequações obtidas em (a): x 1 + x 2 + s 1 = 6 s 1 = 6 - x 1 - x 2 (5) 9x 1 + 5x 2 + s 2 = 45 s 2 = 45-9x 1 - x 2 (6) c) Substitua as expressões (5) e (6) na expressão de corte (4): 0,75s 1 + 0,25s 2 + 0,75 0 3/4(6 - x 1 - x 2 ) + 1/4(45-9x 1 - x 2 ) + 3/4 0 3 x 1 + 2x 2 15 (7)

58 Modelo antes do corte max Z = 8x 1 + 5x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 e x 2 0 Modelo depois do corte max Z = 8x 1 + 5x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x x 1 + 2x 2 15 x 1 e x 2 0 Modelo de PLI max Z = 8x 1 + 5x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 e x 2 Z +

59 Resolvendo estes três modelos no Lindo, temos: Modelo antes do corte

60 Modelo depois do corte

61 Modelo de PLI

62 Figura 6 Ilustração gráfica da solução dos três modelos. Fonte: RODRIGUES (2002).

63 Gomory (1958) demonstrou que que se atinge a solução ótima do PLI, caso ela exista, após um número finito de cortes. Apesar desta propriedade o método dos Planos de Corte caiu em desuso, sendo muito pouco utilizado devido ao trabalho computacional envolvido na resolução de problemas de grandes dimensões.

64 Métodos de partições e avaliações sucessivas Um dos principais representantes deste tipo de método é o método de Branch and Bound que em uma tradução livre significa ramificação e limitação. O princípio do método está na partição (ramificação) sucessiva do espaço de soluções viáveis do problema relaxado em subconjuntos e na limitação (avaliação) do valor ótimo da função objetivo de modo a excluir os subconjuntos que não contenham a solução ótima.

65 Assim como no método dos Planos de Corte, este método parte do seguinte princípio: Se na solução ótima de um PLI relaxado as variáveis de decisão assumem valores inteiros, então essa solução é a solução ótima do PLI. Considerando uma abordagem bem simples do método, de acordo com Alves e Delgado (1997), ele pode ser executado seguindo-se os seguintes passos:

66 1) Obter uma solução inicial relaxada para o problema de PLI. 2) Se todas as variáveis de decisão encontradas na solução obtida no passo 1) forem inteiras, então temos uma solução ótima para o PLI. Caso contrário, divide o problema de PL em dois por meio de restrições adicionais que partem o conjunto S em dois. 3) Resolver problemas de PL sucessivamente estabelecendo limites para o valor ótimo da função objetivo, e, assim, eliminando diversos subconjuntos, até se alcançar a solução ótima do PLI.

67 Alves e Delgado (1997) apresentam um exemplo passo a passo da solução de um modelo de PLI empregando-se o método Branch and Bound. O modelo em questão é o seguinte: max Z = 2400x x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 e x 2 Z +

68 Obter a solução relaxada do PLI

69 A partir de agora sabe-se que o valor máximo da F.O. não pode exceder O próximo passo é fazer um partição no conjunto de soluções viáveis. Escolheu-se x 1, mas x 2 poderia ter sido escolhida. Grupo A Grupo B max Z = 2400x x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 3 x 1 e x 2 0 max Z = 2400x x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 4 x 1 e x 2 0

70

71 Considerações sobre a resposta encontrada: A solução ótima do subproblema A é inteira, e o valor da F.O. é de Assim, pode-se assumir que F está compreendido entre: F A solução do subproblema B não é inteira mas o valor de F é maior do que para o subproblema A. Assim, ela merece ser investigada. Neste caso, o subproblema B será ramificado (partido), dando origem aos subproblemas B 1 e B 2.

72 Grupo B 1 Grupo B 2 max Z = 2400x x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 4 x 2 2 x 1 e x 2 0 max Z = 2400x x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 4 x 2 1 x 1 e x 2 0

73

74 Considerações sobre a resposta encontrada: O subproblema B 1 não apresentou solução viável, sendo, portanto, excluído. O subproblema B 2, pelas mesmas razões já apresentadas, é objeto de partição, dando origem aos subproblemas B 21 e B 22.

75 Grupo B 21 Grupo B 22 max Z = 2400x x 2 sujeito a: max Z = 2400x x 2 sujeito a: x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 4 x 2 1 x 1 4 x 1 e x 2 0 x 1 = 4 x 1 + x 2 6 9x 1 + 5x 2 45 x 1 4 x 2 1 x 1 5 x 1 e x 2 0 x 1 5

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77 FIM DO CAPITULO IV

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