método de solução aproximada

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1 método de solução aproximada Definir - Representação - Objectivo - Função de avaliação 73 Representação do problema - Definição das variáveis de decisão do modelo escolhido para o problema real. Importante fazer a formulação matemática do problema. Ajuda a conhecer o problema. - A representação é o objecto escolhido (mais adequado) para a apresentação das soluções no algoritmo. - O algoritmo usa a codificação da solução objecto para manipular as soluções candidatas a alternativas. - A representação é específica do problema e do algoritmo. Um problema pode ter diferentes formas de representação da solução. Cabe ao investigador escolher a representação mais adequada atendendo ao par (problema/algoritmo). - A representação escolhida irá determinar o espaço de pesquisa e a sua dimensão. O espaço de pesquisa não é definido pelo problema, mas pela representação escolhida. - Uma representação menos adequada pode originar um domínio extenso, com muitas representações que são soluções não admissíveis ou duplicadas. 74

2 Representação do problema Uma boa representação deve ser: - Um para um - relação biunívoca - Exaustiva do espaço de soluções do problema. - Incluir a solução óptima. Ex. Espaço de pesquisa do JS, com representação ordinal do problema (lista circular) j m (j ) (j!) m SA A * NA j m (j ) cromossomas (j!) m selecções SA planos semi activos A planos activos NA planos não atrasados * solução óptima 75 Representação do problema Outros exemplos: SAT temos n variáveis lógicas. Uma representação pode ser string binária de comprimento n. Cada elemento da string corresponde uma variável do problema. O espaço de pesquisa resultante é de dimensão 2 n. TSP temos n cidades. Uma solução pode ser representada por uma permutação dos índices das soluções que representa um circuito hamiltoniano. O espaço de pesquisa resultante é de dimensão n! ( ) Se o problema for simétrico então a dimensão é n 1! 2 6 fósforos em cima da mesa para criar 4 triângulos equiláteros Se começar a pesquisar no espaço errado, nunca encontra a resposta certa! 76

3 O objectivo: Descreve o propósito da execução. Uma vez definido o espaço de pesquisa devemos saber o que queremos encontrar? Tipos de objectivos do problema: - Uma função maximmização / minimização - Uma expressão. 77 Função de aptidão / avaliação: Nem sempre a (informação) função objectivo é a melhor forma de conduzir a pesquisa. SAT Todas as soluções são False e a solução óptima é True. O que é uma solução vizinha melhor? Contar número de disjunções False É um mapa do espaço de pesquisa definido. Cada solução candidata tem atribuído um valor, que serve para classificar a qualidade da solução. Pode ser uma classificação ordinal (ranking) ou numérica, que dá um conhecimento do grau da qualidade. Qual a melhor função de avaliação? - deve identificar uma solução que cumpre o objectivo - não deve considerar melhor uma solução que não cumpre o objectivo do que uma solução que cumpre o objectivo. JS e TSP: a função de avaliação pode ser a função objectivo? Esquema dinâmico? 78

4 Espaço de pesquisa e Vizinhanças: j m (j ) (j!) m SA A * NA j m (j ) cromossomas (j!) m selecções SA planos semi activos A planos activos NA planos não atrasados * solução óptima Soluções admissíveis soluções impossíveis 79 Do Modelo à Solução Como definir uma correcta vizinhança? Fixa? Variável? Passar de Solução Válida para outra Solução Válida 80

5 Estruturas de Vizinhanças Espaços de pequenos soluções válidos pequenos Difícil definir uma estrutura de soluções que inclua soluções impossíveis e um mecanismo que garante a admissibilidade da final solução. TSP: 2-swap: troca 2 cidades adjacentes num circuito hamiltoniano 2-permutação: troca dois arcos não adjacentes de um circuito hamiltoniano. bin packing. O espaço de soluções pode ser definido como o conjunto de soluções admissíveis ou o conjunto de todas as soluções. Falkenauer (1994) e Reeves (1996) adoptaram o modelo soluções admissíveis e Kämpke (1988) adoptou o modelo todas as soluções. 81 Eficácia Complexidade Pesquisa Local Meta-heurísticas Construtivos Eficiência Simplicidade 82

6 métodos construtivos geram a solução partindo do nada (de uma solução parcial inicial vazia) adicionam componentes até a solução ficar completa tipicamente são os métodos de aproximação mais rápidos. 83 métodos construtivos 84

7 métodos construtivos métodos especificamente concebidos para cada problema a adição de componentes (solução parcial) deve respeitar as restrições do problema obtenção de uma solução válida métodos construtivos famosos algoritmo de Kruskal encontra a solução óptima do problema ASCM (problema fácil) algoritmo do vizinho mais próximo TSP regras de despacho (scheduling) SPT, EDD wi/pi Prob. Mochila 85 métodos de pesquisa local partem de uma solução inicial completa iterativamente tentam substituir a solução corrente por uma solução melhor que exista numa vizinhança da solução corrente 86

8 Pesquisa Local Método iterativo Procedimento muito simples de melhoria da solução Método rápido com soluções de boa qualidade Tem um grande número de variantes e extensões Processo nuclear de métodos heurísticos mais elaborados 87 Pesquisa Local Começa da posição inicial (solução inicial) inicia-se num dado ponto do espaço de pesquisa 88

9 Pesquisa Local Começa da posição inicial (solução inicial) inicia-se num dado ponto do espaço de pesquisa Iterativamente move-se da posição corrente para uma posição vizinha uma solução na vizinhança com melhor valor Usa uma função de avaliação (objectivo) para condução dos movimentos Óptimo Local 89 Pesquisa Local trajectória de uma única solução garantia da obtenção de um óptimo local desempenho fortemente dependente do ponto de partida - Múltiplos? variantes do método de pesquisa local principal diferença é o processo da escolha da solução na vizinhança 90

10 Vizinhanças vizinhança depende do problema em estudo definir funções de vizinhança eficientes (soluções de boa qualidade) pode ser visto como um dos maiores desafios da pesquisa local não há regras gerais - para cada situação tem de ser efectuado um estudo independente para o mesmo problema estão disponíveis diferentes esquemas de vizinhança Ver TSP.ppt e TSP.xls 91 Vizinhanças modelo de simples troca o um dos modelos mais utilizado em problemas de Optimização Combinatória o problema representados por uma sequência ou partições o modelo genérico k-exchenge as soluções vizinhas são obtidas por troca de k elementos de uma dada sequência ou partição. o Problema da ordenação; o Problema da partição uniforme de um grafo o Problema do Caixeiro-Viajante o... 92

11 Algoritmos Pesquisa Local 93 Algoritmos Pesquisa Local 94

12 Algoritmos Pesquisa Local 95 Algoritmos Pesquisa Local 96

13 Algoritmos Pesquisa Local Hill-climbing é a Pesquisa Local associada a um problema de maximização Descent é a Pesquisa Local associada a um problema de minimização 97 Algoritmos Pesquisa Local Estratégias Primeira melhoria Melhor melhoria 98

14 Exemplos Pesquisa Local Melhoria Iterativa para o SAT Inicialização: aleatoriamente escolhida, uma completa afectação de valores lógicos; Vizinhança: afectações das variáveis são vizinhas se elas deferirem no valor lógico de uma variável Função de avaliação: número de cláusulas insatisfeitas numa dada afectação 99 Exemplos Pesquisa Local Melhoria Iterativa para o TSP Solução inicial é um circuito completo Vizinhança k-opt: soluções que diferem no máximo em k arcos Dimensão da vizinhança: O(nk) Vizinhanças mais complexas: pesquisa de profundidade variável 100

15 Pontos fracos Pesquisa Local Normalmente terminam em soluções óptimos locais A solução (óptima) obtida é função da solução inicial Geralmente não é possível estabelecer um limite superior relativamente ao tempo de computação (depende do ponto inicial) Pontos fortes Método muito fácil de aplicar Representação do problema + Função de avaliação + definição da vizinhança 101 Escapar de óptimos locais Na maioria dos problemas reais a função de avaliação define uma superfície que descreve a topografia do espaço de procura com muitas colinas e vales. Encontrar o melhor cume ou o vale mais baixo é como tentar caminhar na montanha na escuridão só com uma pequena lanterna. 102

16 Componentes do método de pesquisa As técnicas eficazes de pesquisa estão munidas de um mecanismo que promove o balanço entre dois objectivos (aparentemente) conflituosos o Exploitation / intensification: (pesquisa na zona) consolidação da pesquisa em zonas alvo do espaço de soluções resultado da experiência acumulada da procura obtenção do óptimo local de uma zona; o Exploration / diversification: (pesquisa em novas zonas) cobrir o mais possível o espaço de soluções de modo a encontrar melhores soluções para o problema - cobertura do espaço de pesquisa. A Pesquisa Local (Hill-climbing) consolida a pesquisa na zona, mas negligencia a pesquisa de uma grande parte do espaço de pesquisa. (uma trajectória) A Pesquisa Aleatória (random search) explora o espaço de pesquisa esquecendo a consolidação da pesquisa em zonas promissoras. (dar uma volta sem ver detalhes) 103 Escapar de óptimos locais Cada espaço de pesquisa é diferente o Mesmo espaços idênticos podem revelar-se muito distintos sob diferentes representações e funções de avaliação Como escapar aos óptimos locais? Como balancear a Exploration e a Exploitation de forma a tornar o resultado do método independente da solução de partida? o As opções são dependentes do problema em análise o Técnicas meta-heurísticas o Utilizar grande número de configurações iniciais. Alterar o modelo de vizinhança Alterar a função de avaliação 104