Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana

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1 problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana Ana Maria A.C. Rocha Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho arocha@dps.uminho.pt Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 1/25

2 Índice Conteúdo Índice Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 2/25

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5 Índice Conteúdo Índice Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 2/25

6 Índice Conteúdo Índice Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 2/25

7 Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 3/25

8 Motivação Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Alguns optimização linear originários de aplicações do mundo real têm: um grande número de variáveis e/ou um grande número de restrições dificilmente podem ser resolvidos por métodos do tipo simplex de uma forma eficiente Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 4/25

9 Motivação Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Alguns optimização linear originários de aplicações do mundo real têm: um grande número de variáveis e/ou um grande número de restrições Exemplos: dificilmente podem ser resolvidos por métodos do tipo simplex de uma forma eficiente Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 4/25

10 Motivação Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Alguns optimização linear originários de aplicações do mundo real têm: um grande número de variáveis e/ou um grande número de restrições Exemplos: dificilmente podem ser resolvidos por métodos do tipo simplex de uma forma eficiente - cobertura, e empacotamento Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 4/25

11 Motivação Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Alguns optimização linear originários de aplicações do mundo real têm: um grande número de variáveis e/ou um grande número de restrições Exemplos: dificilmente podem ser resolvidos por métodos do tipo simplex de uma forma eficiente - cobertura, e empacotamento - Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 4/25

12 Motivação Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Alguns optimização linear originários de aplicações do mundo real têm: um grande número de variáveis e/ou um grande número de restrições Exemplos: dificilmente podem ser resolvidos por métodos do tipo simplex de uma forma eficiente - cobertura, e empacotamento - - Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 4/25

13 Relaxação Lagrangeana Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... min cx s.a Ax b, 0 x 1, (1) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 5/25

14 Relaxação Lagrangeana Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... min cx s.a Ax b, 0 x 1, Usando a relaxação Lagrangeana nas restrições de desigualdade, um limite inferior de (1) é dado por { min cx π (Ax b) z (π) s.a 0 x 1 para um vector dual de multiplicadores π 0. (1) (2) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 5/25

15 Relaxação Lagrangeana Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... min cx s.a Ax b, 0 x 1, Usando a relaxação Lagrangeana nas restrições de desigualdade, um limite inferior de (1) é dado por { min cx π (Ax b) z (π) s.a 0 x 1 para um vector dual de multiplicadores π 0. O problema dual de (1) é definido por max z (π) s.a π 0. (1) (2) (3) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 5/25

16 Relaxação Lagrangeana Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... min cx s.a Ax b, 0 x 1, Usando a relaxação Lagrangeana nas restrições de desigualdade, um limite inferior de (1) é dado por { min cx π (Ax b) z (π) s.a 0 x 1 para um vector dual de multiplicadores π 0. O problema dual de (1) é definido por max z (π) s.a π 0. O algoritmo do subgradiente resolve o problema dual. (1) (2) (3) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 5/25

17 Algoritmo do Subgradiente Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Desde os inícios dos anos 70 que o algoritmo do subgradiente é usado para produzir limites inferiores de programas lineares de grande dimensão. Existem muitas experiências feitas com este algoritmo produzindo muito boas aproximações à solução dual. Vantagens é um método simples de implementar; necessita de pouca memória de armazenamento; funciona bem, fornecendo boas aproximações à solução em dezenas ou centenas de iterações. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 6/25

18 Algoritmo do Subgradiente Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Porquê resolver o problema dual em vez do primal? 1. o cálculo de z(π) pode ser mais simples, em termos computacionais, do que resolver o problema primal; 2. o problema dual é um problema côncavo de maximização que implica que todo o seu máximo local também é máximo global; 3. os limites superiores para o valor óptimo do problema primal encontrados na resolução do problema dual podem ser úteis na resolução de, por exemplo, um problema de optimização combinatória subjacente ao primal. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 6/25

19 Algoritmo do Subgradiente Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Desvantagens não tem um critério de paragem bem definido; baseia-se no limite máximo do número de iterações ou no limite do número de passos em que não se verifique melhoria na aproximação; tem um comportamento de ziguezague tornando a procura do óptimo mais lenta; que se deve ao facto de o algoritmo não ser de subida não preservar em memória os subgradientes anteriores; não produz soluções para as variáveis primais, o que leva à aplicação de um procedimento diferente para a sua computação. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 6/25

20 Algoritmo volumétrico Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... O Algoritmo Volumétrico (AV) é uma extensão do método do subgradiente que foi desenvolvido para produzir simultaneamente - limites inferiores - soluções duais admissíveis - boas aproximações às soluções primais. O algoritmo volumétrico além de ser muito rápido a produzir boas aproximações à solução primal requer também pouca memória de armazenamento. Pertence ao projecto COIN-OR (do inglês, Common Optimization Interface for Operations Research). Disponível em Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 7/25

21 Algoritmo volumétrico Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Vantagens tem um critério de paragem bem definido, baseado no limite máximo do número de iterações ou na violação máxima das restrições ser inferior a uma pequena quantidade positiva ( 0) e a diferença relativa entre o limite inferior e a aproximação primal ser inferior a uma pequena quantidade ( 0); não tem um comportamento de ziguezague porque se garante que o algoritmo é de subida os subgradientes são calculados como combinação linear dos subgradientes anteriores; produz aproximações às soluções primais como combinação linear das soluções anteriores. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 7/25

22 Algoritmo volumétrico Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com... Entrada: π 0 Inicialização: Obter y 0 uma solução óptima em z(π 0 ) e definir v 0 = b Ay 0 z(π 0 ). Iniciar π 1 = π 0, x 1 = y 0, w 1 = v 0, j = 1 e k = 1. Iteração Genérica j: Passo 1: Para algum comprimento do passo s j > 0, definir π j = [ π k + s j w j ] +. Passo 2: Obter y j uma solução óptima em z(π j ) e definir v j = b Ay j z(π j ). Passo 3: Para algum α j [0, 1], definir x j+1 = α j y j + (1 α j ) x j w j+1 = α j v j + (1 α j ) w j. Passo 4: Se z(π j ) > z( π k ) então definir π k+1 = π j e fazer k k + 1. Passo 5: Testar critério de paragem. Fazer j j + 1 e voltar ao Passo 1. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 7/25

23 Combinar o Algoritmo volumétrico com... Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com outras técnicas de optimização na resolução de problemas lineares difíceis: o método de penalidade exponencial para resolver Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 8/25

24 Combinar o Algoritmo volumétrico com... Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com outras técnicas de optimização na resolução de problemas lineares difíceis: o método de penalidade exponencial para resolver métodos do tipo simplex para resolver o Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 8/25

25 Combinar o Algoritmo volumétrico com... Motivação Relaxação Lagrangeana Algoritmo do Subgradiente Algoritmo volumétrico Combinar o Algoritmo volumétrico com outras técnicas de optimização na resolução de problemas lineares difíceis: o método de penalidade exponencial para resolver métodos do tipo simplex para resolver o métodos do tipo simplex para resolver o Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 8/25

26 Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 9/25

27 Problema de Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial Seja S um conjunto finito de m elementos, e S 1, S 2,..., S n, uma colecção de subconjuntos de S. Uma do conjunto S é uma colecção desses subconjuntos, S i1, S i2,..., S ik, identificados pelos índices i 1, i 2,..., i k, tal que: k j=1 S i j = S S ij S ik = j, k O problema de consiste em seleccionar a de menor custo. A formulação matemática de um problema de é dada por min s.a n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = 1, i = 1,..., m x j {0, 1}, j = 1,..., n. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 10/25

28 Problema de Exemplo: Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial Uma empresa imobiliária pretende vender 3 apartamentos, identificados por A, B e C. Para o efeito, abriu um concurso em que aceitava propostas para um apartamento ou para um conjunto de apartamentos. As 9 propostas recebidas, numeradas por ordem de chegada, são as seguintes: Proposta Ap. A Ap. B Ap. C A proposta 2, por exemplo, significa que foram oferecidas 9 U.M. pelos apartamentos A e B, em conjunto. Trata-se de um problema de determinar a de maior peso. A solução óptima consiste em aceitar as propostas 2 e 9, com um valor de 13 U.M.. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 10/25

29 Problema de Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial Aplicações: Problemas de escalonamento ex: calendarização de rotas de aviões Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 10/25

30 Método de penalidade exponencial Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial A técnica de resolução de problemas através do uso de funções de penalidade tem sido muito utilizada ao longo dos tempos. A ideia dos métodos de penalidade é aproximar um problema de minimização com restrições por um problema que é considerado "fácil" de resolver. A estratégia normalmente usada baseia-se na conversão de um problema com restrições numa sucessão de subproblemas sem restrições através do uso de uma função de penalidade. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 11/25

31 Método de penalidade exponencial Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial Resolver problema com restrições Solução Resolver subproblema sem restrições subproblema sem restrições subproblema sem restrições... Solução Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 11/25

32 Função de penalidade exponencial Para o problema de minimização com restrições definido por Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial min f (x) s.a g i (x) 0, i = 1,... m. (4) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 12/25

33 Função de penalidade exponencial Para o problema de minimização com restrições definido por Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial min f (x) s.a g i (x) 0, i = 1,... m. Vamos transformar o problema com restrições (4) num problema sem restrições com a ajuda da função de penalidade exponencial ψ (t) = (e t 1). (4) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 12/25

34 Função de penalidade exponencial Para o problema de minimização com restrições definido por Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial min f (x) s.a g i (x) 0, i = 1,... m. Vamos transformar o problema com restrições (4) num problema sem restrições com a ajuda da função de penalidade exponencial ψ (t) = (e t 1). O método dos multiplicadores consiste numa sucessão de minimizações sem restrições { } m x k πi k arg min f (x) + (e µk i gi(x) 1) x R n i=1 µ k i (4) (5) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 12/25

35 Função de penalidade exponencial Para o problema de minimização com restrições definido por Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial min f (x) s.a g i (x) 0, i = 1,... m. Vamos transformar o problema com restrições (4) num problema sem restrições com a ajuda da função de penalidade exponencial ψ (t) = (e t 1). O método dos multiplicadores consiste numa sucessão de minimizações sem restrições { } m x k πi k arg min f (x) + (e µk i gi(x) 1) x R n i=1 com π i - multiplicador associado à restrição i µ i - parâmetro de penalidade associado à restrição i µ k i (4) (5) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 12/25

36 Estratégia para o Resolver através de: Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial método de penalidade exponencial + algoritmo volumétrico Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX algoritmo volumétrico original Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 13/25

37 Estratégia para o Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial ID PROBLEMA Núm. Núm. Óptimo restrições variáveis Frácc. Sp Problema CPLEX (seg.) AV (seg.) Sp Problema MPE+AV (seg.) Sp Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 13/25

38 Estratégia para o Resolver (inteiros) através de: Problema de Método de penalidade exponencial Função de penalidade exponencial método de penalidade exponencial + algoritmo volumétrico + heurísticas + CPLEX-MIP Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX-MIP Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 14/25

39 caixeiro viajante Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 15/25

40 Problema do Dado um conjunto de cidades e conhecidas as distâncias entre cada uma delas, pretende-se determinar o circuito de menor comprimento que passa por todas as cidades, exactamente uma vez, e que termina na cidade de onde partiu. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 16/25

41 Problema do A estrutura matemática do é um grafo em que cada cidade é um nó e as linhas que unem todos os nós são denominadas por arcos. Associada a cada linha está uma distância ou custo. Uma viagem, que passe por todas as cidades uma única vez, corresponde a qualquer subconjunto de linhas do grafo e é designado por circuito Hamiltoniano, na teoria de grafos. O comprimento de um circuito é a soma do comprimento das linhas que fazem parte da viagem Circuito óptimo Comprimento do circuito = Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 16/25

42 Problema do Problema simétrico Problema No caso do problema as distâncias entre duas cidades podem ser diferentes, consoante os trajectos são percorridos num ou noutro sentido Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 16/25

43 Problema do Aplicações: Determinação de percursos óptimos em transporte de pessoas ou mercadorias ex: autocarro de escola Subproblema de distribuição e planeamento de rotas de veículos ex: determinar, para um dado conjunto de veículos, qual o percurso que cada veículo deve efectuar, de modo a, no seu conjunto, servir todos os clientes Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 16/25

44 Problema do Em termos matemáticos min c ij x ij s.a (i,j) A (i,j) δ + (i) (i,j) δ (j) x ij = 1 (i V ) x ij = 1 (j V ) eliminação de subcircuitos x ij {0, 1} ((i, j) A) V = {1,..., n} representa o conjunto de vértices A = {(i, j) : i, j V ; i j} o conjunto de arcos δ (j) denota o conjunto dos arcos que convergem para o vértice j δ + (i) denota o conjunto dos arcos que divergem do vértice i Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 17/25

45 Problema do As restrições de eliminação de subcircuitos podem ser modeladas de várias formas: usando desigualdades que envolvem apenas as variáveis x ij ou formulação natural variáveis adicionais que podem ou não estar associadas aos arcos formulação estendida Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 17/25

46 Problema do Formulação das restrições de eliminação de subcircuitos A representação mais conhecida (DFJ) das restrições de eliminação de subcircuitos, que é uma formulação natural, é x ij S 1 (S V \ {1}). (i,j) A(S) A formulação (estendida) de fluxo desagregado (Claus) que usa o conceito de redes de fluxos é dada por y1j k yj1 k = 1 (k V \ {1}) (1,j) δ + (1) (k,j) δ + (k) (i,j) δ + (i) y k kj y k ij (j,1) δ (1) (j,k) δ (k) (j,i) δ (i) y k jk = 1 (k V \ {1}) y k ji = 0 (k V \ {1}, i V \ {1, k}) 0 y k ij x ij ((i, j) A, k V \ {1}) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 17/25

47 Problema do Em notação matricial, o PCVA é definido por min cx em que: s.a Dx = 1l By k = b k (k V 1 ) x y k 0 (k V 1 ) (x, y) inteiros D é a matriz de incidência nó-aresta do grafo bipartido não orientado G = (V V, A) e 1l é um vector coluna de tudo uns; B é a matriz de incidência nó-arco do grafo não orientado G e para cada k V 1 V \ {1}, b k é um vector coluna de tudo zeros excepto para b k 1 = 1 e b k k = 1. (6) Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 17/25

48 Estratégia para o Resolver relaxação linear do através de: algoritmo volumétrico + CPLEX Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 18/25

49 Estratégia para o PROBLEMA PCVA Núm. Núm Núm. Óptimo vértices arcos variáveis Frácc. ftv CPLEX (dualopt) Núm. Tempo Iterações (seg.) VOLUMÉTRICO CPLEX Núm. L Violação Tempo Núm. Tempo It. (dual) Máx. (seg.) It. (seg.) Tempo Total Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 18/25

50 Estratégia para o ft70 ft53 ry48p p43 ftv70 ftv64 ftv55 ftv47 ftv44 ftv38 ftv35 ftv33 br17 AV+CPLEX CPLEX Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 18/25

51 Estratégia para o Resolver (inteiro) através de: algoritmo volumétrico + heurísticas + CPLEX-MIP Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX-MIP Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 19/25

52 Estratégia para o PROBLEMA PCVA Núm. Núm Núm. Óptimo vértices arcos var. Inteiro ftv CPLEX-MIP Núm. Tempo Iterações (seg.) VOLUMÉTRICO HEURÍSTICA CPLEX-MIP Núm. Tempo Redução Núm. Tempo It. (seg.) var. It. (seg.) Tempo Total Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 19/25

53 Estratégia para o AVH+CPLEXMIP CPLEXMIP ftv38 ftv35 ftv33 br17 Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 19/25

54 reparador viajante Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 20/25

55 Problema do Dado um conjunto de cidades e conhecidas as distâncias entre cada uma delas, pretende-se determinar o circuito que minimiza a soma acumulada das distâncias (ao longo do circuito) que passa por todas as cidades, exactamente uma vez, e que termina na cidade de onde partiu. A estrutura matemática do é semelhante à do. Neste caso, o comprimento de um circuito é o total da soma dos acumulados das linhas até cada nó que faz parte da viagem. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 21/25

56 Problema do Suponhamos que temos um grafo com n nós. Em cada nó existe uma máquina para ser reparada, e existe apenas um reparador. Dado o tempo requerido pelo reparador para viajar entre nós, pretende-se encontrar um circuito que minimize o tempo total de espera para todas as máquinas Circuito óptimo Comprimento do circuito = 42 Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 21/25

57 Problema do O é também conhecido por distribuidor (delivery man problem) problema da latência mínima (minimum latency problem) com custos acumulados (traveling salesman problem with cumulative costs) Aplicações: Problemas de distribuição em que se pretende minimizar o tempo de espera de cada cliente ex: distribuição de pizzas Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 21/25

58 Problema do Formulação em notação matricial: min c 1 x + k V 1 c k y k s.a Dx = 1l By k = b k (k V 1 ) x y k 0 (k V 1 ) (x, y) inteiros Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 21/25

59 Estratégia para o Resolver relaxação linear do através de: algoritmo volumétrico + CPLEX Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 22/25

60 Estratégia para o PROBLEMA PRV Núm. Núm Núm Óptimo vértices arcos var. Frácc. ftv CPLEX (dualopt) Núm. Tempo Iterações (seg.) VOLUMÉTRICO CPLEX Núm. L Violação Tempo Núm. Tempo It. (dual) Máx. (seg.) It. (seg.) Tempo Total Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 22/25

61 Estratégia para o AV+CPLEX CPLEX ft70 ft53 ry48p ftv70 ftv64 ftv55 ftv47 ftv44 ftv38 ftv35 ftv33 Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 22/25

62 Estratégia para o Resolver (inteiro) através de: algoritmo volumétrico + heurísticas + CPLEX-MIP Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX-MIP Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 23/25

63 Estratégia para o Resolver (inteiro) através de: algoritmo volumétrico + Branch-and-Bound Comparar os resultados desta estratégia com: CPLEX-MIP Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 23/25

64 Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 24/25

65 O algoritmo volumétrico pode ajudar: { } aproximada na resolução de, exacta através do método de penalidade exponencial; na { identificação } de uma boa base inicial { para a resolução } aproximada PCVA de formulações do ; exacta PRV na obtenção de soluções óptimas, quando combinado com outras técnicas. Ana Maria Rocha Porto, 16 Fevereiro p. 25/25