Aula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo

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1 Aula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo /2 - PCC174/BCC464 Aula Prática - Laboratório COM30!1

2 Breve Revisão Modelagem Método gráfico O Algoritmo Simplex Forma padrão Soluções Básicas Método de Duas Fases Dualidade Análise de Sensibilidade!2/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

3 Modelagem

4 Como modelar PLs? O segredo é: praticar Lembre-se: apenas consideramos modelos com variáveis contínuas por enquanto! Dicas: Não se limite aos exemplos apresentados em aula. Os livros indicados na ementa da disciplina possuem exemplos e exercícios resolvidos.!4/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

5 Método Gráfico

6 Método Gráfico Pode ser utilizado para resolver problemas com até três variáveis. Muito útil para entender os principais conceitos envolvidos em Programação Linear (Inteira).!6/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

7 x x 1 +2x x 1 3x 2 3 x 1 2 x 1, x x 1!7/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

8 x , x 1 Variáveis: x 1 : qtde de soja x 2 : qtde de milho Restrições: Dinheiro (máx: 350) soja: 70 milho: 50 70x x 2 apple 350 Peso (máx: 400) soja: 50 milho: 80 50x x 2 apple 400 Disponibilidade soja: 4 x 1 apple 4 Lucro (Objetivo): Max. 300x x 2!8/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

9 Algoritmo Simplex

10 Formas canônica e padrão Forma Canônica Forma Padrão Primal Min z = cx sujeito a: Ax b x 0 Min z = cx sujeito a: Ax = b x 0 Dual Max w = ub sujeito a: ua c u 0 Max w = ub sujeito a: ua c u R!10/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

11 Algoritmo Simplex - Implementações Garantias No pior caso, o algoritmo tem complexidade exponencial Na prática, os problemas são resolvidos rapidamente entre 2m e 3m iterações Programas Lineares com milhares ou milhões de variáveis são rotineiramente resolvidos utilizando-se o algoritmo Simplex com computadores modernos. Overton, M.L. 1997!11/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

12 Algoritmo Simplex - Visão Geral Lucro $1900 $1400 O algoritmo inicia em algum vértice factível; ex.: (0,0) A cada iteração, são pesquisados vértices vizinhos e o mesmo se move para o que oferecer melhora (método de subida - Hill Climbing); $200 Sem vizinhos de melhora? Solução é ótima!!12/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

13 Algoritmo Simplex - Visão Geral x 2 Ótimo Maximize x 1 +6x 2 +13x 3 Sujeito a x 1 apple 200 x 2 apple 300 x 1 + x 2 + x 3 apple 400 x 2 + 3x 3 apple 600 x 1, x 2, x 3 0 x 1 x 3!13/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

14 O Algoritmo Simplex Passo 1 Converta o PL para a Forma Padrão. Passo 2 Obtenha uma Solução Básica Factível (se possível) da Forma Padrão. Passo 3 Teste de Otimalidade: Determine se a Solução Básica é Ótima. Se Ótima PARE. Passo 4 Caso não seja ótima - Mudança de Base: determine: qual variável não básica irá entrar na base, com o intuito de melhorar a função objetivo; qual variável básica irá sair da base. Passo 5 Utilize as operações elementares para computar a Nova Solução Básica e volte para o Passo 3.!14/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

15 O Algoritmo Simplex Dica: / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

16 Dualidade

17 Formas canônica e padrão Forma Canônica Forma Padrão Primal Min z = cx sujeito a: Ax b x 0 Min z = cx sujeito a: Ax = b x 0 Dual Max w = ub sujeito a: ua c u 0 Max w = ub sujeito a: ua c u R!17/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

18 Dualidade O dual de um problema de maximização é um problema de minimização. As m restrições primais estão em correspondência com as m variáveis duais. As n restrições duais estão em correspondência com as n variáveis primais. O coeficiente de cada variável na FO, primal ou dual, aparece no outro problema como lado direito da restrição correspondente. A matriz de coeficientes do primal é transposta no dual.!18/ / Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 05: Dualidade

19 Dualidade Em um problema de minimização. f(x) (valor do primal) x* = u* f D (x) (valor do dual)!19/ / Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 05: Dualidade

20 Dualidade Relações entre o primal e o dual: Ótimo Ilimitado Inviável Ótimo Possível Nunca Nunca Ilimitado Nunca Nunca Possível Inviável Nunca Possível Possível!20/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

21 Transformação Primal x Dual Restrição = qq. Variável MIN MAX Variável qq. = Restrição!21/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

22 Análise de Sensibilidade

23 Custo Reduzido O custo reduzido de uma variável é o custo (coeficiente) dela na linha da função objetivo no tableau do Simplex 0: 5x x x 6 = 280 z = 280 1: 2x 2 + x 4 + 2x 5 8x 6 = 24 x 4 = 24 2: 2x 2 + x 3 + 2x 5 4x 6 = 8 x 3 = 8 3: x 1 + 1, 25x 2 + 0, 5x 5 + 1, 5x 6 = 4 x 1 = 4 4: x 2 + x 7 = 5 x 7 = 5 O custo reduzido é também o shadow price das restrições de não-negatividade!23/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

24 Variáveis de Folga As variáveis de folga indicam restrições ativas e inativas 0: 5x x x 6 = 280 z = 280 1: 2x 2 + x 4 + 2x 5 8x 6 = 24 x 4 = 24 2: 2x 2 + x 3 + 2x 5 4x 6 = 8 x 3 = 8 3: x 1 + 1, 25x 2 + 0, 5x 5 + 1, 5x 6 = 4 x 1 = 4 4: x 2 + x 7 = 5 x 7 = 5 As restrições ativas (com variáveis de folga iguais a zero) são as únicas limitando o lucro.!24/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

25 Shadow Price Também conhecido como custo dual O shadow price de uma restrição é o valor que a variável dual referente à restrição assume. Indica o ganho na função objetivo por unidade aumentada no RHS da restrição. O ganho é válido dentro dos limites estabelecidos pelo RHS da restrição.!25/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

26 Allowable increase/decrease Indica o aumento/redução permitidos em coeficientes da função objetivo ou no RHS de uma restrição sem que a base deixe de ser ótima! O cálculo é feito tomando como base o custo reduzido (de variáveis primais e duais). Regra geral: Pequenas modificações nos dados geralmente não alteram o conjunto de variáveis básicas.!26/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão

27 Perguntas?!27/ / 127 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 09: Revisão