PEA 2522 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO. Otimização

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1 PEA MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO Otimização Definir claramente o problema a ser resolvido Estabelecer os limites físicos (capacidades, restrições) Definir o modelo matemático adequado PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

2 Técnicas para resolução de problemas de otimização métodos de otimização clássicos (programação matemática) modelos híbridos (métodos de otimização & heurísticos) técnicas da área de Inteligência Artificial PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

3 Métodos de Otimização Programação Matemática Programação Dinâmica Programação Linear Programação Inteira Programação Linear Inteira Mista Programação Não Linear Programação Quadrática Algoritmos de Transporte PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

4 Técnicas de I.A. em Sistemas de Potência sistemas especialistas: sistemas dedicados baseados em regras, com uma arquitetura composta por uma base de dados, uma base de conhecimento e um mecanismo de inferência. Utilização de conjuntos de regras (p. e. if-then-else ) redes neurais artificiais: baseiam-se na reprodução de alguns processos de funcionamento do cérebro humano. Seus elementos principais são os neurônios e suas interligações. Aprendizado por treinamento da rede. métodos de busca heurística: utilizados para direcionar o processo de busca em problemas combinatórios. Formam o núcleo da maior parte dos sistemas de I.A. PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

5 Técnicas de I.A. em Sistemas de Potência (cont.) algoritmos genéticos: baseiam-se nos princípios evolucionários de seleção natural. Os elementos do problema formam uma população, e são representados por cromossomos constituídos por genes. Analogias com mecanismos biológicos como cruzamento, mutação e sobrevivência dos mais aptos para gerar novas populações. recozimento simulado (simulatedannealing): estratégia de busca baseada em analogia entre a minimização de uma função objetivo e a obtenção de estado de mínima energia. Recozimento (annealing) é um processo metalúrgico pelo qual um material, a partir de sua temperatura de fusão (alto nível de energia), é lentamente resfriado até que seja obtida uma configuração cristalina estável. troca de ramos (branchechange): técnica específica para problemas nos quais somente configurações radiais são consideradas. A partir de uma configuração inicial, uma modificação elementar consiste na alteração simultânea de um ramo fechado e de um ramo aberto, respeitando a restrição de radialidade. PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

6 PROGRAMAÇÃO LINEAR (PL) PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (PL) Como alocar recursos limitados entre atividades (ou decisões) competidoras de maneira ótima Planejamento de atividades para a obtenção do resultado ótimo, ou seja, para se alcançar a melhor alternativa dentre todas as soluções viáveis Modelo matemático que descreve um determinado problema, em que todas as funções envolvidas são lineares PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

8 PROGRAMAÇÃO LINEAR (PL) PROBLEMAS DO TIPO MaZ c c... c n n função objetivo linear a n variáveis sujeita a restrições lineares: a a m a a m n n a a... a... a... a mn n n n b b b m m equações ou inequações lineares,,..., 0 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO m vetor de n variáveis reais e positivas

9 PROGRAMAÇÃO LINEAR (PL) Notação Matricial: ma z o c s. t. A ( ) b 0 função objetivo linear a n variáveis m restrições (equações ou inequações lineares) vetor de n variáveis reais e positivas PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

10 Eemplo X X Subestação Eistente D (demanda) Deseja-se alimentar a carga em () com demanda D, através da instalação de um alimentador (-) e ampliação da Subestação ou através da construção de uma nova Subestação em. Qual é a alternativa mais econômica? Sabe-se que os valores máimos de X e X são respectivamente XM e XM e que seus custos unitários ($/MVA) são C e C, respectivamente. PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

11 Formulação Matemática por PL min Zo C X C X s.a. 0 X XM 0 X XM X XM X X D X X D solução ótima 0 X XM 0 X XM Região Viável XM D X PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO z< z z< z z

12 Aplicações de Programação Linear Configuração ótima de alimentadores em sistemas de distribuição / transmissão Locação de Suporte Reativo Áreas de Influência de Subestações etc. PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

13 Métodos de Solução de Problemas de Programação Linear o Método Simple (Dantzig 96) o Métodos de Ponto Interior (Kharmarkar 98) o Algoritmos Genéticos PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

14 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO Método Simple Forma Canônica do Problema de PL: Forma Matricial: 0,...,, m m n mn m m n n n n n n b a a a b a a a b a a a a s c c c MaZ 0 b A c s.a. MaZ T

15 Definições para o Método Simple Solução Viável: qualquer conjunto de valores (,,..., n ) que satisfaçam todas as restrições, e i 0 Solução Ótima: é uma solução viável que maimiza a função objetivo Solução Básica: solução viável que corresponde a um vértice da região viável SIMPLEX: solução básica inicial soluções básicas melhores solução ótima PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

16 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO SIMPLEX REGIÃO VIÁVEL PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

17 Eemplo Z6 Z Ma s. a. Z 6 8 Z0 Z0 Região Viável PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

18 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO Método Simple: Passo : definir modelo equivalente, eliminando desigualdades. Para isto, são utilizadas variáveis residuais (ou de folga). E: 0,,,, com a s Z Ma,, : variáveis residuais (ou de folga)

19 Método Simple: Variáveis não básicas (n-m) Variáveis Básicas (m) Passo : determinar uma solução básica (fazendo-se n-m variáveis iguais a zero ou não básicas e as demais m variáveis positivas ou básicas) Selecionam-se as variáveis residuais como sendo as variáveis básicas iniciais, ou seja, inicia-se com solução básica na origem (... n-m 0). Para o eemplo anterior: (n, m) PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

20 Método Simple: Passo : obter outra solução básica (ou concluir que a solução atual é a ótima). Deve ser solução básica correspondente a vértice adjacente que aumente o valor de Z. É obtido trocando-se uma variável básica com uma não básica: Variável para entrar na base: análise na função objetivo daquela que aumenta mais rapidamente Z. No eemplo, se Z ; então é escolhida para entrar na base (>) Variável para sair da base: valor vai para zero; escolha compatível com a variável que vai entrar na base. No eemplo, deve entrar (maior aumento possível): (sem limite para ) 6 6 deve sair da base e PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

21 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO Método Simple: Passo : determinar os novos valores das outras variáveis básicas (no e. e ), utilizando manipulação algébrica (método de Gauss-Jordan) das equações (cada variável básica deve aparecer em uma única equação, e cada equação deve conter somente uma variável básica): 0) 8, 6,, 0, 0, ( Z Z 0) 6, 0,, 6, 0, ( Z Z Esta solução é ótima?

22 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO Método Simple: Análise da função Z0 - se entra na base e permanece fora da base, então Z pode aumentar entra e sai da base 6) 0, 0,, 6,, ( 6 6 Z Z 0) 6, 0,, 6, 0, ( Z Z Esta solução é ótima?

23 Método Simple: Análise da função Z6 - - qualquer acréscimo de ou irá reduzir Z Portanto a solução é a ótima, com Z6,, 6 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

24 Eemplo ilustrativo Um produtor independente dispõe de unidades de geração, que podem ser conectadas ao sistema elétrico em pontos distintos, para a venda do ecedente de energia elétrica que são capazes de produzir. Tanto os custos de produção quanto as tarifas negociadas para a venda de energia são distintos para os geradores. O produtor deseja vender o máimo possível de energia, seguindo entretanto seu plano de negócios, que não permite gastar acima de um valor préestabelecido para a produção de energia elétrica. PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

25 Dados do problema Gerador Gerador Capacidade de produção (MWh) Custo de produção (R$/MWh) 0 00 Tarifa de venda (R$/MWh) 90 0 Máimo custo de produção total (R$) PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

26 A formulação PL Ma Z 90 0 sujeita a : , PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

27 Interpretação Geométrica região viável PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

28 Solução do Problema Z Z Z X 000 X Z00000 região viável Z PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

29 Análise A partir das figuras anteriores, observa-se que a solução ótima para o produtor é utilizar a capacidade máima do gerador ( 000 MWh), que tem um custo de produção menor (0 R$/MWh) e uma margem de lucro na venda maior (Margem Tarifa de venda Custo de produção). A produção do gerador ( 00 MWh) é menor que sua capacidade máima (7000 MWh) devido à restrição de máimo custo de produção total (R$ ). PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

30 Análise O que ocorreria se o custo de produção do gerador passasse de 0 R$/MWh para 80 R$/MWh? PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

31 Nova solução Z Z 9.00 X 0 X 7000 região viável PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

32 Análise Neste caso, embora o custo de produção do gerador continue menor, a margem de lucro na venda da energia produzida pelo gerador torna-se melhor (margem do gerador igual a 0 R$/MWh e contra 0 R$/MWh do gerador ). Neste caso, a melhor alternativa para o produtor é utilizar a capacidade máima do gerador ( 7000 MWh), e complementar sua produção com o gerador ( 0 MWh) PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

33 Solução do problema utilizando o SIMPLEX Passo Definir modelo equivalente, eliminando as desigualdades com a utilização de variáveis residuais. Ma s. a. com Z 90 0, 00, 0,, PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

34 Passo Determinar uma solução básica inicial: Z Solução inicial 000 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

35 Passo Obter outra solução básica, ou concluir que a solução atual é a ótima. A nova solução deve ser uma outra solução básica correspondente a um vértice adjacente que aumente o valor da função Z. Esta solução é obtida trocando-se uma variável básica com uma não básica Analisando a função objetivo, a variável é escolhida para entrar na base, pois tem maior coeficiente (0 contra 90 de ). Para sair da base, é escolhida a variável, pois é a que mais limita o aumento da variável que vai entrar na base ( ), ou seja: sem limite para 7000 / / PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

36 Passo Determinar os novos valores das outras variáveis básicas ( e ), utilizando manipulação algébrica das equações (cada variável básica deve aparecer em uma única equação, e cada equação deve conter somente uma variável básica): PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

37 PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO 0) , 7000, 000, 0, ( Z Z 80000) 00000, 000, 7000, 0, ( Z Z

38 Passo Verificar se a solução é a ótima, verificando a equação correspondente à função objetivo a ser maimizada: Z Como o valor atual de é zero, se esta variável entrar na base (aumentar seu valor) a função objetivo terá seu valor aumentado. Repetindo-se os passos e, obtém-se nova solução ( entra na base e sai): : Z 60 0,0 0,0 0, ( 0, 7000, 000, 000, Z 00000) PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

39 Analisando novamente a função objetivo: Z , 0 verifica-se que deve entrar na base, e pelas equações das restrições, deve sair, resultando: Z 0 0, 0, 0,8 0,0 0, ( 0, 000, 00, 00, Z 0000) 00 Solução ótima PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO 000

40 Análise Z , 8 verifica-se que qualquer aumento de ou (valores atuais 0) irá reduzir o valor da função objetivo, e portanto conclui-se que a solução atual é a solução ótima, ou seja: Z PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

41 Ma s. a. Z 6 sai Método Simple - SIMPLEX TABLEAU 8 entra Coeficientes Variáveis Básicas Z L.D. (0) Z () () () sai entra Coeficientes Variáveis Básicas Z L.D. (0) Z () () () Eq(0) Eq(0) Eq() Eq() Eq() - Eq() PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

42 Método Simple - SIMPLEX TABLEAU Coeficientes Variáveis Básicas Z L.D. (0) Z () / -/ () () / / Solução Ótima Z 6 6 OTIMIZA PEA 8 - PLANEJAMENTO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO