OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECONÔMICO

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1 7 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO 7.1 ITRODUÇÃO este capítulo, o leitor encontrará informações básicas sobre procedimento geral de otimização e aplicação ao caso de despacho, considerado econômico, associado a unidades geradoras térmicas. Existem vários textos sobre otimização na literatura, cujo conteúdo foge do escopo tratado aqui. O despacho de unidades térmicas está diretamente associado ao ajuste das potências de operação dos geradores, dentro dos seus limites operacionais, de modo a atender uma carga. Inicialmente, será tratado o caso no qual as unidades suprem, no seu barramento, uma carga aí ligada. Em uma outra situação será considerado o caso em que a carga é suprida remotamente. este caso, a transferência de potência ocorre por meio de uma linha de transmissão. a primeira situação, portanto, não ocorre perda de transmissão. o entanto, no segundo caso, essas perdas existem e podem ser avaliadas mediante modelos simplificados. 7.2 O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO Seja o seguinte problema Min f(x) com x R n su jeito a g i (x) = 0, h j (x) 0, i = 1,2,..., g j = 1,2,..., h em que g é o número de restrições de igualdade e h o de restrições de desigualdade. Define-se a função Lagrangeana para esse problema como 99

2 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO L(x,λ,µ) = f(x) g λ i g i (x)+ h µ j h j (x) (7.1) j=1 onde λ i é um multiplicador de Lagrange e µ j é uma variável de folga. As condições de otimalidade no ponto de solução ótimo {x o, λ o, µ o } devem atender à condição de que o gradiente da Lagrangeana, L(x,λ,µ), no ponto ótimo, deve ser nulo. Assim todas as suas componentes são também nulas e calculadas da seguinte forma: 1. x i (x o,λ o, µ o ) = 0 i = 1,2,...,n 2. g i (x o ) = 0 i = 1,2,..., g 3. h j (x o ) 0 j = 1,2,..., h ; este caso µ o j = µ o j h j(x o ) = 0, µ j 0 j = 1,2,..., h. em que em uma notação vetorial, as variáveis são: x T = [x 1 x 2... x n ]; λ T = [λ 1 λ 2... λ g ]; e µ T = [µ 1 µ 2... µ h ].. A situação no item 4) é conhecida como condições complementares de folga. Elas devem ser utilizadas para se buscar uma solução do problema, sempre que o item 3) for violado. OBSERVAÇÕES IMPORTATES Inicialmente, o problema com restrição é resolvido considerando-se apenas as restrições de igualdade. Como procedimento seguinte, deve-se verificar se a suposta solução ótima calculada para o problema atende também às restrições de desigualdade, ou seja, satisfaz h j (x o ) 0. Se todas as restrições são atendidas, o ponto ótimo é x o. Mas, ao contrário, caso uma única restrição seja violada, tem que se usar as condições complementares de folga, verificando se é possível uma solução com µ j > 0 e h j (x o ) = 0 (restrição de desigualdade ativada). Caso restrições h k (x o ), k = k 1,k 2,...,k i sejam violadas, então é necessário resolver novamente o problema, agora com cada restrição violada, nessa nova etapa de resolução, inserida como uma restrição de igualdade h k (x) = 0. Mas, ao invés de lhe ser atribuída um multiplicador de Lagrange (como nas g restrições para g i (x) = 0), uma variável complementar de folga µ k, suposta positiva, é definida. Em seguida, resolve-se o problema, como no item 1) mencionado antes. Caso algum µ k resulte negativo, tornar essa variável nula, o que significa que a restrição deve voltar a ficar livre e resolver novamente o problema como no item 1).

3 7.2. O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO 101 O exemplo a seguir ilustrará o procedimento descrito. EXEMPLO Resolva o problema de otimização SOLUÇÃO Min 0,25x x2 2 su jeito a 5 x 1 x 2 = 0 x 1 + 0,2x Como no procedimento citado no item 1) anterior, resolve-se inicialmente o problema somente com a restrição de igualdade presente. Para esta situação, como há somente uma restrição de igualdade, existe também apenas um multiplicador de Lagrange, o qual definiremos como λ 1. Assim, a Lagrangeana do problema, considerando essa restrição de igualdade, é: 1): L(x,λ) = 0,25x x2 2 λ 1[5 x 1 x 2 ] Conforme item 1), as condições de otimalidade fornecem (note-se que n = 2 e g = x 1 = 0,5x 1 + λ 1 = 0 x 2 = 2x 2 + λ 1 = 0 λ 1 = 5 x 1 x 2 = 0 cuja solução é x o 1 = 4, xo 2 = 1, λ o 1 = 2. Ou seja, na forma vetorial, xo = [4 1] T com λ o 1 = 2. Vamos verificar se essa solução atende a restrição de desigualdade do problema? Então, fazendo tal procedimento, encontra-se: h(x o ) =[x 1 +0,2x 2 3] (x o 1 =4, x o 2 =1) = 4+0,2 1 3 = 1,2 > 0 = viola a desigualdade. Então a solução não pode ser considerada ótima. este caso, temos que fixar a restrição de desigualdade em seu limite, tornando-a uma restrição de igualdade (chamada

4 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO restrição ativa) e verificar se para esta condição existe uma variável de folga µ 1 > 0. Isto significa que para a situação quando µ 1 = 0, isto é, restrição livre, foi impossível atender a restrição de desigualdade. Tentemos, então o passo seguinte! Para este passo, a nova função Lagrangeana passa a ser: L(x,λ) = 0,25x x2 2 λ 1[5 x 1 x 2 ]+µ 1 [x 1 + 0,2x 2 3] As novas condições de otimalidade passam agora a ser: x 1 = 0,5x 1 + λ 1 + µ 1 = 0 x 2 = 2x 2 + λ 1 + 0,2µ 1 = 0 λ 1 = 5 x 1 x 2 = 0 µ 1 = x 1 + 0,2x 2 3 = 0 A solução do sistema anterior é x o 1 = 2,5, xo 2 = 2,5, λ o 1 = 5,9375 e µo 1 = 4,6875. o aplicativo Matlab, existem várias functions apropriadas para resolução do problema de otimização. Recomenda-se que o leitor procure uma função apropriada, acessando o comand help optim na área de trabalho do Matlab. Por exemplo, o problema discutido anteriormente foi resolvido também utilizandose a function quadprog do Matlab, cuja chamada foi feita através do procedimento mostrado na Figura 7.1 a seguir, com conteúdo contido no arquivo programa-quadprog.m. Executando-se a rotina programa-quadprog.m, encontra-se também o resultado x o = [2,5 2,5] T, como determinado manualmente. EXERCÍCIO PROPOSTO Determine o ponto ótimo que é solução do problema de otimização. Verifique a solução do problema utilizando o Matlab. Min x x2 2 5x 1x 2 su jeito a 5 x 1 x 2 = 0 1 x 1 + 0,2x x 2 1

5 7.3. DESPACHO ECOÔMICO DE UIDADES TÉRMICAS 103 Figura 7.1 Rotina exemplificando como efetuar programação no Matlab 7.3 DESPACHO ECOÔMICO DE UIDADES TÉRMICAS Utiliza-se o termo "despacho"de geradores para a ação de alocação de geradores em uma dada usina, para entrar em operação, como parte de um planejamento para atender um dado montante de carga do sistema elétrico. Uma unidade geradora somente pode ser despachada no modo binário. Ou seja, ela está em operação ou não. o entanto, é possível ajustar a sua potência de saída de modo a propiciar uma estratégia ótima de controle. A variação da potência neste caso ocorre no modo contínuo. A estratégia ótima é avaliada com base em uma dada função objetivo, no qual os elementos de controle podem ser combustível, perda ativa, água em um reservatório etc. É com base nestes argumentos que se introduz o chamado despacho econômico de unidades geradoras. Tendo em vista o menor rigor matemático com relação à formulação do problema, abordar-se-á, inicialmente, o caso de despacho de unidades térmicas ligadas em paralelo com a finalidade de atendimento de uma carga concentrada nos seus terminais.

6 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO Esse problema é também conhecido como um caso onde, obviamente, as perdas de transmissão não existem. Supõe-se que a carga seja concentrada no barramento no qual as unidades geradoras estão ligadas Despacho sem Perdas de Transmissão A Figura 7.2 ilustra o esquema de máquinas térmicas ligadas a um barramento, no qual encontra-se conectado uma carga P L, suposta constante. Cada gerador i fornece uma potência P i, i = 1,2,...,. Como trata-se de máquina térmica, a potência gerada por cada máquina é dependente da sua curva calor combustvel, definida por H i, cuja unidade é o BTU/h. Cada unidade tem a sua curva característica. Ao combustível, associa-se um dado preço para gerar determinada quantidade de BTUs. Figura 7.2 Máquinas térmicas ligadas a um barramento ao qual está conectado uma carga O custo de geração de cada unidade térmica, F i, em $/h, deve ser computado como os BTUs por hora vezes o custo custo i do combustível, dado em $/BTU. Ou seja, F i = H i custo i Vamos supor que as curvas características de calor-combustível de cada unidade seja uma função quadrática, que por sua vez é função apenas da potência da unidade.

7 7.3. DESPACHO ECOÔMICO DE UIDADES TÉRMICAS 105 Uma curva característica para a unidade i é do tipo: H i = a i + b i P i c ip 2 i onde as constantes a i, b i, c i são conhecidas; e a potência de saída da unidade é limitada à faixa de operação P mi P i P Mi. Pode-se apresentar o problema de otimização, tendo-se como alvo a minimização dos custos de combustível para gerar as potências, as quais visam atender à carga P L. Os geradores devem funcionar dentro dos seus limites operacionais. Assim, a formulação do problema de otimização pode ser apresentada da seguinte forma: Min P L + P mi P i P Mi, F i (P i ) su jeito a P i = 0 i = 1,2,..., este problema, tem-se apenas uma restrição de igualdade. Desta forma, apenas um único multiplicador de Lagrange λ será considerado. Então, para resolver o problema, procede-se inicialmente como se os limites operacionais de cada máquina fossem atendidos. É o equivalente a fazer todas as variáveis de folga µ i e µ Mi (variáveis associadas às desigualdades) iguais a zero. este caso, a Lagrangeana é: L(P,λ) = F 1 (P 1 )+F 2 (P 2 )+...+ F (P ) λ[ P L + As condições de otimalidade para esse problema são: P i ] (7.2) P i = F i P i λ = 0 λ = F i P i i = 1,2,..., (7.3) λ = P L + P i = 0 (7.4)

8 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO Se o conjunto solução desse problema {P o,λ o } for tal que as restrições operacionais de potência sejam atendidas, então esse conjunto é a solução do problema de otimização. Caso contrário, deve-se avaliar as restrições violadas, incorporando-as, bem como as respectivas variáveis de folga ao problema. Para fixar os conceitos discutidos anteriormente, considere o exemplo no qual se tem três unidades térmicas ( = 3). Cada uma suprida com um combustível diferente, conforme caracterizado a seguir. Unidade 1: a dísel, tendo H 1 = ,2P 1 + 0,00142P1 2 em MBTU/h, 150 P MW, com custo de 1,1 $/MBTU. Unidade 2: a óleo de mamona, tendo H 2 = ,85P 2 + 0,00194P 2 2 em MBTU/h, 100 P MW, com custo de 1,0 $/MBTU. Unidade 3: a gás, tendo H 3 = ,97P 3 + 0,00482P3 2 em MBTU/h, 50 P MW, com custo de 1,0 $/MBTU. Determine o ponto de operação econômico para essas unidades, visando atender uma carga de 850 MW conectada ao barramento onde estão as unidades geradoras. Inicialmente, vamos calcular as curvas de custo de cada unidade. Ou seja: F 1 (P 1 ) = H 1 1,1 = 561+7,92P 1 + 0,001562P 2 1 F 2 (P 2 ) = H 2 1,0 = 310+7,85P 2 + 0,00194P 2 2 F 3 (P 3 ) = H 3 1,0 = 78+7,97P 3 + 0,00482P 2 3 $/h $/h $/h A aplicação das condições de otimalidade já apresentadas, conduzem às seguintes equações: P 1 = 7,92+0,00312P 1 λ = 0 P 2 = 7,85+0,00388P 2 λ = 0 P 3 = 7,97+0,00964P 3 λ = 0 λ = P 1 + P 2 + P = 0 A solução desse sistema de quatro equações fornece P o 1 = 393,2 MW, Po 2 = 334,4 MW, P o 3 = 122,2 MW e λ o = 9,148 $/MWh. A variável λ neste tipo de problema é definida como custo incremental. O custo incremental ótimo ocorre quando todas as

9 7.3. DESPACHO ECOÔMICO DE UIDADES TÉRMICAS 107 unidades apresentam o mesmo valor. Considera-se neste caso que todas as unidades estejam operando dentro dos seus limites operacionais. este exemplo em particular, observa-se que todas as potências dos geradores estão dentro dos limites operacionais. Portanto, tais resultados correspondem ao despacho econômico das unidades geradoras e, consequentemente, ao ponto ótimo de funcionamento. Considere agora a situação na qual o custo do combustível da unidade 1 fica mais barato e baixa para 0,9 $/MBTU. Vamos calcular as novas potências dos geradores e avaliar os custos envolvidos. este caso, somente a função custo da unidade 1 é alterada, ficando agora: F 1 (P 1 ) = H 1 0,9 = 459+6,48P 1 + 0,00128P 2 1 $/h Procedendo-se da mesma forma como no caso anterior, abrindo os limites das unidades, determina-se que P o 1 = 704,6 MW, Po 2 = 111,8 MW, Po 3 = 32,6 MW e λ o = 8,284 $/MWh. Para essa situação, o limite superior e o inferior das unidades 1 e 3, respectivamente, são violados. Então, os cálculos devem ser refeitos, considerando as variáveis de folga associadas às restrições violadas: P e P Logo, a Lagrangeana associada ao problema é: L(P,λ) = F 1 (P 1 )+F 2 (P 2 )+F 3 (P 3 ) λ[ Para esta Lagrangeana as equações resultantes são: P 1 = 6,48+0,00256P 1 λ + µ M1 = 0 P 2 = 7,85+0,00388P 2 λ = 0 P 3 = 7,97+0,00964P 3 λ µ m3 = 0 λ = P 1 + P 2 + P = 0 µ M1 = P = 0 µ m3 = P = 0 P i ]+µ M1 [P 1 600]+µ m3 [ P ]

10 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO A solução desse sistema de seis equações é: P o 1 = 600 MW, Po 2 = 200 MW, Po 3 = 50 MW, λ o = 8,626 $/MWh, µ M1 = 0,61 $/MWh e µ m3 = 0,174 $/MWh. Observa-se que a variável de folga µ 3 < 0. ão atendendo, portanto, a condição para otimização. Logo, vamos fazer µ m3 = 0 e voltar a liberar a restrição P , pois a respectiva variável de folga não pode ser negativa. A Lagrangeana para o problema passa a ser: L(P,λ) = F 1 (P 1 )+F 2 (P 2 )+F 3 (P 3 ) λ[ P i ]+µ M1 [P 1 600] As condições de otimalidade que devem ser atendidas são agora: P 1 = 6,48+0,00256P 1 λ + µ M1 = 0 P 2 = 7,85+0,00388P 2 λ = 0 P 3 = 7,97+0,00964P 3 λ = 0 λ = P 1 + P 2 + P = 0 µ M1 = P = 0 cujo resultado fornece: P o 1 = 600 MW, Po 2 = 187,1 MW, Po 3 = 62,9 MW, λ o = 8,576 $/MWh e µ M1 = 0,561 $/MWh. Os custos incrementais das unidades são diferentes, sendo para as unidades 2 e 3 iguais a λ, enquanto o custo da unidade 1 é F 1 (P 1 ) P 1 = λ µ M1 = 8,016 < λ Este resultado é coerente, porque a unidade 1 é a que apresenta menor custo incremental, razão pela qual o despacho ocorre para o seu limite superior. O preço menor faz com que a procura seja maior para unidade que ofereça esse benefício. EXERCÍCIO Refazer o problema anterior, considerando o custo do combustível da unidade 1 como 0,93 $/h e o acréscimo de uma quarta unidade térmica, a carvão, com a seguinte característica.

11 7.3. DESPACHO ECOÔMICO DE UIDADES TÉRMICAS 109 H 4 = 510+7,0P 4 + 0,00467P4 2 em MBTU/h, 80 P MW, com custo de 0,97 $/MBTU. Para esse problema, e para cada unidade térmica, calcular os custos incrementais F i (P i ) P i, bem como cada custo F i (P i ). A partir desses resultados, qual o custo total em $/h para gerar a potência que atende a carga?

12 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO 7.4 DESPACHO TÉRMICO COM PERDA A REDE ELÉTRICA O despacho de geradores considerado nesta seção leva em conta, de alguma forma, as perdas devido à interconexão entre a geração e a carga. Esta é uma hipótese mais próxima da realidade, porque senpre há alguma conexão entre carga e geração. o entanto, o enfoque tratado aqui, mais uma vez, será apenas voltado ao despacho de máquinas térmicas. Ainda assim, considerar-se-á abordagem simplificada, devendo o leitor interessado em maior aprofundamento sobre o assunto buscar referências mais específicas na literatura. A Figura 7.3 ilustra um esquema simplificado no qual se tem uma carga constante P L conectada a um barramento remoto em relação ao barramento de geração. A interligação entre a carga e o centro de geração ocorre por meio de uma linha de transmissão. Figura 7.3 Máquinas térmicas abastecendo uma carga através de uma interligação O modelo utilizado para os geradores, com relação ao custo de geração de potência e o tipo de combustível, é o mesmo utilizado anteriormente. Porém, precisa ser desenvolvido um modelo que leve em conta as perdas de transmissão e incorpore esse fator no problema de otimização. Uma abordagem simplificada é considerar as perdas de transmissão como uma função da potência gerada por cada unidade geradora. A equação abaixo ilustra este

13 7.4. DESPACHO TÉRMICO COM PERDA A REDE ELÉTRICA 111 fato. P p (P) = d i P 2 i (7.5) onde P p é a perda ativa no sistema e d i é um coeficiente que depende das características do sistema de interconexão. A equação do balanço de potência ativa envolve a geração necessária para suprir a carga e as perdas de transmissão. Essa equação forma uma restrição de igualdade para o problema de otimização do seguinte tipo: P L P p (P)+ P i = 0 P L d i P 2 i + P i = 0 (7.6) O problema de otimização para esse problema requer a construção da seguinte Lagrangeana: L(P,λ) = F 1 (P 1 )+F 2 (P 2 )+...+ F (P ) λ[ P L d i P 2 i + P i ] (7.7) são: Para essa situação, as condições de otimalidade, sem as restrições de desigualdade, P i = F i P i λ + λ P p P i = 0 i = 1,2,..., (7.8) λ = P L P p + P i = 0 (7.9) O sistema de equações formado por (7.8) e (7.9) é não-linear. Para resolvê-lo, é necessário, portanto, utilizar um método que leve em conta essa característica. o problema de fluxo de carga, foi utilizado o método de ewton-raphson. Também aqui esse método será utilizado em razão das excelentes condições para convergência à solução. Precisa-se, no entanto, de uma solução inicial (estimativa da solução) para resolver o problema. Uma alternativa para esse estimativa é escolher a solução do caso sem perdas. EXEMPLO Resolver o problema de despacho econômico já tratado anteriormente, no qual se tem 3 geradores térmicos, os quais atendem a uma carga de 850 MW. Considere a situação em que o preço do dísel é igual a 1,1 $/MBTU. Suponha também que os geradores estão

14 OTIMIZAÇÃO E DESPACHO ECOÔMICO conectados a um barramento e suprem a carga por meio de uma interconexão cujas perdas são modeladas em função das potências das unidades térmicas da seguinte forma: SOLUÇÃO: P p (P) = 0,00003P ,00009P ,00012P 2 3 Aplicando-se as condições de otimalidade, são encontradas as seguintes equações: f 1 = P 1 = 7,92+0,00312P 1 λ[1 0,00006P 1 ] = 0 f 2 = P 2 = 7,85+0,00388P 2 λ[1 0,00018P 2 ] = 0 f 3 = P 3 = 7,97+0,00964P 3 λ[1 0,00024P 3 ] = 0 f 4 = λ = P 1 + P 2 + P P p = 0 Vamos supor que a estimativa inicial (obtidas do caso sem perdas na intrconexão) corresponde aos seguintes valores P1 o = 393,2 MW, Po 2 = 334,4 MW, Po 3 = 122,2 MW e λ o = 9,148 $/MWh. Para esta situação, f = [ f 1 f 2 f 3 f 4 ] T Vamos considerar que o vetor armazenando a solução é x = [P 1 P 2 P 3 λ] T Então a matriz Jacobiana relacionada ao método de ewton-raphson é: J = 0, ,00006λ ,00006P 1 0 0, ,00018λ 0 1+0,00018P , ,00024λ 1+0,00024P 3 1 0,00006P 1 1 0,00018P 2 1 0,00024P 3 0 O incremento a cada iteração é calculado como x = J 1 f. A partir do ponto inicial, e utilizando-se as iterações do método de ewton-raphson, encontra-se a solução:

15 7.4. DESPACHO TÉRMICO COM PERDA A REDE ELÉTRICA 113 P 1 = 435,2 MW P 2 = 300,0 MW P 3 = 130,7 MW λ = 9,528 A perda de transmissão para esta solução é igual a 15,8 MW. Todos as potências estão dentro da faixa de operação dos geradores, sendo portanto essa a solução ótima. EXERCÍCIO Refazer o exemplo anterior considerando que o custo de combustível da unidade a dísel é igual a 0,9 $/h. Considere também os limites de operação das unidades.