Pesquisa Operacional. Introdução à Pesquisa Operacional Programação Linear

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1 Pesquisa Operacional Introdução à Pesquisa Operacional Programação Linear 1

2 Sumário Modelagem e limitações da Programação Linear. Resolução Gráfica. Forma padrão de um modelo de Programação Linear. Definições e Teoremas. Forma canônica de um sistema de equações lineares. Método Simplex. Exercícios 2

3 Programação Linear Programação Linear: Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas associados com modelos lineares. Modelo de Programação Linear: Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com relação as variáveis de decisão do modelo. Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de decisão do modelo. 3

4 Razões para o uso da Programação Linear: 1. Grande variedade de situações podem ser aproximadas por modelos lineares. 2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução de modelos lineares. 3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos dados do modelo. 4. Estágio de desenvolvimento da tecnologia computacional. 4

5 Passos básicos na obtenção de modelos de PL: 1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia algébrica. 2. Identificar as restrições do problema, expressá-las como equações ou inequações lineares em termos das variáveis de decisão. 3. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo como função linear em termos das variáveis de decisão, que deverá ser maximizada ou minimizada. 5

6 Construção de modelos não é uma ciência, mas uma arte, podendo ser melhorada com a prática. Exemplos a serem trabalhados: Determinação do mix de produção Seleção de mídia para propaganda Um problema de treinamento Uma indústria química Uma oficina mecânica Dimensionamento de equipes de inspeção 6

7 Determinação do mix de produção Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos mão-de-obra e material. A companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os dados a seguir: Mão-de-obra (horas por unidade) Material (kg por unidade) Lucro ($ por unidade) Modelo A B C O suprimento de material é de 200 kg por dia. A disponibilidade diária de mãode-obra é 150 horas. Formule um modelo de Programação Linear para determinar a produção diária de cada um dos modelos de modo a maximizar o lucro total da companhia. 7

8 Formulação do modelo 1. Identificação das variáveis de decisão: X A produção diária do modelo A X B produção diária do modelo B X C produção diária do modelo C 2. Identificação das restrições: (Limitação de mão-de-obra) 7X A + 3X B + 6X C 150 (Limitação de material) 4X A + 4X B +5X C 200 (Não-negatividade) X A 0, X B 0, X C Identificação do objetivo: maximização do lucro total Lucro Total = L = 4X A + 2X B +3X C Max L = 4X A + 2X B +3X C 8

9 Modelo Encontrar números X A, X B, X C tais que: Max L= 4X A + 2X B +3X C Sujeito as restrições: 7X A + 3X B +6X C 150 4X A + 4X B +5X C 200 X A 0, X B 0, X C 0 9

10 Produção de Empresa Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com objetivo de maximizar o lucro da empresa 10

11 Modelo Identificação das variáveis de decisão: x 1 = Quantidade do produto P1 produzido por mês. x 2 = Quantidade do produto P2 produzido por mês. Restrições: 2x 1 + 3x x1 40 x2 30 x1; x2 0 (não negatividade) Identificação do objetivo: maximização do lucro total Max L = 100x x 2 11

12 Alimentação Diária Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00. Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser compradas de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo? 12

13 Modelo Identificação das variáveis de decisão: x a = Quantidade do produto A em kg. x b = Quantidade do produto B em kg. Restrições: 3x a + 6x b 15 10x a + 5x b 20 x a, x b 0 (não negatividade) Identificação do objetivo: minimização da quantidade Min Z = 2x a + 3x b 13

14 Seleção de mídia para propaganda Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03 diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em: TV horário TV horário Rádio Revistas normal nobre Custo Clientes Atingidos Mulheres Atingidas bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda. 14

15 A companhia não quer gastar mais de $ e, adicionalmente, deseja: (1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas; (2) Gastar no máximo $ com TV; (3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV; (4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV; (5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para cada meio de divulgação. Formular um modelo de PL que trate este problema, determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes. 15

16 Resolução do exemplo seleção de mídia para propaganda Variáveis de decisão: X 1 = nº. de exposições em horário normal na tv. X 2 = nº. de exposições em horário nobre na tv. X 3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio X 4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas. Função-objetivo: Maximizar nº. de clientes atingidos Max Z = X X X X 4 16

17 Restrições: Orçamento: X X X X Mulheres atingidas: X X X X Gasto com TV X X Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas X 1 3, X 2 2, 5 X 3 10, 5 X 4 10 Não-negatividade X 1, X 2, X 3, X

18 Problema do Alfaiate Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? 18

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20 Aluguel de caminhões Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear. 20

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