Pesquisa Operacional

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1 Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Algébrica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 016

2 1 Análise de Sensibilidade Algébrica Variações do Lado Direito Variações na Função Objetivo adecimentos

3 Análise de Sensibilidade Permite averiguar o impacto da incerteza dos parâmetros sobre a solução ótima. Identifica os limites de variação nos parâmetros do modelo de PL que não causam alteração na solução ótima.

4 Análise de Sensibilidade Algébrica Vamos considerar dois casos: 1 Sensibilidade às variações da disponibilidade de recursos (lado direito). Sensibilidade às variações no lucro unitário ou no custo unitário (coeficientes da função objetivo).

5 Variações do Lado Direito Uma empresa produz três produtos P 1, P e P 3, utilizando as máquinas M 1, M e M 3. Os lucros unitários dos produtos P 1, P e P 3 são $3, $ e $5, respectivamente. As disponibilidades das máquinas M 1, M e M 3, em horas, são 30, 60 e 0 minutos, respectivamente.

6 Variações do Lado Direito Cada unidade do produto P 1 requer uma hora da máquina M 1, 3 horas da máquina M e uma hora da máquina M 3. Cada unidade do produto P requer duas horas da máquina M 1 e quatro horas da máquina M 3. Cada unidade do produto P 3 requer uma hora da máquina M 1 e duas horas da máquina M.

7 Variações do Lado Direito x 1, x e x 3 : número de unidades produzidas por dia dos produtos P 1, P e P 3 respectivamente. Maximizar z = 3x 1 + x + 5x 3 sujeito a: x 1 + x + x x 1 + x 3 60 x 1 + x 0 x 1, x, x 3 0

8 Variações do Lado Direito Tabela simplex da solução ótima para o problema: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x x s A solução recomenda a fabricação de 100 P e 30 P 3. Não é recomendada a produção de P 1.

9 Determinação dos preços sombra As restrições do modelo após a adição das variáveis de folga, s 1, s e s 3, podem ser expressas por: x 1 + x + x 3 + s 1 = 30 (Máquina M 1 ) 3x 1 + x 3 + s = 60 (Máquina M ) x 1 + x + s 3 = 0 (Máquina M 3 )

10 Determinação dos preços sombra As restrições do modelo após a adição das variáveis de folga, s 1, s e s 3, podem ser expressas por: x 1 + x + x 3 = 30 s 1 (Máquina M 1 ) 3x 1 + x 3 = 60 s (Máquina M ) x 1 + x = 0 s 3 (Máquina M 3 ) Observe que reduzir 1 unidade na variável de folga s i é o mesmo que aumentar 1 minuto no tempo de operação da máquina M i, 1 i 3.

11 Determinação dos preços sombra Podemos usar 1 a observação da relação entre a unidade da variável de folga s i e o tempo de operação da máquina M i e a equação z na tabela simplex da solução ótima Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z para determinar o preço sombra do minuto de operação de cada máquina. Observe: z = 1350 x 1 s 1 s 0s 3 = 1350 x 1 + ( s 1 ) + ( s ) + 0( s 3 )

12 Determinação dos preços sombra z = 1350 x 1 + ( s 1 ) + ( s ) + 0( s 3 ) Como o decréscimo no valor da variável de folga é um aumento no tempo de operação da máquina, tem-se: z = 1350 x (aumento no tempo de operação de M 1 ) + (aumento no tempo de operação de M ) +0 (aumento no tempo de operação de M 3 )

13 Determinação dos preços sombra z = 1350 x (aumento no tempo de operação de M 1 ) + (aumento no tempo de operação de M ) +0 (aumento no tempo de operação de M 3 ) Então, o aumento de 1 minuto na máquina M 1, causa um aumento de $1 em z. o aumento de 1 minuto na máquina M, causa um aumento de $ em z. o aumento de 1 minuto na máquina M 3, não altera z.

14 Determinação dos preços sombra o aumento de 1 minuto na máquina M 1, causa um aumento de $1 em z. o aumento de 1 minuto na máquina M, causa um aumento de $ em z. o aumento de 1 minuto na máquina M 3, não altera z. Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z Ou seja, o preço sombra pode ser obtido pelos coeficientes das variáveis de folga da equação z da tabela simplex da solução ótima.

15 Determinação dos preços sombra Observe como o tempo da máquina M 3 é um recurso abundante. Veja que o valor da variável de folga s 3 é positivo na solução ótima. Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x x s Com tempo sobrando, disponibilizar um minuto a mais de operação da máquina M 3 não aumenta o lucro. Por isso s 3 é zero!

16 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Sejam D 1, D e D 3 as variações (positivas ou negativas) nos tempos de operação das máquinas M 1, M e M 3, respectivamente. Maximizar z = 3x 1 + x + 5x 3 sujeito a: x 1 + x + x D 1 (Máquina M 1 ) 3x 1 + x D (Máquina M ) x 1 + x 0 + D 3 (Máquina M 3 )

17 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O procedimento consiste em: recalcular a solução ótima pelo simplex, com o lado direito modificado; derivar as condições que manterão a solução viável, considerando que o lado direito não pode ser negativo. Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD D 1 D D 3 z x x s

18 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD D 1 D D 3 z x x s Observe que as colunas D 1, D e D 3 são idênticas às colunas s 1, s e s 3. Significa, que ao concluirmos a execução do simplex, executando as mesmas operações em s i e D i, os resultados serão idênticos!

19 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD D 1 D D 3 z x x s

20 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade De acordo com a tabela, na solução ótima, tem-se: z = D 1 + D x = D 1 1 D x 3 = D s 3 = 0 D 1 + D + D 3 Observe na equação z que os preços sombras para os tempos das máquinas M 1, M e M 3 são $1, $ e $0, como havíamos calculado.

21 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade A solução é viável, desde que as variáveis x i e s i, 1 i 3, sejam não-negativas, então: x = D 1 1 D 0 x 3 = D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 Quaisquer valores simultâneos de D 1, D e D 3 que satisfaçam essas condições manterão a solução viável. Se todas as condições forem satisfeitas, a solução é ótima, bastando substituir os valores de D 1, D e D 3 nas equações anteriores.

22 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O tempo disponível para operação das máquinas M 1, M e M 3 é 30, 60 e 0 minutos, respectivamente. Suponha que se queira alterar esses tempos de operação para 80 em M 1, 0 em M e 10 em M 3. Essa alteração é recomendável?

23 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O tempo disponível para operação das máquinas M 1, M e M 3 é 30, 60 e 0 minutos, respectivamente. Proposta de alteraçaõ: 80 em M 1, 0 em M e 10 em M 3. D 1 = = 50 D = 0 60 = 0 D 3 = 10 0 = 10

24 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade D 1 = 50, D = 0 e D 3 = 10. Substituindo nas restrições de viabilidade: x = D 1 1 D 0 x = = = 50 = 130 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 0 = 0 (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 110 (inviável)

25 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade D 1 = 50, D = 0 e D 3 = 10. Substituindo nas restrições de viabilidade: x = D 1 1 D 0 x = = = 50 = 130 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 0 = 0 (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 110 (inviável)

26 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade D 1 = 50, D = 0 e D 3 = 10. Substituindo nas restrições de viabilidade: x = D 1 1 D 0 x = = = 50 = 130 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 0 = 0 (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 110 (inviável)

27 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade O tempo disponível para operação das máquinas M 1, M e M 3 é 30, 60 e 0 minutos, respectivamente. Suponha que se queira alterar esses tempos de operação para 80 em M 1, 0 em M e 10 em M 3. Essa alteração é recomendável? Essa alteração faz com que a solução obtida não seja mais viável, pois uma das variáveis tornou-se negativa (s 3 ). Novos cálculos serão necessários para determinar a soução ótima com essa nova disponibilidade de tempo das máquinas.

28 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = D 1 1 D 0 x = = 35 = 88 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 78 (viável)

29 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = D 1 1 D 0 x = = 35 = 88 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 78 (viável)

30 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = D 1 1 D 0 x = = 35 = 88 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 78 (viável)

31 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? x = D 1 1 D 0 x = = 35 = 88 (viável) x 3 = D 0 x 3 = 30 1 = (viável) s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0 s 3 = = 78 (viável)

32 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade E se D 1 = 30, D = 1 e D 3 = 10? Essa alteração pode ser realizada e a solução encontrada pelo método simplex continua sendo ótima. Com essa alteração, temos: x = 88, x 3 = e s 3 = 78. z = D 1 + D = ( 30) + ( 1) = 196 A solução do método simplex é ótima, já que fornece o melhor lucro que se pode obter com os tempos de máquinas disponíveis.

33 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Determinamos as condições impostas para que variações possam ocorrer simultâneamente na disponibilidade de recursos (tempo) de todas as máquinas (M 1, M e M 3 ) matendo a viabilidade da solução. Mas e se quisermos variar o tempo de operação de uma única máquina? É possível determinar qual a faixa de variação que mantém a viabilidade da solução? Sim!

34 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Caso 1: Alterando o tempo de operação da máquina D 1 apenas. Mude o tempo de operação da máquina M 1 de 60 para 60 + D 1. Nesse caso, D = D 3 = 0. x = D 1 1 D 0 x 3 = D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0

35 x = D D 1 0 D D 1

36 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x 3 = 30 s 3 = 0 D D 1 D 1 10 faixa de viabilidade: 00 D 1 10.

37 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Caso : Alterando o tempo de operação da máquina D apenas. Mude o tempo de operação da máquina M de 30 para 30 + D. Nesse caso, D 1 = D 3 = 0. x = D 1 1 D 0 x 3 = D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0

38 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x = D D D 00 D D 00

39 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x 3 = D D 0 1 D 30 D D

40 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade s 3 = 0 + D 0 D 0 10 D faixa de viabilidade: 10 D 00.

41 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade Caso 3: Alterando o tempo de operação da máquina D 3 apenas. Mude o tempo de operação da máquina M 3 de 0 para 0 + D 3. Nesse caso, D 1 = D = 0. x = D 1 1 D 0 x 3 = D 0 s 3 = 0 D 1 + D + D 3 0

42 Variações do Lado Direito - Determinação das faixas de viabilidade x = 100 > 0 x 3 = 30 > 0 s 3 = 0 + D D 3 faixa de viabilidade: 0 D 3.

43 Variações na Função Objetivo Custo reduzido É a diferença entre o custo dos recursos consumidos para a produção de uma unidade de um produto P e a receita por unidade de P. Exemplo: Considere a função objetivo do exemplo anterior na tabela simplex ótima: z = 1350 x 1 s 1 s A solução ótima não recomenda a produção do produto P 1.

44 Variações na Função Objetivo z = 1350 x 1 s 1 s Observe que cada unidade produzida de P 1 reduz a função objetivo em. Então é o custo unitário do produto P 1. De acordo com o enunciado do problema, P 1 tem uma receita unitária de $3. Então, o custo reduzido de P 1 é 3 = 1.

45 Variações na Função Objetivo No enunciado do problema, a receita para o produto P é $, que é menor que a receita do produto P 1. Ainda assim, a solução ótima recomenda fabricar 100 unidades de P e não fabricar P 1. É contraintuitivo! Motivo: o custo dos recursos utilizados para produção de P é menor que o seu preço unitário. Isso não ocorre com P 1.

46 Variações na Função Objetivo Uma variável não lucrativa, como x 1, pode se tornar lucrativa de dois modos: 1 com o aumento da receita unitária; com a redução do custo unitário dos recursos consumidos.

47 Variações na Função Objetivo Sejam d 1, d e d 3 as variações nas receitas dos produtos P 1, P e P 3, respectivamente. Então, a função objetivo é: Maximizar z = (3 + d 1 )x 1 + ( + d )x + (5 + d 3 )x 3 Na tabela simplex, tem-se: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z 3 d 1 d 5 d

48 Variações na Função Objetivo Tabela simplex da solução ótima com a nova função objetivo: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x d + 3d3 d d d d + 30d d3 x s

49 Variações na Função Objetivo Como calcular os novos custos reduzidos: d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Adicione na linha superior e em uma coluna à esquerda, as variáveis d i associadas a cada variável. Variáveis de folga tem d i = 0.

50 Variações na Função Objetivo Como calcular os novos custos reduzidos: d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Para calcular o custo reduzido da variável x i, multiplique os valores na coluna de x i pelos valores na coluna azul. Some todos os termos multiplicados. Subtraia o termo que estiver na célula azul acima de x i.

51 Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Para calcular o custo reduzido da variável x i, multiplique os valores na coluna de x i pelos valores na coluna azul. 1 = d 1 = d d 3 3 = 3d 3 0 = 0

52 Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Some todos os termos multiplicados. 1 = d 1 = d d + 3d 3 d 3 3 = 3d 3 0 = 0

53 Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Subtraia o termo que estiver na célula azul acima de x i. 1 = d 1 = d d + 3d 3 d 1 d 3 3 = 3d 3 0 = 0

54 Variações na Função Objetivo Como calcular o novo custo reduzido de x 1 : Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x d + 3d3 d d d d + 30d d3 x s = d 1 = d d + 3d 3 d 1 d 3 3 = 3d 3 0 = 0

55 Variações na Função Objetivo Para calcular a nova função objetivo, considere a coluna LD: d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Multiplique os valores na coluna de LD pelos valores na coluna azul = 1350 d 100 = 100d d 3 30 = 30d = 0

56 Variações na Função Objetivo Para calcular a nova função objetivo, considere a coluna LD: d 1 d d Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD 1 z d x d 3 x s Some todos os termos multiplicados = 1350 d 100 = 100d d + 30d 3 d 3 30 = 30d = 0

57 Variações na Função Objetivo Para calcular a nova função objetivo, considere a coluna LD: Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z x d + 3d3 d d d d + 30d d3 x s = 1350 d 100 = 100d d + 30d 3 d 3 30 = 30d = 0

58 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Como é um problema de maximização, a solução permanece ótima, desde que os coeficientes da função objetivo não sejam negativos (considerando variáveis não básicas). Base x 1 x x 3 s 1 s s 3 LD z d + 3d3 d d d + d d + 30d 3 Condições de otimalidade: x 1 é não básica: d + 3d 3 d 1 0 s 1 é não básica: 1 + d 0 s é não básica: d + d 3 0

59 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Condições de otimalidade: x 1 é não básica: d + 3d 3 d 1 0 s 1 é não básica: 1 + d 0 s é não básica: d + d 3 0 Essas condições devem ser satisfeitas simultâneamente para garantir a otimalidade da solução.

60 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Exemplo: Vamos alterar a função objetivo do problema de: para Maximizar z = 3x 1 + x + 5x 3 Maximizar z = x 1 + x + 6x 3 Tem-se: d 1 = 3 = 1 d 3 = 6 5 = 1 d = 1 = 1

61 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = = = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)

62 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = = = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)

63 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = = = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)

64 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = = = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)

65 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = = = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)

66 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Substituindo d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1 nas restrições: de x 1 : d + 3d 3 d 1 0 = = = 3 0 (satisfeita) de s 1 : 1 + d 0 = 1 + d = 1 1 = 1 0 (satisfeita) de s : d + d 3 0 = d + d 3 = = 8+1+ = 11 0 (satisfeita)

67 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Como as restrições de otimalidade estão satisfeitas, a solução (x 1 = 0, x = 100, x 3 = 30) ainda é ótima. Resta calcular o novo valor da função objetio. Lembre-se: z = d + 30d 3 d 1 = 1, d = 1 e d 3 = 1. Então, z = = $180.

68 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade E se considerarmos que apenas um coeficiente da função objetivo é alterado?

69 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade E se considerarmos que apenas um coeficiente da função objetivo é alterado? Para cada coeficiente, deve-se analisar o caso correspondente: 1 Max z = (3 + d 1 )x 1 + x + 5x 3 Max z = 3x 1 + ( + d )x + 5x 3 3 Max z = 3x 1 + x + (5 + d 3 )x 3

70 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Para alterar o coeficiente de x 1, faça d = d 3 = 0 e verifique as restrições de otimalidade (coeficientes positivos): de x 1 : d 1 0 d 1 de s 1 : 1 0 de s : 0 Faixa de otimalidade: d 1.

71 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Para alterar o coeficiente de x, faça d 1 = d 3 = 0 e verifique as restrições de otimalidade (coeficientes positivos): de x 1 : d 0 d 16 de s 1 : 1 + d 0 d de s : d 0 d 8 Faixa de otimalidade: d 8.

72 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Para alterar o coeficiente de x 3, faça d 1 = d = 0 e verifique as restrições de otimalidade (coeficientes positivos): de x 1 : + 3d d 3 de s 1 : 1 0 de s : + d 3 0 d 3 Faixa de otimalidade: 8 3 d 3.

73 Variações na Função Objetivo - condições de otimalidade Cuidado: As variações de d 1, d e d 3 podem estar dentro de suas faixas individuais admissíveis e não satisfazer as condições simultâneas e vice-versa!

74 Referência Esse material é totalmente baseado no livro: Hamdy A. TAHA, Pesquisa Operacional, 8 a edição, São Paulo: Pearson, 008.

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