Solução de problemas de PL com restrições do tipo >= e =

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1 Solução de problemas de PL com restrições do tipo >= e =

2 Seja o Problema de maximização abaixo: O problema na forma padrão: Tem-se um problema, não existe na restrição 3 uma variável de folga para entrar na base Não é possível identificar uma solução básica inicial

3 Técnica das variáveis artificiais Construir um problema auxilar inserindo uma nova variável, chamada variável artificial, em cada restrição que não foi possível adicionar uma variável de folga, sendo tomada como variável básica para essa equação. Assim, garante-se a existência de uma variável básica em cada equação e a possibilidade de se encontrar uma solução básica inicial. A variável artificial não deve ser confundida com variável de folga. É apenas um artifício matemático.

4 Técnica das variáveis artificiais Restrições do tipo >= a) introduzir uma variável de excesso (com coeficiente -1) e uma variável artificial (com coeficiente + 1) no lado esquerdo da restrição b) criar uma função objetivo artificial w, que vai ser igual a soma das variáveis artificiais inseridas no problema, no caso de um problema de minimização. Ex: min Z= 3 5x 2 <=4 2x 2 <=12 3 >= 18 min Z= 3 5x 2 + x 3 =4 2x 2 + x 4 =12 3 x 5 + a 1 = 18, x 3, x 4, x 5, a 1 min w= a 1 + x 3 =4 2x 2 + x 4 =12 3 x 5 + a 1 = 18, x 3, x 4, x 5, a 1

5 Técnica das variáveis artificiais Passar o problema artificial para um problema de maximização min w= a 1 + x 3 =4 2x 2 + x 4 =12 3 x 5 + a 1 = 18, x 3, x 4, x 5, a 1 Max w= - a 1 + x 3 =4 2x 2 + x 4 =12 3 x 5 + a 1 = 18, x 3, x 4, x 5, a 1

6 Fase I Montar a tabela para o problema artificial VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x a O problema apresenta inconsistência. A coluna da VB a1 possui dois valores 1. Para ela estar na base, deveria ter o valor 1 somente na última linha.

7 Fase I Deve-se zerar o valor 1 da coluna a1, na linha da função objetivo. (L1) L1 L2 L3 L4 VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x a Resolver o problema da mesma maneira do simplex L1=L1 - L4 VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x a

8 Fase I Montar a tabela para o problema artificial L1 L2 L3 L4 VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x a VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x a L1=L1+3*L2 L2=L2 L3=L3 L4=L4-3*L2

9 Fase I L1 L2 L3 L4 VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x a VB w x1 x2 x3 x4 x5 a1 const x x x ,5 0-0,5 0,5 3 L1=L1+2*L4 L2=L2 L3=L3-2*L4 L4=L4/2 Quando w for igual a zero e as variáveis forem iguais a 0, teremos umas solução inicial para o problema original

10 Fase II A partir do quadro final da fase I, gerar o primeiro quadro para a fase II. Retirar a coluna referente à variável artificial Retornar a função objetivo original Verificar a existência de inconsistência e retirá-las VB Z x1 x2 x3 x4 x5 const x x x ,5 0-0,5 3 Existe inconsistência em x1 e x2

11 Fase II L1 L2 L3 L4 Existindo alguma variável para entrar na base, o processo continua VB Z x1 x2 x3 x4 x5 const x x x ,5 0-0,5 3 VB Z x1 x2 x3 x4 x5 const x x x ,5 0-0,5 3 VB Z x1 x2 x3 x4 x5 const ,5 0-2,5 3 x x x ,5 0-0,5 3 L1 = L1-3*L2 L1 = L1+5*L4

12 Fase II L1 L2 L3 L4 VB Z x1 x2 x3 x4 x5 const ,5 0-2,5 3 x x x ,5 0-0,5 3 VB Z x1 x2 x3 x4 x5 const , x ,33-0,33 2 x ,33 0,33 2 x ,5 0 6 L1 = L1+10,5*L3 L2 = L2-L3 L3 = L3/3 L4 = L4+1,5*L3 A solução ótima para o problema de minimização é z= -24, com x1=2 e x2 = 6

13 Técnica das variáveis artificiais Restrições do tipo = A metodologia é a mesma utilizada no caso de restrições do tipo maior ou igual. Introduzir uma variável artificial para cada restrição de igualdade. Substituir a função objetivo original pela minimização do somatório das variáveis artificiais. Encontrar uma solução factível para o problema original.

14 Técnica das variáveis artificiais Ex: max Z= 3 5x 2 <=4 2x 2 =12 3 = 18 max Z= 3 5x 2 + x 3 =4 2X 2 + a 1 = a 2 = 18, x 3, a 1, a 2 min w= a 1 +a 2 + x 3 =4 2X 2 + a 1 = a 2 = 18, x 3, a 1, a 2

15 fase I min w= a 1 +a 2 max w = -a 1 -a 2 - w + a 1 + a 2 = 0 VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x a a Zerar a 1 e a 2 VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x a a VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x a a

16 fase I L1 L2 L3 L4 VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x a a VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x x ,5 0 6 a L1=L1 +4L3 L2=L2 L3=L3/2 L4=L4-2L3

17 fase I L1 L2 L3 L4 VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x x ,5 0 6 a VB W x1 x2 x3 a1 a2 const x ,33-0,33 2 x ,5 0 6 x ,33 0,33 2 L1=L1 +3L4 L2=L2-L4 L3=L3 L4=L4/3

18 Fase II A partir do quadro final da fase I, gerar o primeiro quadro para a fase II. Retirar a coluna referente à variável artificial Retornar a função objetivo original Verificar a existência de inconsistência e retirá-las VB Z x1 x2 x3 const x x x Existe inconsistência em x1 e x2

19 Fase II VB Z x1 x2 x3 const x x x Zerar x1 e x2 VB Z x1 x2 x3 const x x x VB Z x1 x2 x3 const x x x Z=-24, com x1=2 e x2=6

20 Exercícios Obtenha a solução ótima para os problemas abaixo: max Z= 4 + 3x 2 min Z= max Z= 4 +8x 2 min Z= x 2 + 3x 2 <=7 >=1 3 =18 - <=2 2 =8-5 >=-10 <= x 2 >=20 <= x 2 >= 15 <= 4 <= 6 x 2 <= 2 x 2 <= 4 max Z= 4 + 5x 2 min Z= 6 + 4x 2 + 5x 3 max Z= + 3x 2 4 >=30 10 <=10 = x 2 >=10-2 <= x 2 + 4x 3 <= 20 6x 2 +2x 3 = x 2 +2x 3 >=22, x 3 min Z= 4 + 6x 2 3 >= x 2 >=30

21 Exercícios Obtenha a solução ótima para os problemas abaixo: Min Z= + 5x 2 Max Z= 4 + 3x x 2 >= 20 <=8 Z ilimitado Max Z= 5 + 4x 2 >= 40 2 >= 6 Solução infactível 2 + 4x 2 >= 16 <= 6 <= 4 Solução ótima degenerada max Z= 7 + 5x x 2 >=24 <=3 Solução infactível Max Z= 2 +3x 2 x 2 >=10 2x 2 + 3x 3 <=90 <=24 Solução ótima degenerada min Z=2-6x 2 3 >= x 2 < >=30

22 Exercícios Uma firma faz três produtos e tem três máquinas disponíveis para produção. Para resolver sua escala de produção, modela o seguinte PPL max Z= 4 + 4x 2 + 7x 3 60 <= + 3x 2 <= 100 (horas na máquina 1) 60 <=2 <=100 (horas na máquina 2) 60 <= <= 100 (horas na máquina 3), x 3 Resolver o problema pelo método simplex tabular

23 Métodos alternativos Método das Penalidades (Big M) Método das duas fases