Programação Linear. Dual Simplex: Viabilidade Dual Método Dual Simplex

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1 Programação Linear Dual Simplex: Viabilidade Dual

2 Viabilidade Dual Considere o par de problemas primal (P) dual (D). Agora já sabemos como encontrar a solução de um desses PPL a partir da solução do outro. Logo, para resolvermos (P), podemos: (a) Resolver (P) diretamente, via método Simplex; (b) Escrever (D) e o resolver, via método Simplex; (c) Resolver (D) sem escrevê-lo diretamente; para isso usaremos a tabela do método Simplex para o problema (P), mas sobre ela executaremos o método Simplex resolvendo o problema (D). A esse procedimento chamaremos de método Dual Simplex. Em muitos casos, encontramos uma base inicial inversível mas que não é viável primal (algum x B negativo); entretanto, se todos os custos reduzidos forem menores ou iguais a zero, ela será uma base viável dual, como veremos a seguir.

3 Viabilidade Dual Teorema: Seja B uma base inversível para um PPL. Se c B TB -1 a j -c j 0 para todo j, então essa base é dual viável. Dem. Considere os PPLs primal-dual: Primal (P): Dual (D): min c T x max b T w s.a A x b s.a A T w c x 0 w 0

4 Viabilidade Dual Colocando (P) no formato de restrições de igualdade, teremos que subtrair variáveis de folga. As restrições de igualdade ficam na forma Rx=b, onde R = (A -I). Ou seja, as primeiras n colunas estão relacionadas com as variáveis originais (colunas de A) e as últimas n colunas com as variáveis de folga (colunas de -I). Seja B uma base cujo todos custos reduzidos sejam negativos, ou seja: c B TB -1 r j -c j 0 para todo j Fazendo w T = c B TB -1, teremos w T r j -c j 0 para todo j

5 Viabilidade Dual * Fazendo essa desigualdade para as n primeiras colunas, temos: w T r j -c j 0 para todo j=1,..., n As n primeiras colunas são as colunas de A: w T a j -c j 0 para todo j=1,..., n Fazendo todas as colunas de uma vez: w T A c T 0 A T w c * Fazendo essa desigualdade para as n últimas colunas, temos: w T r j -c j 0 para todo j=n+1,..., 2n As n últimas colunas são as colunas os vetores canônicos multiplicados por -1: w T (-e j ) - c j 0 para todo j E na função objetivo os custos são nulos (são os custos das variáveis de folga): w T (-e j ) para todo j Fazendo todas as colunas de uma vez: w T (-I) 0 -w T 0 w 0 Portanto o vetor w adotado dessa forma é um ponto viável para (D) (satisfaz as restrições já que A T w c e w 0).

6 Dual Simplex Como agora já sabemos identificar uma base viável para o dual (base em que todos os custos reduzidos são menores ou iguais a zero), e o dual é um PPL, podemos pensar em resolvê-lo via simplex. Para isso temos duas formas: Escrever o PPL dual e aplicar o simplex nele. Permanecer com o PPL primal, montar a tabela usual do simplex com essa base para o primal, mas resolver o PPL dual (dual simplex).

7 Monte a tabela de forma idêntica à do Simplex para o PPL primal. A base utilizada deve ser viável dual, ou seja, os custos reduzidos não básicos devem ser 0 (os básico já são nulos, não precisamos nos preocupar). Se além disso, tivermos, essa base será também viável primal, e estaremos com a tabela ótima. Caso contrário, iremos fazer iterações para corrigir as componentes negativas de x B A cada iteração vamos retirar da base o xb mais negativo

8 Dentre as não básicas, vamos escolher para entrar na base aquela que não estraga a viabilidade dual: Dividimos os custos reduzidos das variáveis não básicas pelos valores que estão na linha do x B mais negativo (somente se esse valor for negativo). Os resultados dessas divisões são frações com valores 0. Será escolhida para entrar na base a variável associada à fração mais baixa. Dessa forma, permaneceremos com os todos custos reduzidos ainda 0. Para completar a iteração, basta realizar um pivoteamento para transportar a coluna da identidade de posição, tal qual no simplex tradicional.

9 Dual Simplex - Exemplo Resolva usando o dual simplex: Introduzindo as variáveis de folga:

10 Escolhendo : Sabemos que é uma base inversível. Não é viável primal pois x B = Mas é viável dual pois: c B TB -1 a 1 -c 1 = -1 0 c B TB -1 a 2 -c 2 = -4 0

11 Montando a primeira tabela do simplex: (ignore a primeira coluna z nesta e em todas as tabelas) Variável básica que deixará a base: x 3 (a mais negativa) Variável não básica que entrará na base: Troca: x 3 com x 2.

12 Trocando x 3 com x 2. Variável básica que deixará a base: x 5 (a mais negativa) Variável não básica que entrará na base: Troca: x 5 com x 1.

13 Trocando x 5 com x 1. Variável básica que deixará a base: x 4 (a mais negativa) Variável não básica que entrará na base: Troca: x 4 com x 3.

14 Trocando x 4 com x 3. Como todos os x B são 0, estamos no ótimo do PPL! A análise e extração da solução a partir da tabela é feita do modo tradicional: x* = ( ) T

15 - Exemplo Resolva o usando o dual simplex: Introduzindo as variáveis de folga:

16 Escolhendo : Sabemos que é uma base inversível Não é viável primal pois x B = Mas é viável dual pois: c B TB -1 a 1 -c 1 = -1 0 c B TB -1 a 2 -c 2 = -2 0 c B TB -1 a 3 -c 3 = -1 0

17 Montando a primeira tabela do simplex: (ignore a primeira coluna z nesta e em todas as tabelas) Variável básica que deixará a base: x 4 (a mais negativa) Variável não básica que entrará na base: Troca: x 3 com x 4.

18 Trocando x 3 com x 4. Variável básica que deixará a base: x 5 (a mais negativa) Variável não básica que entrará na base: Troca: x 5 com x 1.

19 Trocando x 5 com x 1. Variável básica que deixará a base: x 6 (a mais negativa) Variável não básica que entrará na base: Troca: x 6 com x 2.

20 Trocando x 6 com x 2. Como todos os x B são 0, estamos no ótimo do PPL! A análise e extração da solução a partir da tabela é feita do modo tradicional: X* = (4/3 3 7/ ) T

21 Variáveis duas na tabela Uma curiosidade: * Independente de qual método simplex que você use, em TODA iteração é possível coletar os valores das variáveis duais diretamente da tabela. * Para isso, você deve voltar sua atenção para a linha z. * Os valores das variáveis duais estão na linha z, em ordem, embaixo de cada variável de folga. * Se as variável de folga foi somada, o valor da variável dual está na linha z com o sinal correto. * Se a variável de folga foi subtraída, o valor da variável dual está na linha z com o sinal trocado. Por quê??