Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

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1 Programação Linear (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

2 Conteúdos Excel Solver Instalação do Solver Resolução de problemas de programação linear Problema de minimização Funcionalidades adicionais Problema de maximização 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 2

3 Excel Solver (1/2) Os problemas de programação linear podem ser resolvidos através da ferramenta Solver (Solver) do Excel. A ferramenta Solver é utilizada para encontrar um valor ótimo para o resultado de uma célula que está dependente, direta ou indiretamente, da variação dos valores de outras células. O valor ótimo é encontrado pela minimização ou maximização de uma fórmula (ou equação) que se encontra na chamada célula de destino e que corresponde à função objetivo do problema Maria do Rosário Matos Bernardo 3

4 Excel Solver (2/2) As outras células com as quais a célula de destino está relacionada recebem o nome de células ajustáveis, pois vão ter o seu valor ajustado, de forma a produzirem o resultado desejado. Podem ser introduzidas restrições, ou limitações, aos valores que o Solver pode utilizar no modelo, correspondem às restrições do problema de programação linear e às condições de não negatividade. Estas restrições podem ser aplicadas à célula de destino, às células ajustáveis ou a outras células que estejam direta ou indiretamente relacionadas com a célula de destino Maria do Rosário Matos Bernardo 4

5 Aceder à ferramenta Solver Para aceder à ferramenta Solver (Solver), deve selecionar o separador Dados (Data) da sua folha de cálculo e, no grupo Ferramentas de Dados (Data Tools), selecionar a opção Análise (Analysis) Maria do Rosário Matos Bernardo 5

6 Instalação do Solver Para instalar a ferramenta Solver deve consultar as páginas 117 e 118 do livro Excel Aplicado. Apesar do livro ter como referência o Excel 2010, e nesta apresentação estarmos a considerar o Excel do Office 365 (Excel 2016), as diferenças são mínimas e consegue instalar a ferramenta Solver seguindo as indicações do livro seja qual for a versão de Office (Excel) com que esteja a trabalhar Maria do Rosário Matos Bernardo 6

7 Problema de minimização Vamos recorrer ao exemplo de problema de minimização apresentado anteriormente, representado pelo seguinte modelo: Min z = 12x 1 + 8x 2 Suj. a: x 1 + x 2 6 x 1 + 4x x 1 + x 2 8 x 1 e x Maria do Rosário Matos Bernardo 7

8 1º passo: Introduzir as variáveis e fórmulas na folha de Excel Vamos começar por colocar na folha de cálculo a informação necessária para resolver o problema, tendo o cuidado de deixar a folha com um aspeto compreensível, ou seja, que não seja difícil identificar a função objetivo, as restrições e as soluções do problema. Pretendemos que a nossa folha de cálculo fique com o seguinte aspeto: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 8

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10 Para além do texto visível no ecrã vamos colocar as seguintes fórmulas e valores: Célula Valor ou Significado no modelo Fórmula J2 =12*J9+8*J10 Valor da função objetivo (valor que queremos minimizar) J5 =J9+J10 Resultado da primeira restrição J6 =J9+4*J10 Resultado da segunda restrição J7 =3*J9+J10 Resultado da terceira restrição J9 0 Resultado da variável x 1 J10 0 Resultado da variável x 2 L5 =J5-G5 Valor que sobra depois de satisfeita a restrição 1 L6 =J6-G6 Valor que sobra depois de satisfeita a restrição 2 L7 =J7-G7 Valor que sobra depois de satisfeita a restrição Maria do Rosário Matos Bernardo 10

11 2º Passo: O Solver Vamos resolver o problema com a ferramenta Solver: 1. No separador Dados (Data), grupo Ferramentas de Dados (Data Tools), opção Análise (Analysis), selecione Solver (Solver). Aparece a seguinte caixa de diálogo: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 11

13 2. Em Definir Objectivo (Set Objective) insira $J$2, pois é a célula que contém a equação que identifica a função objetivo que pretendemos minimizar. 3. Em Para: (Equal to), selecione Mínimo (Min). 4. Depois insira em Alterando as Células de Variável (By Changing Variable Cells) $J$9:$J$10, pois são as células que contêm as nossas variáveis de decisão (x 1 e x 2 ). 5. Seguidamente, para introduzir as restrições, selecione a opção Adicionar (Add Constraint), e surge a seguinte caixa de diálogo: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 13

14 Vamos introduzir as restrições e as condições de não negatividade uma a uma Maria do Rosário Matos Bernardo 14

15 6. Para a restrição x 1 + x 2 6, preencha a caixa de diálogo da seguinte forma: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 15

16 7. Selecione Adicionar (Add) para introduzir outra restrição. Deve proceder desta forma, até ter todas as restrições introduzidas. No fim, clique em OK para voltar à caixa de diálogo do Solver (Solver). 8. Escolha o Método de Resolução (Solving Method) LP Simplex (Simplex LP) Maria do Rosário Matos Bernardo 16

18 9. Escolha a opção Resolver (Solve) para o Solver (Solver) encontrar a solução. 10. Selecione a opção OK da caixa de diálogo: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 18

19 11. A solução ótima do problema irá surgir na folha de cálculo. Temos uma solução ótima única: Como podemos verificar, a solução ótima encontrada pelo solver coincide com a solução da resolução gráfica, ou seja, a solução ótima deste problema de minimização consiste em adquirir um saco de adubo químico e 5 sacos de adubo biológico, com um custo total de 52 euros Maria do Rosário Matos Bernardo 19

20 Funcionalidades adicionais A ferramenta solver tem outras funcionalidades, como Guardar Cenário (Save Scenario), para guardar a solução para análise futura no Gestor de Cenários (Scenario Manager); e a elaboração de Relatórios (Reports) de Resposta (Answer), Sensibilidade (Sensitivity) e Limites (Limits). Voltaremos aos relatórios num ponto seguinte. Em algumas situações pode ser importante analisar a forma como o Solver (Solver) chega à solução ótima, isso é possível, basta quando estamos na caixa de diálogo Parâmetros do Solver (Solver Parameters) selecionar o botão Opções (Options) e na caixa de diálogo selecionar a opção Mostrar Resultados de Iteração (Show Iteration Results) Maria do Rosário Matos Bernardo 20

22 Problema de Maximização Vamos recorrer ao exemplo de problema de maximização apresentado anteriormente, representado pelo seguinte modelo: Max z = 40x x 2 Suj. a: 15x 1 + 7x x 1 + 8x x x x 1 e x Maria do Rosário Matos Bernardo 22

23 1º passo: Introduzir as variáveis e fórmulas na folha de Excel Vamos começar por colocar na folha de cálculo a informação necessária para resolver o problema, tendo o cuidado de deixar a folha com um aspeto compreensível, ou seja, que não seja difícil identificar a função objetivo, as restrições e as soluções do problema. Pretendemos que a nossa folha de cálculo fique com o seguinte aspeto: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 23

25 Para além do texto visível no ecrã vamos colocar as seguintes fórmulas e valores: Célula Valor ou Fórmula Significado no modelo J2 =40*J9+30*J10 Valor da função objetivo (valor que queremos maximizar) J5 =15*J9+7*J10 Resultado da primeira restrição J6 =10*J9+8*J10 Resultado da segunda restrição J7 =5*J9+10*J10 Resultado da terceira restrição J9 0 Resultado da variável x 1 J10 0 Resultado da variável x 2 L5 =H5-J5 Valor de folga (recurso que ainda pode ser usado) depois de satisfeita a restrição 1 L6 =H6-J6 Valor de folga depois de satisfeita a restrição 2 L7 =H7-J7 Valor de folga depois de satisfeita a restrição Maria do Rosário Matos Bernardo 25

26 2º Passo: O Solver Vamos resolver o problema com a ferramenta solver: 1. No separador Dados (Data), grupo Ferramentas de Dados (Data Tools), opção Análise (Analysis), selecione Solver (Solver). 2. Em Definir Objectivo (Set Objective) insira $J$2, pois é a célula que contém a equação que identifica a função objetivo que pretendemos maximizar. 3. Em Para: (Equal to), selecione Máximo (Max). 4. Depois insira em Alterando as Células de Variável (By Changing Variable Cells) $J$9:$J$10, pois são as células que contêm as nossas variáveis de decisão (x 1 e x 2 ) Maria do Rosário Matos Bernardo 26

27 5. Seguidamente, para introduzir as restrições, selecione a opção Adicionar (Add Constraint), e surge a seguinte caixa de diálogo: Vamos introduzir as restrições e as condições de não negatividade uma a uma Maria do Rosário Matos Bernardo 27

28 6. Para a restrição 15x 1 + 7x 2 900, preencha a caixa de diálogo da seguinte forma: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 28

29 7. Selecione Adicionar (Add) para introduzir outra restrição. Deve proceder desta forma, até ter todas as restrições introduzidas. No fim, clique em OK para voltar à caixa de diálogo do Solver (Solver). 8. Escolha o Método de Resolução (Solving Method) LP Simplex (Simplex LP). Maria do Rosário Matos Bernardo 29

31 9. Escolha a opção Resolver (Solve) para o Solver (Solver) encontrar a solução. 10. Selecione a opção OK da caixa de diálogo: 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 31

32 11. A solução ótima do problema irá surgir na folha de cálculo. Temos uma solução ótima única: Como podemos verificar, a solução ótima encontrada pelo solver coincide com a solução da resolução gráfica, ou seja, a solução ótima deste problema de maximização consiste em produzir 46 saias e 30 pares de calças, com uma receita total de 2740 euros Maria do Rosário Matos Bernardo 32

33 4ª parte: Excel Solver Análise de sensibilidade (por favor passe para a apresentação seguinte) 2016 Maria do Rosário Matos Bernardo 33