Otimização Linear. Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex

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1 Otimização Linear Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex

2 Revisão de Álgebra Linear Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um número k tal que: a)existe pelo menos uma sub-matriz quadrada de A de ordem k, cujo determinante é não nulo. b)toda sub-matriz quadrada de A, de ordem maior que k, tem determinante nulo. (de outro modo: Amxn. O rank linha é igual ao número máximo de linhas linearmente independente de A. O rank coluna é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes de A. Pode-se mostrar posto linha=posto coluna).

3 Revisão de Álgebra Linear A mxn, Posto (A) mínimo{m,n}. Se posto(a)=mínimo{m,n}, então A tem posto completo. A mxn tem posto k se e somente se: Ik 0 Q 0

4 Revisão de Álgebra Linear Seja A mxn e considere o sistema Ax=b e (A,b) de ordem m x (n+1). Se posto(a,b) > posto(a), o sistema é incompatível (b não pode ser escrito como combinação linear de a 1,a 2,...,a n ). Se posto(a,b)=posto(a)=k então: A ( A, b) = 1 A2 posto( A1, b1) b1 A k x n b k b, 1 ( ), ( 2 = posto( A1) = k x1),

5 Revisão de Álgebra Linear A ( A, b) = 1 A2 posto( A1, b1) b1 A k x n b k b, 1( ), ( 2 = posto( A1) = k x1), Restrições A 2 x=b 2 são redundantes. Posto(A1)=k, pode-se pegar k colunas linearmente independentes de A1. A1=(B,N), B(k x k) é uma matriz não singular e chamada de matriz básica e N (k x(n-k)) é chamada de matriz não básica.

6 Álgebra linear Resumindo (Seja o sistema Ax=b, Amxn.) Se posto (A,b)>posto(A), Ax=b não tem solução. Se posto(a,b)=posto(a)=k=n, o sistema tem solução única. Se posto (A,b)=posto(A)=k<n, Ax=b tem infinitas soluções.

7 Álgebra linear Seja o sistema Ax=b, Amxn. Suponha que posto(a)=posto(a,b)=m<n. A=(B,N), onde Bmxn (matriz básica), Nmx(n-m) (matriz não-básica). x=(x B,x N ), x B Variáveis básicas e X N variáveis não básicas. Ax = b Det( B) 0 xb Bx B + Nx N = B 1 b B 1 NxN = b Solução geral Infinitas soluções, Há Cm,n maneiras de escolher a partição

8 Partição básica Seja Ax=b, onde A mxn, b mx1, x nx1 (m< n). Supor que posto(a)=m. É possível reorganizar as colunas de A de tal modo A=[B,N] e que: B mxm é formada por m colunas linearmente independentes de A dada por: Onde B 1, B 2,..., B m são os índices das colunas escolhidas da matriz A (índices básicos)

9 Partição básica N mx (n-m) - formada pelas n-m colunas restantes de A. N pode ser escrita como: Onde N 1, N 2,..., N m são os índices das colunas da matriz A que pertencem a N (índices não-básicos) Esta reorganização é definida como partição básica

10 Partição básica (partição das variáveis) A partição de A em [B N] cria uma partição das variáveis: variáveis básicas variáveis não básicas

11 Solução geral do sistema A última expressão de x B é conhecida como solução geral do sistema.

12 Solução básica Considere uma partição básica A=[B,N]. Uma solução é dita básica quando: ^ Se x B 0 então temos uma solução básica factível. Caso contrário, temos uma solução básica não-factível. Se x B >0 dizemos que a solução básica factível é não degenerada.

13 Exemplo Considere a seguinte região factível no R 2 variáveis de folga Forma padrão

14 Exemplo

15 Alguns pontos Factíveis (Por quê?) (construção o e não-negatividaden negatividade)

16 Alguns pontos No interior da região factível (todas as variáveis de folga são positivas).

17 Alguns pontos Na fronteira (alguma variável se anula)! Variáveis nulas indicam restriçõ ções ativas! Mais de uma variável vel se anula: vértice v (mais de uma restriçã ção o ativa)!

18 Outros pontos Infactíveis: Respeitam o sistema Ax = b mas não n o respeitam as restriçõ ções de não-negatividade! n negatividade!

19 Considere o exemplo (Vértice D) Solução básica factível.

20 Voltando ao exemplo Vértice F: Solução básica não-factível.

21 Propriedades Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo Considere a região factível S={x R n tal que Ax=b, x 0}. Um ponto x S é um vértice se e somente se x for uma solução básica factível.

22 Método possível Enumerar todas as soluções básicas factíveis (vértices) x 1, x 2,... x K Escolher aquela com melhor função objetivo. Problema: K pode ser muito grande!

23 Simplex Idéia: Partir de uma solução básica factível Visitar apenas as soluções básicas factíveis melhores que ela. Método Simplex

24 Perguntas Dada uma solução básica factível (ou seja, um vértice) 1) Esta solução é ótima? 2)Caso não seja ótima, como encontrar uma solução básica factível melhor?

25 Pergunta 1: A solução atual é ótima? Considere uma solução básica factível: E a solução geral do sistema usando a mesma partição : x = x x B N

26 Pergunta 1: A solução atual é ótima? A função objetivo pode ser expressa considerando a partição básica: x = x x B N

27 Pergunta 1: A solução atual é ótima? valor da solução básica associada a esta partição: Então

28 Pergunta 1: A solução atual é ótima? Definição (vetor multiplicador simplex): O vetor λ mx1, dado por: é chamado vetor multiplicador simplex (ou também, vetor de variáveis duais). O vetor multiplicador simplex pode ser obtido por: λ T T B 1 ( 1 ) T T B cb B λ cb = c B λ = =

29 Retornando... Pergunta 1: A solução atual é ótima? Vamos expressar por coluna:

30 Custos relativos Definição: Os coeficientes das variáveis não-básicas na função objetivo descrito acima são chamados custos relativos ou custos reduzidos.

31 Exemplo (Arenales et al, 2.22) Considere o problema: reescrito na forma padrão:

32 Resolução gráfica: Intersecção das retas: x 1 + x 2 = 4 e x 1 = 3

33 x 1 + x 2 = 4 (variável de folga associada: x 3 ) x 1 = 3 (variável de folga associada: x 4 ) Logo, o vértice (solução básica) deve ser obtido com a partição: B = (1,2,5), N = (3,4)

34 Atribuindo zero às variáveis não-básicas: x 3 =x 4 = 0 Todos positivos: soluçã ção o básica b factível.

35 Vamos calcular os custos relativos: B = (B 1,B 2,B 3 ) = (1,2,5), NB = (NB 1,NB 2 ) = (3,4) m variáveis básicas n-m m variáveis veis não-básicasn

36 Vamos calcular os custos relativos

37 Vamos calcular os custos relativos outra maneira de calcular λ T λ T = T B 1 ( 1 ) T T B cb B λ cb c B λ = =

38 Vamos calcular os custos relativos

39 Condição de otimalidade Soluçã ção básica factível e custos relativos maiores que zero Soluçã ção ótima problema de minimizaçã ção

40 Resumo Já vimos: Soluções básicas estão associadas a vértices (pontos extremos) Se há uma solução ótima, então há um ponto extremo (solução básica) ótima. Podemos definir os custos relativos de variáveis não básicas como: Se, em um problema de minimização (maximização), para uma dada solução básica, todos os custos relativos são positivos (negativos), a solução é ótima.

41 Perguntas 1) A solução atual é ótima? Respondida (ver último item do slide anterior) 2) Como encontrar uma solução básica factível melhor?

42 A solução não é ótima Existe ao menos uma variável não-básica x Nk para a qual: *problema de minimização

43 Exemplo

44 Exemplo (B = B -1 = I)

45 A solução não é ótima

46 Estratégia simplex Vamos perturbar a solução básica factível de modo a diminuir o valor da função objetivo. Definição (estratégia simplex). Chamamos de estratégia simplex a perturbação de uma solução básica factível que consiste em alterar as variáveis não básicas por: isto é, escolhemos uma variável com custo relativo negativo e adicionamos uma pequena perturbação.

47 Estratégia simplex A nova função objetivo vale:

48 Resultado na função objetivo Pergunta: a solução perturbada é factível? Sim, se a perturbação é suficientemente pequena e a solução básica original é não degenerada. qual o maior ε?

49 Direção simplex e tamanho do passo Mudando as variáveis não-básicas, obrigatoriamente temos que mudar as variáveis básicas: direçã ção o simplex!

50 Direção simplex e tamanho do passo As novas variáveis básicas (perturbadas) devem continuar não-negativas:

51 Direção simplex e tamanho do passo Temos, pois:

52 O que acontece se... Se no momento de calcular o passo máximo, todos os y i são negativos significa que para qualquer valor de ε, a nova solução é factível. Como quanto maior ε, maior o decrescimento da função objetivo, a solução ótima será ilimitada!

53 Exemplo Considere o exemplo anterior: (obtida para x Ni =0)

54 Exemplo A solução é ótima? Não é ótima. (Por quê?)

55 Exemplo A direçã ção o simplex indica a maneira como as variáveis veis básicas b se modificam, ao se aumentar uma dada variável vel não-básica n (no caso, N 1 =1)

56 Exemplo

57 No caso geral: Ao resolvermos: determinamos a variável da base que vai se anular (sair da base). Anteriormente, ao escolhermos uma variável não-básica com custo relativo negativo, escolhemos a variável não-básica que vai assumir valor positivo (entrar na base).

58 No caso geral Partição anterior: escolhida para entrar (custo relativo negativo) escolhida para sair (primeira ao se anular ao aumentarmos x Nk )

59 A nova solução Pode-se mostrar que a nova matriz B é invertível. Como os valores das variáveis da nova B são não-negativos, trata-se de uma solução factível. Seu custo é:

60 Graficamente, no exemplo * Índice da variável não-básica escolhida para entrar (N 1 = 1) (escolhemos aquela com menor custo relativo) * Índice da variável básica escolhida para sair (B 2 = 4) (escolhemos aquela que primeiro se anulava ao aumentarmos ε.) Nova partição: B = (3,1,5) N=(4,2)

61 Simplex - Fase II

62 Simplex - Fase II

63 Simplex - fase II

64 Introduzindo variáveis veis de folga, temos::