O método de enumeração de soluções básicas é muito ineficiente.

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1 Resolução de PLs O método de enumeração de soluções básicas é muito ineficiente. O número de possíveis bases pode ser enorme Para encontrar a solução associada a cada base é preciso resolver um sistema linear O método simplex resolve ambos os problemas Só considera um número relativamente pequeno de bases Não é necessário resolver um sistema linear inteiro para encontrar a solução associada a cada base 1

2 Pesquisa Operacional I Método Simplex Prof.: Eduardo Uchoa 2

3 Exemplo: Problema de Mix de Produção maximizar z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 x Sujeito a 1,5 x 1 + 4,0 x ,0 x 1 + 1,5 x ,0 x 1 + 1,0 x 2 8 x 1, x x 1 3

4 Método Simplex O método exige que o PL esteja no formato padrão. Introduzir variáveis de folga maximizar z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 Sujeito a 1,5 x 1 + 4,0 x ,0 x 1 + 1,5 x ,0 x 1 + 1,0 x 2 8 x 1, x 2 0 4

5 Método Simplex PL no formato padrão. maximizar z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 Sujeito a 1,5 x 1 + 4,0 x x 3 = 24 3,0 x 1 + 1,5 x x 4 = 21 1,0 x 1 + 1,0 x x 5 = 8 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 5

6 Método Simplex As variáveis de folga formam uma base que é uma matriz identidade => a solução básica viável associada é facilmente encontrada maximizar z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 Sujeito a 1,5 x 1 + 4,0 x x 3 = 24 3,0 x 1 + 1,5 x x 4 = 21 1,0 x 1 + 1,0 x x 5 = 8 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 6

7 Método Simplex Reescrever o sistema isolando as variáveis básicas do lado esquerdo das equações. As variáveis não-básicas e o termo constante ficam do lado direito. A variável z (valor da função objetivo) também é representada por uma equação; x 3 = 24 1,5 x 1 4,0 x 2 x 4 = 21 3,0 x 1 1,5 x 2 x 5 = 8 1,0 x 1 1,0 x 2 z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 7

8 Método Simplex Reescrever o sistema isolando as variáveis básicas do lado esquerdo das equações. As variáveis não-básicas e os termos constantes ficam do lado direito. A variável z (valor da função objetivo) também é representada: x 3 = 24 1,5 x 1 4,0 x 2 x 4 = 21 3,0 x 1 1,5 x 2 x 5 = 8 1,0 x 1 1,0 x 2 z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 A solução básica é: x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 24 x 4 = 21 x 5 = 8 Valor da FO para essa solução: z = 0 8

9 Dicionário Um PL reescrito de forma a que as variáveis de uma solução básica viável fiquem isoladas no seu lado esquerdo está em forma de dicionário x 3 = 24 1,5 x 1 4,0 x 2 x 4 = 21 3,0 x 1 1,5 x 2 x 5 = 8 1,0 x 1 1,0 x 2 z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 9

10 Dicionário Essa representação é muito conveniente, porque o valor das variáveis básicas já é dado pelas constantes (não é necessário resolver o sistema Bx B = b ). x 3 = 24 1,5 x 1 4,0 x 2 x 4 = 21 3,0 x 1 1,5 x 2 x 5 = 8 1,0 x 1 1,0 x 2 z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 10

11 Solução atual x x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 24 x 4 = 21 x 5 = 8 z = x 1 11

12 Melhorando a solução atual Escolher uma variável não-básica (do lado direito do dicionário) para ter seu valor aumentado, de forma a também aumentar o valor da função objetivo. x 3 = 24 1,5 x 1 4,0 x 2 x 4 = 21 3,0 x 1 1,5 x 2 x 5 = 8 1,0 x 1 1,0 x 2 z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 12

13 Melhorando a solução atual Escolher uma variável não-básica (do lado direito do dicionário) para ter seu valor aumentado, de forma a também aumentar o valor da função objetivo. Escolhemos x 2. O maior valor que x 2 pode ter sem que alguma variável básica fique com valor negativo é dado por: x 3 = 24 1,5 x 1 4,0 x 2 x 4 = 21 3,0 x 1 1,5 x 2 x = min,, = 6 4 1,5 1 x 5 = 8 1,0 x 1 1,0 x 2 z = 4,0 x 1 + 6,0 x 2 Nesse momento já sabemos que a nova solução vai ter z=36. A variável que passou a valer 0 após o crescimento de x 2 foi x 3. 13

14 Montando o novo dicionário O sistema é reescrito de forma a que x 2 fique isolada no lado esquerdo e x 3 vá para o lado direito. 3 x = 24 x 4x 2 3 4x = 24 x x x = 6 x x Primeiro reescrevemos a única equação em que x 2 e x 3 aparecem 14

15 Montando o novo dicionário Substituindo a equação para x 2 nas equações restantes, todo o sistema é atualizado: 3 1 x2 = 6 x1 x x = 21 3x 6 x x x = 8 1x 1 6 x x z = 4x x x

16 Novo dicionário Dizemos que a variável x 3 saiu da base e a variável x 2 entrou na base. x = x x 8 4 x = x + x 16 8 x = x + x 8 4 z = x x

17 Novo dicionário Dizemos que a variável x 3 saiu da base e a variável x 2 entrou na base. x = x x 8 4 x = x + x 16 8 x = x + x 8 4 z = x x A nova solução básica viável é: x 1 = 0 x 2 = 6 x 3 = 0 x 4 = 12 x 5 = 2 Esta solução aumentou a função objetivo: z = 36 17

18 Nova solução básica viável x 2 : 5 10 x 1 = 0 x 2 = 6 x 3 = 0 x 4 = 12 x 5 = 2 z = x 1 18

19 Melhorando a solução Ainda é possível aumentar o valor de z? x = x x 8 4 x = x + x 16 8 x = x + x 8 4 z = x x

20 Melhorando a solução Ainda é possível aumentar o valor de z? Sim. x = x x 8 4 x = x + x 16 8 x = x + x 8 4 z = x x

21 Melhorando a solução x = x x 8 4 x = x + x 16 8 x = x + x 8 4 z = x x x Aumentando x 1 sem fazer que uma variável básica fique com valor negativo. O maior valor para x 1 é: = min,, = Nesse momento já sabemos que a nova solução vai ter z=36+7/4.16/5=41,6. A variável que passou a valer 0 após o crescimento de x 1 foi x 5. 21

22 Montando o novo dicionário Seguindo o mesmo procedimento da iteração anterior, o dicionário é atualizado através da 3ª equação do dicionário anterior. x 1 entra na base (vai pro lado esquerdo) e x 5 sai da base (vai para o lado direito). 5 1 x = 2 + x x x = + x x

23 Novo dicionário Substituindo x 1 nas equações restantes do dicionário anterior, tem-se o seguinte dicionário atualizado: x2 = x3 + x x = x + x x1 = + x3 x z = x x

24 Novo dicionário Substituindo x 1 nas equações restantes do dicionário anterior, tem-se o seguinte dicionário atualizado: x2 = x3 + x x = x + x x1 = + x3 x z = x x A solução básica viável é: x 1 = 16/5 x 2 = 24/5 x 3 = 0 x 4 = 21/5 x 5 = 0 Esta solução resulta em: z = 208/5 24

25 Nova solução básica viável x x 1 = 16/5 =3,2 x 2 = 24/5 = 4,8 x 3 = 0 x 4 = 21/5 = 4,2 x 5 = 0 z = 208/5 = 41, x 1 25

26 Novo dicionário Ainda é possível aumentar o valor da função objetivo? x2 = x3 + x x = x + x x1 = + x3 x z = x x

27 Solução ótima x2 = x3 + x x = x + x x1 = + x3 x z = x x Não existem variáveis não-básicas que, quando aumentadas, resultem em aumento no valor da função objetivo. Logo, a solução básica mostrada nesse sistema é ótima. 27

28 Método Simplex 1. Montar um dicionário inicial 2. Olhando a equação do z, escolha uma variável nãobásica x in cujo aumento melhoraria a solução corrente do dicionário (coeficiente negativo se for minimização, positivo se for maximização). Se não houver tal variável, a solução corrente é ótima. 3. Calcule o máximo valor para que x in que não torne uma variável básica negativa. Se esse valor for infinito, o PL é ilimitado. Caso contrário, escolha uma variável x out que bloqueou o crescimento de x in. 4. A variável x in entra na base, x out sai da base. Atualize o dicionário colocando x in isolado do lado esquerdo, x out vai pro lado direito. Volte para o Passo 2. 28

29 OBSERVAÇÃO Este material refere-se às notas de aula do curso TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade Federal Fluminense (UFF) e foi criado a partir das notas do Prof. Rodrigo A. Scarpel do ITA ( e não pode ser reproduzido sem autorização prévia de ambos os autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos. 29