Pesquisa Operacional I Programação Linear
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- Nathalie Flores Figueiredo
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1 Pesquisa Operacioal I Programação Liear Prof. Eduardo Uchoa
2 Programação Liear Técica que se propõe a otimizar (maimizar ou miimizar) o valor de uma fução liear respeitado um cojuto de restrições (equações ou iequações) lieares Criada por George B. Datzig em 947 A criação da PL foi motivada por problemas de plaejameto da Força Aérea dos EUA Um modelo de Programação Liear (PL) reduz um sistema real a um cojuto de equações ou iequações lieares.
3 Problema de Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c ( ) ( ) Sujeito a a a... a b a a... a b M M M M ( ) a a... a b m m m m...
4 Problema de Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c Z: fução objetivo ( ) ( ) Sujeito a a a... a a a... a b M M M M b ( ) a a... a b m m m m... c j : coeficietes da fução objetivo (custo / lucro) j j : variáveis de decisão j a ij : coeficietes das variáveis as restrições i m e j b i : costates do lado direito (right-had-side) i m 4
5 Problema de Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c Z: fução objetivo ( ) ( ) Sujeito a a a... a b a a... a b M M M M ( ) a a... a b m m m m... c j : coeficietes da fução objetivo (custo / lucro) j j : variáveis de decisão j a ij : coeficietes das variáveis as restrições i m e j b i : costates do lado direito (right-had-side) i m
6 Problema de Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c Z: fução objetivo Sujeito a ( ) ( ) a a... a a a... a M M M M b b ( ) a a a b m m... m m.... c j : coeficietes da fução objetivo (custo / lucro) j j : variáveis de decisão j a ij : coeficietes das variáveis as restrições i m e j b i : costates do lado direito (right-had-side) i m 6
7 Problema de Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c Z: fução objetivo ( ) ( ) Sujeito a a a... a b a a... a M M M b ( ) am am... am bm... c j : coeficietes da fução objetivo (custo / lucro) j j : variáveis de decisão j a ij : coeficietes das variáveis as restrições i m e j b i : costates do lado direito (right-had-side) i m M 7
8 Problema de Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c Z: fução objetivo ( ) ( ) Sujeito a a a... a a a... a M M M b b ( ) am am... am bm... c j : coeficietes da fução objetivo (custo / lucro) j j : variáveis de decisão j a ij : coeficietes das variáveis as restrições i m e j b i : costates do lado direito (right-had-side) i m M 8
9 Programação Liear Cosidere o seguite problema ( Maimizar / Miimizar) Z c c... c Z: fução objetivo ( ) ( ) Sujeito a a a... a b a a... a b M M M M ( ) a a... a b m m m m... c j : coeficietes da fução objetivo (custo / lucro) j j : variáveis de decisão j a ij : coeficietes das variáveis as restrições i m e j b i : costates do lado direito (right-had-side) i m 9
10 Formas de represetação de PLs Forma padrão: todas as restrições são igualdades e todas as variáveis são ão-egativas Forma caôica: todas as restrições são do tipo (se for miimização) ou do tipo (se for maimização); todas as variáveis são ão-egativas
11 Maipulação de PLs Trasformar equações em iequações: j a ij j b i aij j j aij j j b b i i Uma equação equivale a duas iequações
12 Maipulação de PLs Trasformar equações em iequações: Uma equação equivale a duas iequações S.a 4 Ma S.a 4 Ma
13 Maipulação de PLs Trasformar iequações em equações: Adicioar uma ova variável ão-egativa cohecida como variável de folga. i j j ij b a i j j ij b a
14 4 Maipulação de PLs Trasformar iequações em equações: Adicioar uma ova variável ão-egativa cohecida como variável de ecesso. i j j ij b a i j j ij b a
15 Maipulação de PLs Trasformar iequações em equações: Cada iequação trasformada eige uma variável de folga ou de ecesso diferete. S.a Mi Z S.a Mi Z 4 4
16 6 Maipulação de PLs Trasformar iequações em equações: S.a Mi Z S.a Mi Z Solução ótima : Z 8 67 Solução ótima : 4 Z
17 Maipulação de PLs Trasformar Miimização em Maimização : Miimizar Z j c j j Maimizar Z j ( c j ) j Não esquecer que o valor da fução objetivo do ovo problema de maimização deve ser multiplicada por - para obter o valor da fução objetivo do problema de miimização origial. 7
18 Maipulação de PLs Trasformar Maimização em Miimização: Maimizar Z j c j j Miimizar Z j ( c j ) j Não esquecer que o valor da fução objetivo do ovo problema de miimização deve ser multiplicada por - para obter o valor da fução objetivo do problema de maimização origial. 8
19 9 Maipulação de PLs S.a Mi Z S.a - Z Ma 67 Solução ótima : Z 67 Solução ótima : Z
20 Maipulação de PLs Trasformar variáveis livres em variáveis ão-egativas Em algus casos é possível eistir variáveis que podem assumir valores positivos ou egativos. livre 4 S.a Mi Z
21 Maipulação de PLs 4 4 Solução ótima : Z livre 4 S.a Mi Z 4 S.a Mi Z Solução ótima : 4 Z
22 Pesquisa Operacioal I Método gráfico de solução Prof.: Eduardo Uchoa uchoa@producao.uff.br
23 Objetivo Descrever o procedimeto gráfico / geométrico para resolver problemas de programação liear com variáveis Obter a solução ótima eumerado os potos etremos Obter a solução ótima pelo gradiete da fução objetivo Ilustrar os casos da PL: Solução ótima úica Múltiplas soluções ótimas Soluções ilimitadas Problema iviável (ão tem solução)
24 Eemplo de PL Mi de produção Uma empresa fabrica tipos de porta: de madeira e de alumíio. Cada porta passa por operações: corte motagem e acabameto. O tempo gasto em cada uma dessas operações por cada tipo de porta é cohecido. Determie a produção diária de cada tipo de porta para maimizar o lucro da empresa respeitado as dispoibilidades diárias de tempo da máquia que eecuta cada operação. Corte Motagem Acabameto Lucro Uitário Madeira h/porta h/porta h/porta R$ 4 Alumíio 4 h/porta h/porta h/porta R$ 6 Dispoibilidade 4 h h 8 h 4
25 Eemplo de PL Mi de produção Variáveis: i : qtde a ser produzida i porta de madeira porta de alumíio Fução objetivo: Maimizar Lucro Maimizar Z 4 mad 6 al Restrições de capacidade produtiva: mad 4 al 4 (corte) mad al (motagem) mad al 8 (acabameto) Restrições de ão-egatividade: mad al
26 Eemplo de PL Mi de produção al mad 6
27 Eemplo de PL Mi de produção al corte mad 4 al 4 mad 7
28 Eemplo de PL Mi de produção al motagem mad al mad 8
29 Eemplo de PL Mi de produção al acabameto mad al 8 mad 9
30 Eemplo de PL Mi de produção al Não-egatividade mad al mad
31 Eemplo de PL Mi de produção al REGIÃO (CONJUNTO) DE SOLUÇÕES VIÁVEIS POLÍGONO CONVEXO mad
32 Solução por eumeração dos potos etremos al PONTOS EXTREMOS mad al Lucro (Z) mad
33 Os potos etremos correspodem a pares de restrições mad al Restrições ativas mad al 6 mad corte: mad 4 al 4 7 al motagem: mad al al 48 corte: mad 4 al 4 acabameto: mad al 8 6 acabameto: mad al 8 motagem: mad al 48 RESTRIÇÕES ATIVAS: CORTE e ACABAMENTO Obs:Motagem - tempo ocioso: 4 h/dia mad
34 Solução gráfica pelo gradiete da fução objetivo al Lucro Z 4 mad 6 al 4 mad
35 Solução gráfica pelo gradiete da fução objetivo al mad
36 Nesse caso eiste uma úica solução ótima Z 46 al 48 mad 6
37 Isso em sempre acotece Múltiplas soluções ótimas al Maimizar Lucro Z 6 mad 6 al 6 6 mad 7
38 Soluções ilimitadas Ma S.a 4-4 8
39 Soluções ilimitadas Geralmete idica erro a modelagem ão eiste sistema real ilimitado Ma S.a 4-4 9
40 Problema iviável (ão eiste solução) Ma S.a 8 4 4
41 Problema iviável (ão eiste solução) Nem sempre é erro de modelagem. Pode ser uma idicação real que se está tetado fazer algo impossível! 4
42 OBSERVAÇÃO Este material refere-se às otas de aula do curso TEP7 (Pesquisa Operacioal I) da Uiversidade Federal Flumiese (UFF) e foi criado a partir das otas do Prof. Rodrigo A. Scarpel do ITA ( e ão pode ser reproduzido sem autorização prévia de ambos os autores. Quado autorizado seu uso é eclusivo para atividades de esio e pesquisa em istituições sem fis lucrativos. 4
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