Pesquisa Operacional I Apresentação Geral do curso exemplos de modelagem

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1 Pesquisa Operacional I Apresentação Geral do curso eemplos de modelagem Prof. Marcos Roboredo marcos.producao.uff@gmail.com

2 Programa Introdução à Programação Linear (PL) Modelagem via PL Resolução de modelos PL Método Gráfico Algoritmo Simple Uso de softwares Dualidade Dualidade Fraca Folgas Complementares Análise de Sensibilidade

3 Avaliação 75% de presença obrigatória 1 apresentação (A) eercícios (E) e 1 prova (P) A: Trabalho. E: Eercícios selecionados passados em sala. P: Prova com a matéria toda (individual) Média = 03 A + 01 E + 06 P > 60 para aprovação Datas: P: ; A:

4 Bibliografia do Curso 1. Linear Programming Chvátal. Ed. Freeman Introduction to Linear Optimization Bertsimas e Tsitsiklis. Ed. Athena Pesquisa Operacional Taha. Ed. Pearson 8ª edição. 4. Slides Notas de aula e Listas de eercícios:

5 Definição Pesquisa Operacional (PO) é o uso do métodos científicos para auiliar a tomada de decisões. Caracteriza-se por: a) emprego de modelos matemáticos b) aplicação em problemas reais c) multidisciplinaridade: Matemática Engenharia Administração Estatística Computação Economia

6 Outras Definições Operations research is the application of advanced analytical methods to help make better decisions. Informs: A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção planejamento ou operação de sistemas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas de ação alternativas e encontrar as soluções que melhor servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações. SOBRAPO: 6

7 A PO e a Engenharia de Produção Ferramentas aplicáveis na maioria das demais áreas da Produção incluindo: Planejamento e Controle de Produção (PCP) Logística Arranjo Físico Controle de qualidade

8 Pré-História da PO A partir do século XVII muitos matemáticos clássicos criaram ferramentas que podem ser aplicadas no auílio à decisão: Newton Leibniz Taylor Lagrange: Cálculo diferencial para achar mínimos/máimos de funções. Cardano Pascal Huygens Bayes Poisson: Cálculo de probabilidades. Euler Kirchhoff Hamilton: Teoria dos grafos fluos em redes Otimização combinatória. Gauss Fourier: Sistemas de equações lineares. 8

9 Estabelecimento da PO como disciplina autônoma militar 1936 criação da Bawdsey Manor Research Station em Suffolk Inglaterra: estudo do uso de radares para interceptar aeronaves inimigas 1937 o termo Operational Research foi cunhado por A. P. Rowe na BMRS 1939 Leonid V. Kantorovich modelou e propôs métodos de solução para diversos problemas de planejamento na União Soviética 1940 (WWII) criado The Anti-Aircraft Research Group na força aérea britânica (3 fisiologistas 1 físico geral 2 físicos matemáticos 2 matemáticos 1 astrofísico 1 oficial do eército e 1 topógrafo) 9

10 Estabelecimento da PO como disciplina autônoma militar 1941 primeira definição formal do Problema Clássico de Transporte por Frank L. Hitchcock 1942 formação da U.S. Navy Antisubmarine Warfare Operations Research Group (ASWORG) diversos grupos apoiando o planejamento logístico (abastecimento) das tropas aliadas estratégias de ataque e defesa aérea e marítima etc ao final da WWII é criado o projeto RAND para trabalhar no planejamento militar e em problemas do governo norte americano 1947 George B. Dantzig formalizou a Programação Linear e criou o método Simple para solução de problemas deste tipo na USAF 10

11 A PO entra no mundo civil 1951 primeiro uso de um modelo de programação linear na indústria: problema da mistura (blend) ótima nas refinarias de petróleo Estabelecimento das primeiras sociedades de profissionais de PO nos EUA e na Europa Começo do ensino de PO nas universidades 11

12 A PO hoje Usada rotineiramente por empresas e organizações nos mais diversos setores da indústria serviços finanças ou governo. A PO contribui significativamente para a eficiência da economia mundial Tradicionalmente a PO tem sido usada para minimizar custos e/ou maimizar lucros Atualmente também eistem outras preocupações: minimizar impactos ecológicos e riscos de acidentes maimizar benefícios sociais 12

13 A PO hoje Muito menos usada do que poderia Dificuldades em aplicar adequadamente ao mundo real O uso avançado de PO é uma técnica mas também é uma arte. Eiste escassez (no mundo mas no Brasil isso é mais grave) de profissionais eperientes com essa competência.

14 Como funciona a PO? Toda a PO está baseada na construção de modelos matemáticos para representar de forma simplificada os sistemas reais. 14

15 Como funciona a PO? Sistema Real Modelagem Modelo Dedução Conclusões sobre o Sistema Real Interpretação Conclusões do Modelo

16 Preocupações ao construir um modelo Aderência à realidade Capacidade de resolver o modelo utilizando ferramentas computacionais A chave está no quanto do problema real deve ser simplificado

17 Pesquisa Operacional Simulação Previsão Otimização Multicritério Análise Envoltória de Dados

18 Pesquisa Operacional Simulação Previsão Otimização Multicritério Análise Envoltória de Dados Heurísticas e metaheurísticas Programação matemática

19 Pesquisa Operacional Simulação Previsão Otimização Multicritério Análise Envoltória de Dados Heurísticas e metaheurísticas Programação matemática Programação Linear Programação Não Linear

20 Pesquisa Operacional Simulação Previsão Otimização Multicritério Análise Envoltória de Dados Heurísticas e metaheurísticas Programação matemática Programação Linear Programação Não Linear Programação Linear Inteira

21 Pesquisa Operacional Simulação Previsão Otimização Multicritério Análise Envoltória de Dados Heurísticas e metaheurísticas Programação matemática Programação Linear Programação Não Linear Programação Linear Inteira

22 Problemas de Otimização Em problemas de otimização pretendemos otimizar (maimizar ou minimizar) algum critério.

23 Problemas de Otimização Em problemas de otimização pretendemos otimizar (maimizar ou minimizar) algum critério. E1: Usando transporte público qual a maneira mais rápida de se chegar ao Centro do RJ saindo da UFF? E2: Qual a grade de horários para a Engenharia de Produção que minimiza o número de aulas vagas dos alunos?

24 Soluções viáveis e inviáveis Cada solução em um problema de otimização pode ser classificada como viável ou inviável. Uma solução é dita viável quando satisfaz todas as imposições do problema.

25 Soluções viáveis e inviáveis Cada solução em um problema de otimização pode ser classificada como viável ou inviável. Uma solução é dita viável quando satisfaz todas as imposições do problema. E1: Usando transporte público qual a maneira mais rápida de se chegar ao Centro do RJ saindo da UFF?

26 Soluções viáveis e inviáveis Cada solução em um problema de otimização pode ser classificada como viável ou inviável. Uma solução é dita viável quando satisfaz todas as imposições do problema. E1: Usando transporte público qual a maneira mais rápida de se chegar ao Centro do RJ saindo da UFF? O uso do ônibus mais barcas representa uma solução viável. O uso do carro particular representa uma solução inviável.

27 Solução ótima A solução viável que mais otimiza o critério é chamada de solução ótima.

28 Solução ótima A solução viável que mais otimiza o critério é chamada de solução ótima. E1: Usando transporte público qual a maneira mais rápida de se chegar ao Centro do RJ saindo da UFF? Solução viável 1 ônibus e 1 barca 50 2 ônibus 70 Duração (min)

29 Solução ótima A solução viável que mais otimiza o critério é chamada de solução ótima. E1: Usando transporte público qual a maneira mais rápida de se chegar ao Centro do RJ saindo da UFF? Solução viável 1 ônibus e 1 barca 50 2 ônibus 70 Duração (min) A solução ótima neste caso será o uso de 1 ônibus e 1 barca.

30 Resolvendo problemas de otimização Como encontrar a solução ótima em um problema de otimização?

31 Resolvendo problemas de otimização Como encontrar a solução ótima em um problema de otimização? Listar todas as soluções nem sempre é possível pois em muitos casos o número de soluções viáveis pode ser muito grande ou até mesmo infinito.

32 Resolvendo problemas de otimização Como encontrar a solução ótima em um problema de otimização? Listar todas as soluções nem sempre é possível pois em muitos casos o número de soluções viáveis pode ser muito grande ou até mesmo infinito. Deve-se então criar ou encontrar um algoritmo (computacional ou não) que resolva o problema.

33 Resolvendo problemas de otimização Como encontrar a solução ótima em um problema de otimização? Listar todas as soluções nem sempre é possível pois em muitos casos o número de soluções viáveis pode ser muito grande ou até mesmo infinito. Deve-se então criar ou encontrar um algoritmo (computacional ou não) que resolva o problema. Modelar o problema utilizando programação matemática facilita esta tarefa pois eistem algoritmos específicos.

34 Programação Matemática Um modelo de programação matemática é definido por Variáveis (incógnitas): valores decididos na resolução do modelo. Cada conjunto = solução. Restrições: equações/inequações que limitam as variáveis. Solução que satisfaz as restrições = solução viável. Função objetivo (f.o.): Avaliação numérica para cada solução. Solução mais bem avaliada = solução ótima.

35 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a =

36 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a = variáveis de decisão: 1 e 2

37 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a = variáveis de decisão: 1 e 2 s.a. é uma abreviação para sujeito a

38 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a = f.o. de maimização

39 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a = Conjunto de restrições

40 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a = Qual seria uma possível solução viável para este modelo?

41 Programação Matemática Um eemplo de modelo de programação matemática ma s. a = Qual seria uma possível solução viável para este modelo? 1 = 3 2 e 2 = 0 gerando um custo na f.o. de 9 2

42 Tipos de Modelos de Programação Matemática Programação Linear: todas as restrições e a FO são funções lineares. Eemplo: ma s. a =

43 Programação Linear Vantagens da modelagem via Programação Linear: Muitos sistemas reais podem ser bem modelados como PLs Programas de computador podem resolver problemas com milhões de variáveis e restrições num laptop

44 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção Para maimizar seu lucro uma fábrica de cadeiras precisa decidir quais modelos deve produzir.

45 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção Entretanto a produção é restrita pela disponibilidade de matéria-prima: madeira (50 lâminas/semana) e tecido (75 metros/semana).

46 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção

47 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção

48 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção ma S.a

49 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção ma S.a Solução ótima: 1 =25 2 = 3 = 0 4 =25; lucro = R$ 8750/semana

50 Eemplo 1: Problema do Mi Ótimo de Produção ma S.a O fato da solução ótima ter sido inteira foi uma casualidade Solução ótima: 1 =25 2 = 3 = 0 4 =25; lucro = R$ 8750/semana

51 Resolvendo PL O algoritmo mais conhecido para PL é o simple. Softwares como LINDO e o SOLVER do ecel possuem o algoritmo implementado.

52 Programação Inteira Programação Linear Inteira (PLI) ou simplesmente Programação Inteira (PI): algumas variáveis podem ser obrigadas a terem valores inteiros. Muito mais sistemas reais podem ser bem modelados como programação inteira Problemas com alguns milhares de variáveis e restrições já podem ser intratáveis para um computador

53 Eemplo 2: Problema da mochila Enunciado: Um viajante precisa decidir entre n possíveis objetos para colocar na sua mochila com capacidade de peso P. Cada objeto i oferece um ganho g i mas possui um peso p i. O problema é escolher um subconjunto dos objetos com peso P que maimize o ganho total.

54 Eemplo 2: Problema da mochila Instância: P=10 p 1 =1 p 2 =2 p 3 =4 p 4 =4 p 5 =5 p 6 =6. g 1 =3 g 2 =3 g 3 =5 g 4 =5 g 5 = 6 g 6 =9

55 inteiros S.a Ma Eemplo 2: Problema da mochila Modelo de Programação Inteira:

56 inteiros S.a Ma Note que as duas últimas restrições fazem com que cada variável só possam assumi valor 0 ou 1. Neste tipo de caso dizemos que as variáveis são binárias. Eemplo 2: Problema da mochila Modelo de Programação Inteira:

57 inteiros S.a Ma Solução ótima: 1 2 e 6 =1 ganho total 15 Eemplo 2: Problema da mochila Modelo de Programação Inteira:

58 Eemplo 2: Problema da mochila Solução ótima P=10 p 1 =1 p 2 =2 p 3 =4 p 4 =4 p 5 =5 p 6 =6. g 1 =3 g 2 =3 g 3 =5 g 4 =5 g 5 = 6 g 6 =9

59 Resolvendo PI O algoritmo mais conhecido para PI é o branchand-bound. A biblioteca de funções UFFLP permite a implementação de modelos PI utilizando conhecimentos básicos de VBA Ecel ou C++.