Exemplos de modelos de PL ou PI

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1 Exemplos de modelos de PL ou PI Prof. Eduardo Uchoa 1

2 Como funciona a PO? Toda a PO está baseada na construção de modelos matemáticos para representar de forma simplificada os sistemas reais. 2

3 Um modelo é uma representação simplificada de um sistema real Sistema Real Modelagem Modelo Dedução Conclusões sobre o Sistema Real Interpretação Conclusões do Modelo Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal Fluminense 3

4 Para que serve um modelo? Um modelo é útil quando permite que se chegue a conclusões adequadas sobre o sistema real, dentro de seu limite de aplicabilidade. Como a PO trabalha com modelos matemáticos, a utilidade de um modelo também depende da existência de métodos matemático-computacionais capazes de resolver o modelo. 4

5 Programação Matemática Um modelo de programação matemática é definido por um sistema de equações/inequações. As variáveis representam as decisões a serem tomadas. As equações/inequações representam as restrições que existem sobre essas decisões, refletindo as características do sistema real. Uma função objetivo indica qual dentre as possíveis decisões é a mais desejável (solução ótima). 5

6 Tipos de Modelos de Programação Matemática Programação Linear: todas as restrições e a FO são funções lineares Um número razoável de sistemas reais podem ser bem modelados como PLs Métodos de solução extremamente eficazes, problemas com milhões de variáveis e restrições podem ser resolvidos num laptop 6

7 Tipos de Modelos de Programação Matemática Programação Inteira: todas as restrições e a FO são funções lineares, mas algumas variáveis podem ser obrigadas a terem valores inteiros. Um número enorme de sistemas reais podem ser bem modelados como PIs Métodos de solução bem menos eficazes, problemas com alguns milhares de variáveis e restrições já podem ser intratáveis 7

8 Problema da Dieta Em 1945, o economista George Stigler propôs o problema de calcular o custo mínimo anual de sobrevivência nos EUA. 8

9 Problema da Dieta Segundo os nutricionistas da época, as necessidades de um homem de 70 Kg são: Nutriente Calorias Proteína Cálcio Ferro Vit. A Vit. B1 Vit. B2 Niacina Vit. C Mínimo/dia 3000 kcal 70 g 0,8 g 12 mg 5000 UI 1,8 mg 2,7 mg 18 mg 75 mg 9

10 Problema da Dieta Stigler pesquisou a quantidade desses nutrientes em 77 diferentes alimentos, bem como o custo desses alimentos no atacado. Nutriente Calorias Proteína Cálcio Ferro Vit. A Vit. B1 Vit. B2 Niacina Vit. C Mínimo/dia 3000 kcal 70 g 0,8 g 12 mg 5000 UI 1,8 mg 2,7 mg 18 mg 75 mg 10

11 Problema da Dieta Depois de sucessivas tentativas, Stigler encontrou a seguinte possível dieta: Alimento Farinha de trigo Leite Condensado Repolho Espinafre Feijão Total Quant. 167,8 kg 57 latas 50,3 kg 10,4 kg 129,3 kg Custo $13,33 $3,84 $4,11 $1,85 $16,80 $39,

12 Problema da Dieta Esse custo de $39,93 equivale a cerca de $600 em valores atuais. Em 1947 Dantzig imediatamente percebeu que esse problema poderia ser modelado por PL e encontrou a solução ótima com um custo de $39,69. Essa modelagem logo foi adotada na indústria de rações para animais 12

13 Dados do Modelo N: Número de alimentos considerados M: Número de nutrientes considerados C j : Custo por unidade do alimento j; j=1,...,n Min i : Necessidade mínima do nutriente i; i=1,...,m a ij : quantidade do nutriente i por unidade do alimento j; i=1,...,m, j=1,...,n Os dados de um modelo são conhecidos a priori, ou seja, antes de resolver o modelo. 13

14 Variáveis do Modelo x j : Quantidade do alimento j que deve ser incluída na dieta; j=1,...,n As variáveis de um modelo representam as decisões a serem tomadas, seus valores só serão conhecidos após a resolução do modelo. 14

15 Formulação do Modelo M in S.a. N j= 1 N j= 1 x c a j j ij x x j j Min 0 i i = 1, K, M j = 1, K, N A formulação é o sistema de equações/inequações montado sobre os dados e as variáveis e que deve ser resolvido matematicamente 15

16 Um exemplo com M=2 e N=4 Uma nutricionista de empresa quer montar porções de salada de frutas que contenham pelo menos 3000 UI de vitamina A e 50 mg de vitamina C. As frutas disponíveis no dia são: abacaxi, banana, maçã e melancia. 16

17 Custo por kg e quantidade de nutrientes ,00 3, A C Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal Fluminense 17

18 Programa Linear min 1,50 x 1 + 2,00 x 2 + 3,00 x 3 + 0,80 x 4 7 x x x x x x x 4 50 x 3 A C 18

19 Programa Linear min 1,50 x 1 + 2,00 x 2 + 3,00 x 3 + 0,80 x 4 7 x x x x x x x 4 50 x 3 A C Solução ótima: 88g de maçã e 60g de melancia. Custo: R$ 0,31/ porção 19

20 Todo modelo de PO deve ser criticado antes de ser adotado! Suponha que vc é o gerente de uma granja de frangos e vai usar o modelo do problema da dieta para determinar a composição ótima da ração nesse mês. Vc analisa todos os 73 possíveis ingredientes disponíveis no mercado com respeito a todos os 40 nutrientes considerados importantes para as aves. 20

21 Todo modelo de PO deve ser criticado antes de ser adotado! Mesmo assim, que críticas ainda poderiam ser levantadas sobre a validade do seu modelo? Em outras palavras, que elementos do sistema real ignorados no modelo poderiam fazer com que a solução ótima do modelo fique distante da solução ótima real? 21

22 Hipóteses de modelos de PL que podem levar a críticas Proporcionalidade: o efeito de uma variável na FO e nas restrições é proporcional a seu valor. Aditividade: o efeito total de duas (ou mais) variáveis é a soma dos seus efeitos individuais. Divisibilidade: as variáveis podem assumir valores fracionários. 22

23 Exemplo de crítica e possíveis ações Crítica: os ingredientes só são vendidos em sacas de 60kg Ações: A granja é grande e as compras são da ordem de dezenas de toneladas? Sim => Manter o modelo como está 23

24 Exemplo de crítica e possíveis ações Não, a granja é pequena e as compras são da ordem de centenas de quilos. O excesso comprado em um mês pode ser estocado para o seguinte? Sim => Manter o modelo Não, os ingredientes são perecíveis => Transformar em um modelo de PI 24

25 Todo modelo de PO deve ser criticado antes de ser adotado! É possível que surjam críticas relevantes que não tem como ser rebatidas ou facilmente contornadas. Nesses casos pode ser preciso repensar todo o modelo. 25

26 Problema de Transporte Clássico Suponha que uma empresa de cimento tenha m fábricas, cada uma delas uma capacidade de produção conhecida, que devem atender n cidades, com suas demandas conhecidas. Os custos (em R$) de se transportar uma tonelada de cimento entre uma fábrica e uma cidade qualquer são dados abaixo: m/n

27 Problema de Transporte Clássico As capacidades de produção de cimento (ton), bem como as demandas das cidades (ton), podem ser vistas a seguir: m Capacidade de produção n Demanda das Cidades

28 Problema de Transporte Clássico Determinar quanto cada fábrica deve enviar a cada cidade de maneira a minimizar os custos de transporte. 28

29 O Problema de Transporte é modelado com PL Solução ótima de custo R$ ,00 Quantidades a serem transportadas: m/n

30 Problema do Caixeiro Viajante n cidades p/ visitar Distâncias d ij entre as cidades i e j Escolher uma rota de comprimento mínimo visitando cada cidade uma única vez e voltando ao ponto de partida. 30

31 Problema do Caixeiro Viajante Modelável com PI Problemas muito grandes podem ser resolvidos de forma ótima 31

32 Problema do Roteamento de Veículos K veículos saem de um depósito para fazer entregas em n clientes e depois retornar ao depósito. Cada veículo tem uma capacidade limitada em peso e volume. São conhecidas as distâncias entre o depósito e um cliente e entre cada par de clientes. 32

33 Problema do Roteamento de Veículos Determinar quais clientes devem ser atendidos por cada caminhão e a seqüência de visitação de cada um deles, de forma a não estourar as capacidades e minimizar a distância total percorrida Modelável com PI, difícil de resolver para problemas com > 75 clientes 33

34 Problema do Roteamento de Veículos Modelável com PI, difícil de resolver de forma exata para problemas com > 75 clientes Boas soluções aproximadas (digamos 1% do ótimo) para problemas maiores podem ser obtidas por métodos conhecidos como heurísticas Os erros da aproximação ao se resolver o modelo se somam ao erro da própria modelagem Mesmo, assim os ganhos típicos em relação ao planejamento manual são da ordem de 15-20% 34

35 Problema do Carteiro Chinês Um carteiro tem que entregar correspondência em cada uma das ruas de um bairro, saindo da agência e retornando a ela. Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal Fluminense 35

36 Problema do Carteiro Chinês Determinar o caminho que o carteiro deve seguir para minimizar a distância total percorrida. Em certos casos é modelável por PL, em outros exige PI. De qualquer forma, problemas grandes podem ser resolvidos 36

37 Localização de instalações: Problema das p-medianas n clientes m locais potenciais p/ abrir algum serviço Distâncias d ij entre cliente i e local j Escolher p locais para minimizar a soma das distâncias de cada cliente ao local aberto mais próximo. Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal Fluminense 37

38 Modelo de PI Variáveis (todas binárias): x j (j = 1,..., m) = 1 se o local j é aberto y ij (i = 1,..., n; j = 1,..., m) = 1 se o cliente i é atendido no local j 38

39 39 Formulação { } { } m j x m j n i y p x m j n i x y n i y y d j ij m j j j ij m j ij n i m j ij ij K K K K K K 1, 0,1 1, ; 1, 0,1 1, ; 1, 0 1, 1 S.a Min = = = = = = = = = = = =

40 OBSERVAÇÃO Este material refere-se às notas de aula do curso TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade Federal Fluminense (UFF) e não pode ser reproduzido sem autorização prévia do autor. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos. 40

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