Prof. Silvio Alexandre de Araujo

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1 Prof. Silvio Alexandre de Araujo AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios PROGRAMA 1. Introdução aos problemas de otimização linear 2. Construção de modelos de otimização linear 3. Ferramentas computacionais: linguagens de modelagem e sistemas de otimização 4. Conceitos de Álgebra Linear e Análise Convexa 5. Método simplex 6. Teoria da Dualidade 7. Análise de Sensibilidade 8. Aplicação: Problema do transporte, Problema da Designação, Outros 9. Introdução aos métodos de pontos interiores.

2 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 1. ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H.-Pesquisa Operacional-2007 Editora Campus. 2. Bazaraa, M.S. & Jarvis, J.J., Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons Inc,. New York, Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. Editora Campus. Rio de Janeiro, Macula, N. e Fampa, M. H. C., Otimização Linear, Editora UnB, Willians, H.P. - Model Bulding in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 1. Campelo, R.E e N. Maculan, Algoritmos e Heuristicas, Editora da Universidade Federal Fluminebse, Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3a ed., CHVÁTAL, V. - Linear Programming, W.H. Freeman and Company, DANTZIG. G.B. e TAPPA,M.N. - Linear Programming - 1: Introduction, Springer, Gonzaga, Algoritmos de Pontos Interiores para Programação Linear, 17o Colóquio Brasileiro de Matemática, LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões, Ed. Campus, PRADA, D. Programação Linear, Editora DG, PUCCINI, A.L. e PIZZOLATO, N.D. - Programação Linear, LTC, Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming, Wiley RANGEL, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 1. ed. São Carlos-SP SBMAC, v. único. 82 Critério de Avaliação VERIFICAÇÕES DA APRENDIZAGEM Avaliações 1ª (23/10/13) 2ª (18/12/13) PESO 1 1 Média Final (MF): MF = (P1 + P2) / 2 Se MF>= 5 Aprovado Se MF<5 Prova de Recuperação (PR)-dia 15/01/14 AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios Nota Final = (MF + PR)/2 >= 5 Aprovado

3 1. Introdução Veremos aplicações de Pesquisa Operacional (Operations Research) O termo Pesquisa Operacional : invenção do radar na Inglaterra em 1934 (Operações Militares) Bastante difundida durante a segunda Guerra Mundial Terminado o conflito houve a transferência para as empresas. George Dantzig com o Método Simplex para problema de otimização linear No Brasil a partir de Introdução Objetivos do curso Apresentar a Programação Linear como ferramenta básica da Pesquisa Operacional para formulação e resolução de problemas de otimização; Estudar os métodos clássicos de resolução de problemas de Programação Linear através de aplicações diversificadas; 1. Introdução Pesquisa Operacional: Conjunto de técnicas e métodos matemático/computacionais para auxiliar (otimizar) a tomada de decisões; - modelam problemas de decisão; - desenvolvem métodos matemáticos para otimizar os modelos - desenvolvem softwares para trabalhar com dados, de forma a que o método desenvolvido possa ser aplicado; Voltada para resolução de problemas reais; 1. Introdução Aplicações práticas Roteirização de Veículos Problema: entrega de mercadoria aos clientes. Decisão: quantidade de carga a ser colocada em cada caminhão e quais caminhões irão atender quais clientes. Decisão: otimizar as rotas dos veículos considerando eventual necessidade de reabastecimento. Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas, coleta de lixo urbano, etc. Projeto GENOMA Problema: análise, alinhamento, comparação e busca de características similares em seqüências de nucleotídeos proteínas. Decisão: otimizar o tempo computacional para se fazer tais procedimentos considerando uma grande quantidade de dados; Aplicações: biologia molecular Ensalamento em Escolas e Universidades (Timetabling) Problema: alocação de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas, Decisão: gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maximizar preferências, compactar horários de professores e alunos e utilizar de maneira eficiente equipamentos e salas disponíveis. Aplicações: instituições de ensino

4 1. Introdução Corte de Materiais Problema: cortar peças grandes em pedaços menores de acordo com as demandas dos clientes. Decisão: otimizar a maneira de cortar as peças grandes de modo que o desperdício seja minimizado e que as demandas dos clientes sejam atendidas. Aplicações: industrias de fabricação de vidro, metal, madeira, rolos de papel, colchões, etc. Empacotamento Problema: empacotar itens de modo que o espaço necessário para guardá-los seja o menor possível (inverso do problema de corte) Decisão: otimizar a maneira de empacotar itens minimizando o espaço necessário. Aplicações: paletização de cargas, carregamento de caminhões, etc. Escalonamento de Trabalho Humano Problema: alocar funcionários às tarefas. Decisão: otimizar tais alocações considerando restrições trabalhistas e restrições operacionais de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam minimizados Aplicações: companhias aéreas, centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc. 1. Introdução Localização de Facilidades Problema: deseja-se determinar quais os melhores locais para instalação das facilidades Decisão: otimizar as decisões sobre as localizações de forma que todos os clientes sejam atendidos a um custo mínimo. Aplicações: instalação de depositos industriais, pronto-socorro, corpo de bombeiros. Projeto de Redes Problema: projetar redes com algumas restrições de conectividade. Decisão: otimizar as ligações da rede com o menor custo possível de forma que nós importantes tenham a comunicação assegurada (inclusive com rotas alternativas para o caso de problemas de conectividade) enquanto outros menos importantes e podem servir apenas como um nó intermediário Aplicações: construção de redes em geral, energia, telefonia, computadores, etc. 1. Introdução Dimensionamento de Lotes (Planejamento de Produção) Problema: planejar a produção para um determinado horizonte de tempo. Decisão: decidir quanto deve produzir a cada período de forma a atender toda a demanda e minimizar os custos. Pode-se considerar restrições de capacidade de produção. Aplicações: industrias em geral; Sequenciamento de Tarefas em Máquinas Problema: fabricar determinado produto final a partir da execução de pequenas tarefas operacionais. Decisão: otimizar a ordem em que as tarefas devem ser processadas em cada máquina de forma a minimizar o tempo de produção. As tarefas podem ter regras de precedência entre si. Aplicações: industrias em geral; AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios

5 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Sistema Real Sistema Real Definição e Descrição do Problema Simplificações Definição e Descrição do Problema Simplificações Modelo Matemático Modelo Matemático Diversos Exemplos Aplicações Roteirização, GENOMA, Localização, Corte, Empacotamento, Dimensionamento de Lotes, Sequenciamento de Tarefas, dentre outras 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Um Exemplo Simples: da Prática para Matemática Uma empresa de consultoria financeira tem um capital disponível para novos investimentos. Ela préselecionou 16 bons investimentos com diferentes níveis de risco e de retorno. A decisão a ser tomada consiste em escolher ou não determinado investimento. Matematicamente podemos considerar esta decisão utilizando uma variável binária: para j=1,...,16 w j = 1 se o investimento j for selecionado 0 caso contrário 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros projetos deve ser escolhido 8 w 1 j= 1 b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 16 j= 9 j j w 3 c) dentre os projetos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 = 1 d) o projeto 11 pode ser selecionado só se o 2 também for w 11 w 2

6 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Exemplo com Números: da Prática para a Matemática Elementos Conhecidos: Uma empresa tem $ de capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bons investimentos cujos respectivos retornos esperados em termos de valor presente são $16.000, $22.000, $ e $8000. Cada investimento só pode ser feito uma única vez e necessita um desembolso imediato de $5000, $7000, $4000 e $3000, respectivamente. Formule um modelo matemático que determine os investimentos que maximizam o retorno esperado. Para construir um modelo matemático devemos considerar os seguintes fatores: Elementos Desconhecidos: o que queremos determinar? Função Objetivo: qual o objetivo que queremos otimizar? Restrições: quais são as restrições que devem ser consideras? 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Elementos Desconhecidos: Variáveis de decisão (para j=1,...,4) 1 se o investimento j for escolhido x j = 0 caso contrário Modelo matemático: Função Objetivo: max z = 16 x x x x 4 Restrições: sujeito a 5 x x x 3 + 3x 4 <= 14 x j = 0 ou 1; j=1,2,3,4 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Considere agora as restrições adicionais: 1. Só é possível fazer no máximo 2 dos 4 investimentos. 2. Se se decidir pelo investimento 2, então tem-se que fazer também o 1 3. Se se decidir pelo investimento 2, então não se pode fazer o 4. Exercício: Modele estas novas situações: 1. x 1 + x 2 + x 3 + x x 2 x 1 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Modelo Final: max z = 16 x x x x 4 sujeito a 5 x x x 3 + 3x 4 <= 14 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 <=2 x 2 <= x 1 x 2 + x 4 <= 1 x j = 0 ou 1; j=1,2,3,4 3. x 2 + x 4 1

7 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Sistema Real Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real Definição e Descrição do Problema Simplificações Definição e Descrição do Problema Simplificações Modelo Matemático Algumas Classes de Problemas de Pesquisa Operacional Modelos de Programação Linear Modelos de Programação Inteira Modelos de Programação Não linear Modelos de Programação Inteira Mista Modelo Matemático Classes de Problemas de Pesquisa Operacional Modelos de Programação Linear Modelos de Programação Inteira Modelos de Programação Não linear Modelos de Programação Inteira Mista Construção de Modelos Matemáticos Sistema Real 2. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática Sistema Real Definição e Descrição do Problema Simplificações Definição e Descrição do Problema Simplificações Modelo Matemático Modelos de Programação Linear Restrições e Função Objetivo Lineares e Variáveis Contínuas Características: Proporcionalidade, Aditividade e Divisibilidade Implementação Solução do Modelo Modelo Matemático

8 AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios. 3. Diferentes Classes de Problemas de Otimização (OL): - Se a função-objetivo e as restrições forem lineares. - Se variáveis puderem assumir qualquer valor real, temos um modelo de otimização linear contínuo (OL). min z = c T sujeitoa : 1 2 Ax b x x 0, x R Exemplo OL: max z=10x 1 +6x 2 sujeito a: 9x + 5 x 45-4x1 + 5x2 5 -x 1 - x 2-1 x 0, x R 2 9 Observe que, neste exemplo: c T =(10, 6), A = 4 1 n onde: c R n, A R m x n, b R m b = 5 1 x1 x = x2 7 z = Diferentes Classes de Problemas de Otimização (OI): - Se no Modelo anterior restringirmos as variáveis de forma que só possam assumir valores inteiros, teremos um modelo de otimização linear inteira (OI). - Em alguns modelos os valores inteiros que as variáveis podem assumir são 0 e 1 (variáveis binárias). T min z = c sujeitoa : Ax b Exemplo OI: max z=10x 1 +6x 2 sujeito a: x x 0, x Z 9x1 + 5 x2 45-4x1 + 5x2 5 -x 1 - x 2-1 x 0, x Z 2 n Solução ótima x=(5,0) e z=50 - Solução do exemplo OL está bem distante da solução do exemplo OI. - A solução arredondada (3, 3) também está distante;. 3. Diferentes Classes de Problemas de Otimização (OIM): Em determinadas circunstâncias interessa que apenas um subconjunto de variáveis esteja restrito a assumir valores inteiros. Neste caso, temos um modelo de otimização inteira mista (OIM). min z = c sujeito a : Ax b x 0, x Exemplo OIM: max z=10x 1 +6x 2 sujeito a: T j x Ζ, j = 1,..., p ( p < n) 9x1 + 5 x2 45-4x1 + 5x2 5 -x 1 - x 2-1 x 0, x 1 R 1, x 2 Z 1. solução ótima 1 x = (3,3) 3 e 1 z = 51 3

9 3. Diferentes Classes de Problemas de Otimização (ONL): Modelos tais que a função-objetivo é não linear e/ou o conjunto de restrições é formado por equações ou inequações não lineares são chamados de modelos de otimização não-linear (ONL). AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações Construção de um Modelo de Programação Linear: Problema da Mistura Descrição do Problema: uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a minimizar o custo de produção desta liga

10 Ingredientes Composição % Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Matéria-prima: ingredientes Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Carbono 0.43 Silício 0.19 Manganês 0.12 Liga Metálica (Mistura) Fabricação da Peça

11 Ingredientes Composição % Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Carbono 0.43 Silício 0.19 Manganês 0.12 Construção de Modelos Construindo um modelo para o Problema da Mistura Neste problema temos: elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes elementos desconhecidos: quanto colocar de cada ingrediente na mistura objetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baixo custo restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima de componentes Construção do Modelo Variáveis de decisão: - A mistura deve ser feita a partir da mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - x j : quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura - Função Objetivo: Minimizar 90 x x x x 4 Objetivo Obter a mistura de menor custo possível. Proporcionalidade: 1 tonelada de lingote ==> R$ 90,00 2 toneladas de lingote ==> R$ 180,00 x1 toneladas de lingote ==> R$ 90* x1 gasto associado a quantidade de grafite na mistura: R$ 180 * x2 Aditividade gasto total com lingote e grafite é dado pôr: R$ 90 x x2 Construção do Modelo Variáveis de decisão: - A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - x j : quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura - Função Objetivo: Minimizar 90 x x x x 4 - Restrições de Composição Mínima: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) :C 0.20 x x x x 4 30 (0.19) :Si 0.23 x x x x (0.12) :Mn - Restrições de Atendimento da Demanda: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 - Restrições de Não Negatividade das Variáveis: x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 (Divisibilidade x j R)

12 Modelo Matemático Minimizar 90 x x x x 4 Sujeito a: 0.50 x x x x 4 30 (0.43) 0.20 x x x x 4 30 (0.19) 0.23 x x x x 4 30 (0.12) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0 Conceitos Básicos de Modelagem Matemática A partir da observação de fenômenos, processos ou sistemas (físicos, químicos, biológicos, econômicos) buscam-se leis que os regem; Tais leis, se passíveis de serem descritas por relações matemáticas, dão origem aos modelos matemáticos; O modelo matemático é uma representação simplificada do problema real PO é tanto ciência quanto arte: ciências por causa das técnicas matemáticas envolvidas; arte por causa da criatividade e experiência necessárias para a construção de modelos Extensão 1: suponha que novos clientes tenham surgido e esses são mais exigentes com as especificações Modelo Matemático: exercício Ingredientes Composição % Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máxima Carbono Silício Manganês Minimizar 90 x x x x 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.19) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.12) 0.23 x x x x 4 30 (0.35) :Mn x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 x 1 0; x 2 0; x 3 0; x 4 0

13 Extensão 2: suponha que devido a uma elevação no nível de exportação passou a ocorrer falta de matéria-prima de forma que os estoques ficaram limitados Ingredientes Composição % Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono Silício Manganês Custo R$/ton Estoque (ton) Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máxima Carbono Silício Manganês Modelo Matemático: exercício Minimizar 90 x x x x 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 x x x x 4 30 (0.65) :C 30 (0.19) 0.20 x x x x 4 30 (0.30) :Si 30 (0.12) 0.23 x x x x 4 30 (0.35) :Mn x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 30 0 x 1 50; 0 x 2 50; 0 x 3 12; 0 x 4 10 Solução Mistura: x 1 = 12; x 2 = 0; x 3 = 12; x 4 =6 Valor do f.o.=1590 Componentes Formulação Genérica Ingredientes Composição 1 2 n Min Max 1 a 11 a 12 a 1n l 1 u 1 2 a 21 a 22 a 2n l 2 u m a m1 a m2... a mn l m u m Custo Ingrediente c 1 c 2 c n Estoque Ingrediente E 1 E 2 E n Demanda de Q unidades da Mistura Formulação Genérica: exercício minimizar f(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n sujeito a: l 1 Q a 11 x 1 + a 12 x a in x n Q u 1 l 2 Q a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n Q u 2 : l m Q a m1 x 1 + a m2 x a mn x n Q u m x 1 + x x n = Q 0 x 1 E 1 ; 0 x 2 E 2 ;... ; 0 x n E n ; Dados do Problema: Q : quantidade de mistura a ser produzida; a ij : fração do componente i no ingrediente j ; l i : fração mínima do componente i na mistura ; u i : fração máxima do componente i na mistura ; c j : custo de uma unidade do ingrediente j. E j : quantidade em estoque do ingrediente j. Variável do Problema: x j : quantidade do ingrediente j a ser colocada na mistura.

14 Tela Inicial Composição de cada Liga Composição de cada Ingrediente Composição de cada Liga

15 Cálculo da Liga Problema da Mistura de Ligas Metálicas Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 725,55 554,21 31,1 CF-8M 1066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,01 31,6 CA ,48 195,87 16,1 Diferença Significativa considerando que a indústria produz 10 cargas por dia Dificuldades Encontradas Durante o Desenvolvimento Melhorias Obtidas Durante o desenvolvimento do programa foram detectados vários problemas Problemas Resolvidos Após o Desenvolvimento do Programa - Composição Química dos Ingredientes Incorreta; - Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos; - Informações de Estoques Incorretas; - Custos de Estocagem Imprecisos, etc. - Melhoria na Qualidade de Informações Básicas; - Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores; - Melhoria da Qualidade da Liga Feita; - Redução nos Custos das Ligas; - Melhoria no Armazenamento de Novas Informações

16 Melhorias Obtidas Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações Passos para Resolução do Problema Modelagem Matemática - Simular para Estabelecer Preço de Venda - Simular para Discutir Preço de Compra - Simular para Prazo de Entrega aos Clientes - Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima Organização dos dados Implementação computacional: Método Simplex Desenvolvimento da Interface 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações

17 Problema de Corte e Empacotamento Problemas de corte de dimensões maiores

18 Problema de Corte de Bobinas de Aço AULA DE HOJE 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios 6. Considerações Finais Infelizmente, ainda é pequeno o número de empresas que utilizam em seus processos alguma técnica de otimização. Isto se deve, principalmente, a uma falta de conhecimento a respeito do poder real de tais técnicas. É muito comum que as empresas não tenham consciência de que certas tarefas são passíveis de otimização ( sempre funcionou tão bem assim, não é mesmo? ). Considerações Finais Felizmente, essa situação vem se alterando. É cada vez maior o número de companhias que adotam modelos de otimização No Brasil, esse processo vem ganhando força mas ainda é incipiente. As empresas brasileiras ainda estão organizando os dados e, não conseguem fornecer dados de maneira adequada Nos demais países, principalmente na Europa e nos Estados Unidos, a utilização de técnicas de otimização dentro das empresas é bem mais difundida.

19 AULA DE HOJE 7. Exercícios 1. Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas 2. Introdução 3. Conceitos Básicos de Modelagem Matemática 4. Diferentes Classes de Problemas de Otimização 5. Exemplos: Problema da Mistura e outras aplicações 6. Considerações Finais 7. Exercícios Produção de rações: 7. Exercícios Uma agro-indústria produz rações para dois tipos de animais Essas rações são preparadas fazendo-se uma mistura de farinhas de quatro ingredientes básicos: milho, osso, soja e resto de peixe Cada um desses ingredientes contém diferentes quantidades de dois nutrientes necessários à uma boa dieta nutricional: proteína e cálcio O nutricionista especifica que as rações devem atender às exigências mínimas e máximas de composição desses nutrientes O mercado define os custos unitários de cada tipo de ingrediente A produção deve ser baseada nas disponibilidades em estoque das matérias-primas e a demanda de mercado deve ser atendida. Rações Composição Ingredientes Nutrientes % Milho Osso Soja Peixe Proteína Cálcio Estoque (ton) Custo R$/ton Ração Animal 1 Ração Animal 2 Proteína Cálcio Demanda (ton) Exercício Determinar as quantidades de cada ingrediente que devemos misturar para que satisfaça às restrições nutricionais, de disponibilidade e de consumo, com o mínimo custo.

20 Considerações sobre o Exercício Duas misturas devem ser produzidas a partir dos mesmos ingredientes em quantidades diferentes: As quantidades Mínimas e Máximas de cada componente dependem da mistura que está sendo feita As limitações de estoque devem ser consideradas para as duas misturas Sugestão: Ingredientes: misturas: x 11 E 1 x 12 2 E 2 Variáveis: x jk =qde. do ingrediente j na mistura k. 2 E n 1 x n1 n x n2 1 Resposta do Exercício Minimizar 27x x x x x x x x 42 Sujeito a: 19 (0.4) 0.5x x x x 41 19(0.5) :Proteína 19 (0.3) 0.6x x x x 41 19(0.6) :Cálcio 12 (0.3) 0.5x x x x 42 12(0.5) :Proteína 12 (0.5) 0.6x x x x 42 12(0.8) :Cálcio x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 19 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 12 0 x 11 + x 12 10; 0 x 21 + x 22 10; 0 x 31 + x 32 14; 0 x 41 + x Solução Animal 1: x 11 = ; x 21 = 10; x 31 = 0; x 41 = Animal 2: x 12 = ; x 22 =0 ; x 32 = ; x 42 = Valor do f.o.= Formulação Genérica: exercício (casa) minimizar f(x 11, x 21,, x n1 ; x 12, x 22,, x n2 ;.;x 1k x 2k,, x nk ) = c 1 x 11 + c 2 x c n x n1 + c 1 x 12 + c 2 x c n x n2 + + c 1 x 1k + c 2 x 2k + + c n x nk sujeito a: l 11 Q 1 a 11 x 11 + a 12 x a in x n1 Q 1 u 11 l 21 Q 1 a 21 x 11 + a 22 x a 2n x n1 Q 1 u 21 : l m1 Q 1 a m1 x 11 + a m2 x a mn x n1 Q 1 u m1 Repetir k vezes (uma para cada mistura) x 11 + x x n1 = Q 1 x 12 + x x n2 = Q 2.. x 1k + x 2k x nk = Q k 0 x 11 +x x 1k E 1 ; 0 x 21 +x x 2k E 2 ;...; 0 x n1 + x n2 + + x nk E n Desafio 1 (Programação Linear) - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4 Sub Sub Sub Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrever modelos matemáticos compactos usando a forma literal

21 Capacidade das subestações Demanda das Cidades s 1 =35 Sub1 s 2 =50 Sub2 s 3 =40 Sub3 Desafio 1 (Programação Linear) x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 Cid1 d 1 =45 Cid1 d 2 =20 Cid1 d 3 =30 Cid1 d 4 =30 Modelagem Matemática Elementos Presentes na Modelagem Matemática dados do problema: são constantes conhecidas função objetivo: qualifica as soluções restrições do problema: limitam as decisões a serem tomadas variáveis de decisão: são incógnitas do problema Modelagem Matemática: forma geral Minimizar ou Maximizar Função objetivo sujeito a Restrições do Problema - equações ou inequações Restrições sob as Variáveis de Decisão Construção de Modelos: exercício Variável de decisão: x ij = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade j Modelo Matemático: min z = 8x x x x x x x x x x x x 34 sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 35 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 50 Restrições de capacidade x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 40 x 11 + x 21 + x 31 = 45 x 12 + x 22 + x 32 = 20 x 13 + x 23 + x 33 = 30 x 14 + x 24 + x 34 = 30 x ij 0 i=1,2,3 e j=1,2,3,4 Restrições de demanda Variáveis de Decisão Construção de Modelos: exercício Modelo de Transporte em forma literal: possibilita a representação compacta de modelos com muitas variáveis e restrições min z = n j= 1 m i= 1 ij ij ij m sujeito a : n i = 1 j = 1 i j c x x = s i = 1,...,m x = d j = 1,...,n ij x 0 i = 1,...,m j = 1,...,n Observe que: c ij, s i e d j são os: ij Função Objetivo Restrições de capacidade Restrições de demanda Variáveis de Decisão Dados do Problema

22 Resposta (Programação Linear) - Considere o Problema: A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são: Resp. Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade Sub Sub Sub Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico? Capacidade das subestações s 1 =35 s 2 =50 s 3 =40 Resposta (Programação Linear) Sub1 Sub2 Sub3 x 11 =0 x 12 =10 x 14 =0 x 21 =45 x22 =0 x 24 =0 x 23 =5 x 13 =25 x 31 =0 x 32 =10 x 33 =0 x 34 =30 Demanda das Cidades Cid1 d 1 =45 Cid1 d 2 =20 Cid1 d 3 =30 Cid1 d 4 =30