Lista de Exercícios 1 - Otimização Linear Prof. Silvio Alexandre de Araujo. Construção de Modelos e Solução Gráfica

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1 Lista de Exercícios 1 - Otimização Linear Prof. Silvio Alexandre de Araujo Construção de Modelos e Solução Gráfica 1) - Estudar Capítulo 1 do livro texto; - Estudar Capítulo 2 do livro texto (seções 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5); - Estudar e resolver os exercícios deixados nas transparências Aula01 e Aula02 que estão na minha página; 2) Resolver os seguintes exercícios retirados do livro: ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H.-Pesquisa Operacional-2007, Editora Campus. Exercício 2.1 Considere o problema da mistura definido na seção 2.2. Suponha que as frações dos componentes na mistura sejam limitadas inferiormente e superiormente por: min b i e max b i, i = 1,..., m, respectivamente. Estenda o modelo matemático para o problema da mistura, considerando estes limitantes. Exercício 2.2 Considere a extensão do problema da mistura no exercício 2.1. Suponha que se deseja produzir a quantidade Q da mistura (por exemplo, 360kg) e os ingredientes estão disponíveis em estoque nas quantidades E j, j = 1,..., n. Estenda o modelo matemático da mistura. (Sugestões: Considere a variável x j como sendo a quantidade do ingrediente j em Q unidades da mistura. O total dos ingredientes agora deve somar Q e mínima do componente i em Q unidades da mistura). min b i Q é a quantidade Exercício 2.3 Uma fundição tem de produzir 10 toneladas de um tipo de liga metálica e, para isto, tem disponível: lingotes de ferro, grafite e sucata. Dois componentes são relevantes para a liga: carbono e silício. A tabela a seguir fornece a fração destes elementos nos ingredientes disponíveis, seus custos unitários, suas disponibilidades em estoque, bem a composição da liga (i.e., porcentagens mínimas e máximas de cada componente na liga). Escreva um modelo de otimização linear para determinar as quantidades dos ingredientes para comporem a liga metálica, de modo que as especificações técnicas sejam satisfeitas e o custo seja mínimo. Transforme o modelo na forma padrão.

2 Tabela 2.26 composição dos ingredientes ingredientes liga Composição (%) lingotes grafite sucata composição mínima composição máxima Carbono silício Custos (R$/ton) Estoque (ton) Exercício 2.4 Considere a extensão do problema da mistura no exercício 2.2. Suponha que K misturas devem ser produzidas a partir dos mesmos ingredientes (por exemplo, rações para caninos, felinos, galináceos, etc.), nas quantidades Q k, k = 1,..., K. Considere min b ik e max bik as frações mínimas e máximas do componente i na mistura k, i = 1,..., m, k = 1,..., K. Os custos unitários dos ingredientes são c j, j = 1,..., n. Estenda o modelo matemático do exercício 2.2 para várias misturas, de modo cada mistura k atenda as especificações técnicas e o custo total seja mínimo. (Sugestão: seja x jk a quantidade do ingrediente j na mistura k e x j1 + x j x jk é o total do ingrediente j utilizado em todas as misturas, que não pode superar a quantidade em estoque do ingrediente j). Exercício 2.5. Considere o problema no exercício 2.3. Suponha agora que duas ligas metálicas devem ser preparadas e os mesmos ingredientes são utilizados em ambas. A liga especificada no exercício 2.3 é referida como liga 1 e Q 1 = 10 toneladas desta liga deve ser produzida. A outra liga, referida como liga 2, deve ser produzida Q 2 = 6 toneladas e sua composição é dada a seguir. Tabela 2.27 composição da liga 2 Liga 2 composição composição mínima composição máxima Carbono silicio

3 Escreva um modelo de otimização linear para a produção das duas ligas. Transforme o modelo obtido na forma padrão. Exercício 2.6 Considere o problema da mistura na seção 2.2. Suponha que os ingredientes estejam divididos em três classes: C 1, C 2 e C 3, isto é, o conjunto de todos os ingredientes: {1,2,...,n} = C 1 C 2 C 3 (por exemplo, uma dieta alimentar é constituída de carnes, que constituem a classe 1, cereais a classe 2, verduras e legumes a classe 3). A mistura deve ter: de 20% a 30% de ingredientes da classe C 1, de 50% a 60% de C 2 e de 30% a 40% de C 3. Escreva um modelo matemático, em que as composições especificadas sejam atendidas (veja o modelo da seção 2.2) e as novas restrições de classe sejam verificadas. (Sugestões: o modelo pode ser escrito considerando que j C 1 x j é quantidade de ingredientes da classe 1, ou supondo que os ingredientes estejam organizados por classe: C 1 = {1,2,...,j 1 }, C 2 = j1 {j 1 +1,..., j 2 },... e x é a quantidade de ingredientes da classe 1). j = 1 j Exercício 2.7 Considere o problema da mistura no exercício 2.1. Em algumas aplicações, é indesejável que um número grande de ingredientes seja utilizado, por razões operacionais. Suponha que no máximo três ingredientes devam ser utilizados na mistura. Uma abordagem heurística para considerar esta nova restrição pode ser a seguinte. Suponha que o problema da mistura seja resolvido, sem a restrição de três ingredientes, e a solução envolve 4 ingredientes, digamos, x 1 >0, x 2 >0, x 3 >0, x 4 >0 (as demais variáveis têm valores nulos, ou seja, os demais ingredientes não são escolhidos para constituir a mistura). Este é um problema relaxado, pois não inclui todas as restrições do problema. Como se deseja usar apenas três ingredientes, podemos resolver problemas menores, combinando-se os três ingredientes que aparecem na solução: 1 2 3, ou 1 2 4, ou 2 3 4, isto é, resolvendo-se problemas com menos variáveis (x 1, x 2, x 3, ou x 1, x 2, x 4, ou x 2, x 3, x 4 ) e decidindo-se pela melhor solução. (Esta abordagem heurística pode funcionar bem, mas a melhor solução pode envolver outro ingrediente que não foi usado na solução relaxada, pois as três alternativas podem não ter solução factível). Formule um modelo matemático para incluir a nova restrição (Sugestão: Defina y j uma variável que assume apenas valores 0 ou 1, de modo que: y j = 1 se x j > 0 e y j = 0, caso contrário. As restrições x j y j descrevem estas

4 restrições lógicas. A soma destas variáveis fornece o número de ingredientes usados na mistura. Tais modelos são estudados no capítulo 3 Otimização discreta). Exercício 2.8 * Considere a extensão do problema da mistura no exercício 2.2. Suponha, em adição, que a demanda ocorra em períodos de um horizonte de planejamento, digamos, Q 1, Q 2,..., Q T são as quantidades (em toneladas) da mistura que devem estar disponíveis ao final dos períodos 1, 2,..., T (por exemplo, Q 1 é a quantidade de uma ração que deve estar disponível no final da semana 1). A capacidade do misturador no período t, em quantidade de mistura, é limitada por C t (os períodos podem corresponder a intervalos de tempo variados e, portanto, a capacidade pode variar por período. Por exemplo, os períodos 1 e 2 podem ser um dia de trabalho e o período 3 pode ser 4 dias. Isto é comum na prática, em que os períodos iniciais são detalhados e os períodos finais agregados, pois os dados estão sujeitos a alterações e somente as decisões correspondentes aos primeiros períodos são de fato implementadas. Depois de implementar as decisões dos primeiros períodos, diz-se que o horizonte é rolado, com novos dados incluídos, e o problema resolvido novamente. Esta estratégia é conhecida como horizonte rolante 1 ). A demanda num período pode ser maior do que a capacidade de produção, de modo que se faz necessário antecipar a produção e manter o produto em estoque (veja os modelos dinâmicos de planejamento da produção da seção 2.2, pois a solução lote-por-lote, isto é, produzir para a demanda, pode ser infactível) e os custos de produção podem variar de um período para outro (custos de energia elétrica, hora extra, etc.). Considere c t ($/tonelada) o custo de produzir uma tonelada da mistura no período t e d t ($/tonelada) o custo de estocar uma tonelada da mistura no final do período t. Seja E j1 o estoque do ingrediente j, j = 1,..., n, disponível para o período 1. Considere que haja reposição do estoque do ingrediente j ao longo do horizonte de planejamento (compras efetuadas anteriormente), digamos, E jt é a quantidade de ingrediente j a ser adicionada ao estoque do ingrediente j no período t. Escreva um modelo matemático para determinar como devem ser as produções da mistura em cada período, de modo que a demanda seja atendida em cada período, bem como as misturas atendam as especificações técnicas, isto é, com a composição dentro dos limites definidos e o custo de produção e estocagem sejam minimizados. (Sugestão: Defina a variável x jt como sendo a quantidade do ingrediente j no

5 total de mistura produzida no período t. A quantidade z t = x 1t x nt é o total produzido da mistura no período t e não é necessariamente igual a Q t. Defina também a variável I t como a quantidade de mistura em estoque no final do período t). Proponha uma extensão desse modelo para o caso de várias misturas (exercício 2.4). Exercício 2.9 Devido à grande permeabilidade, areias são usadas na constituição de filtros de Estações de Tratamento de Águas de abastecimento (ETA) como meio filtrante, por interceptar impurezas existentes na água afluente. Essas areias são dispostas em camadas, que devem obedecer às composições granulométricas estabelecidas por norma técnica, por exemplo, nas seguintes quantidades: Tabela 2.28 composição de um filtro Faixa granulométrica (mm) Volume de areia ( m 3 ) 0,42 0, ,59 0, ,71 0, ,84 1, ,00 1, ,19 1,41 8 Para construção das unidades de filtração de uma ETA, areias são exploradas de diferentes portos, com composições granulométricas distintas. Os custos totais de dragagem, transporte, seleção e preparo para a utilização da areia são conhecidos por unidade de volume (m 3 ) para cada porto. Na tabela a seguir, as composições granulométricas de dois tipos de areia são fornecidas, além dos custos totais. Por exemplo, 17% da areia proveniente do porto 1 tem os diâmetros de seus grãos entre 0,42mm e 0,59mm, 16% entre 059 e 0,71, etc. e custa $ 25,00 por m 3. 1 Araújo e Arenales (2004) utilizam a técnica de horizonte rolante na programação da produção em uma fundição de grande porte.

6 Tabela 2.29 composição das areias disponíveis Volume de areia / m 3 Faixa granulométrica (mm) porto 1 porto 2 0,42-0,59 0,17 0,13 0,59-0,71 0,16 0,11 0,71-0,84 0,18 0,14 0,84-1,00 0,10 0,09 1,00-1,19 0,09 0,12 1,19-1,41 0,05 0,07 custo ( $/m 3 ) 25,00 19,00 Escreva um modelo matemático de otimização linear para determinar a combinação das diferentes areias de modo a atender às especificações da norma, com o custo mínimo possível. Exercício 2.13 Os esgotos de três cidades, A, B, e C, depois de passarem por uma estação de tratamento, são jogados num rio, conforme a figura seguinte. Os esgotos das três cidades produzem quantidades diárias de poluente, respectivamente, P A, P B e P C toneladas. O tratamento do esgoto pode reduzir a quantidade de poluentes em até 90%. Essa redução é denominada eficiência da estação de tratamento e o custo da estação i é diretamente proporcional à sua eficiência. Trecho AB Trecho BC Estação A Estação B Estação C A B C Cidade Cidade Cidade Figura Lançamento de esgoto num rio

7 Por outro lado, devido à ação bioquímica (aeração, etc.), no final de cada trecho AB e BC do rio, a quantidade de poluentes é reduzida em 10% e 20% respectivamente. Quais são as eficiências das estações de tratamento, de modo que em qualquer ponto do rio a quantidade de poluentes não ultrapasse P toneladas e o custo das estações de tratamento seja mínimo? Escreva um modelo de otimização linear para este problema. Exercício 2.14 Considere o problema de corte de bobinas na seção 2.2 e o modelo de otimização linear em (2.19). (a) Suponha que haja uma tolerância τ i na demanda do item i, isto é, os clientes aceitam qualquer quantidade do item i no intervalo [(1 τ i )b i (1+τ i )b i ]. Reformule o modelo (2.19) para considerar esta tolerância. (b) Escreva um modelo para o exemplo 2.10, considerando uma tolerância de τ i = 0,05 (isto é, ±5%, de modo que a demanda do item de tamanho l 1 = 40 é qualquer valor entre 4,75 e 5,25 toneladas). Exercício 2.15 * Considere por simplicidade o modelo de corte de bobinas (2.16), com a tolerância no exercício Como a função objetivo busca minimizar a quantidade de bobinas cortadas, com a tolerância introduzida, a solução do problema deve atender a demanda minimamente (menor a demanda, menor a quantidade cortada), que não necessariamente é de interesse da empresa. Reformule a função objetivo de modo que a contribuição ao lucro da empresa seja maximizado, considerando que o custo de cada bobina é $ c, o preço de venda do item i é $ p i. Além disso, cada cm de sobra é vendido por $ s. (Sugestão: Cortar x 1 bobinas conforme o padrão de corte 1 produz a i1 x 1 itens i vendidos m por $ p i a i1 x 1, de modo que $ piai 1 x1 é valor das vendas dos itens decorrente do uso do i= 1 padrão de corte 1. O comprimento, em cm, da sobra no padrão de corte 1 é m L i= 1 l a i i1 de m modo que $ s L a l i i 1 x1 é o valor da venda da sobra devido ao uso do padrão de corte 1. i= 1 O custo das bobinas cortadas pelo padrão de corte 1 é $ cx 1. O preço total de vendas menos o custo define a contribuição ao lucro da empresa a ser maximizado).

8 Exercício 2.16 Uma nova máquina deve ser instalada numa fábrica cujo piso tem formato retangular e os cantos opostos têm as seguintes coordenadas (unidade em metros): ( 40 40) T e (40 20) T. Existem quatro máquinas já instaladas nas posições: (0 0) T, ( 40 40) T, ( 30 10) T e ( 35 0) T. Formule um modelo matemático para determinar a localização ótima da nova máquina, considerando que: i) a distância entre a nova máquina e as demais seja mínima. Use a distância reticulada (como se o deslocamento fosse por ruas de uma cidade), isto é, se x 1 e x 2 são as coordenadas da nova máquina, então a distância entre a nova máquina e outra instalada na posição (y 1 y 2 ) T é dada por: x 1 y 1 + x 2 y 2. Transforme o problema na forma linear (veja os exemplos de ajuste de curvas e controle ótimo na seção 2.2). ii) as movimentações de itens por hora, entre a nova máquina e as já instaladas, são dadas por: 10, 8, 15, 0. Reformule o problema para que a distância total percorrida pelos itens seja minimizada. iii) a instalação da nova máquina deve ser tal que: x Reescreva os modelos em (i) e (ii) com esta nova restrição.