ARA Pesquisa Operacional

Transcrição

1 ARA Pesquisa Operacional Aulas 1, 2 e 3: Introdução e Modelagem Álvaro J. P. Franco 17 de agosto de 2015 Aula baseada nos livros de Chvátal, Dantzig e Thapa, CLRS, e Goldbarg e Luna

2 Bibliografia Livro 1: Linear Programming de Chvátal (em processo de compra). Livro 2: Linear Programming: 1. Introduction de Dantzig, e Thapa (biblioteca ARA). Livro 3: Introduction to Algorithms de Cormen, Leiserson, Rivest, Stein (biblioteca ARA). Livro 4: Integer Programming de Wolsey (em processo de compra). Livros 5, 6,... Qualquer livro sobre Pesquisa Operacional da biblioteca ARA.

3 O que é Pesquisa Operacional (PO)? É um ramo interdisciplinar da Matemática Aplicada que faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisões. (Wikipedia) Onde encontramos PO: nas universidades (UFSC, UFRJ, UFMG, UFG, USP, UNICAMP,...); nas multinacionais (Google, Yahoo, Microsoft, IBM,...); em grandes industrias e empresas,...

4 Alguns problemas para motivar o uso da PO Dados um mapa com as cidades e a distância entre cidades vizinhas, encontrar um caminho com a menor quilometragem possível entre Araranguá e Fortaleza.

5 Alguns problemas para motivar o uso da PO Dados um mapa com as cidades e a distância entre cidades vizinhas, encontrar um caminho com a menor quilometragem possível entre Araranguá e Fortaleza. Dados um mapa de uma cidade, e pares (origem, destino) de vários veículos, encontrar as rotas para cada veículo de tal forma a minimizar a distância total percorrida por todos os veículos.

6 Alguns problemas para motivar o uso da PO Dados um mapa com as cidades e a distância entre cidades vizinhas, encontrar um caminho com a menor quilometragem possível entre Araranguá e Fortaleza. Dados um mapa de uma cidade, e pares (origem, destino) de vários veículos, encontrar as rotas para cada veículo de tal forma a minimizar a distância total percorrida por todos os veículos. Dados caixas com seus determinados volumes, e um baú de um caminhão, encontrar (se possível) uma forma de empacotar as caixas no baú.

7 Alguns problemas para motivar o uso da PO Dados um mapa com as cidades e a distância entre cidades vizinhas, encontrar um caminho com a menor quilometragem possível entre Araranguá e Fortaleza. Dados um mapa de uma cidade, e pares (origem, destino) de vários veículos, encontrar as rotas para cada veículo de tal forma a minimizar a distância total percorrida por todos os veículos. Dados caixas com seus determinados volumes, e um baú de um caminhão, encontrar (se possível) uma forma de empacotar as caixas no baú....

8 Plano de Ensino

9 Programação Linear Programação matemática é um ramo da matemática que trabalha com técnicas para maximizar ou minimizar uma função objetivo sujeito a restrições sobre variáveis lineares, não-lineares, e inteiras. Dantzig e Thapa

10 Programação Linear Programação matemática é um ramo da matemática que trabalha com técnicas para maximizar ou minimizar uma função objetivo sujeito a restrições sobre variáveis lineares, não-lineares, e inteiras. Dantzig e Thapa Programação linear trabalha com a maximização ou minimização de uma função objetivo linear em muitas variáves sujeito a restrições de desigualdade ou igualdade lineares. Dantzig e Thapa

11 Modelagem ou Formulação: O Problema da Dieta Uma pessoa pode comer diariamente 6 tipos de pratos. Prato Tam. Ener. (Kcal) Prot. (g) Cálcio (mg) Preço 1 1. Aveia 28 g R$ 5,00 2. Galinhada 500 g R$ 12,00 3. Omelete 200 g R$ 8,00 4. Leite Integral 1 copo R$ 2,50 5. Torta de Morango 170 g R$ 9,75 6. Feijoada 500 g R$ 16,00 Esta pessoa se pergunta quanto ela gastaria com a sua alimentação diária, para obter os seguintes valores nutricionais necessários para ela: 2000Kcal/dia; 55g/dia de proteína; e 800 mg/dia de cálcio? 1 Os valores não correspondem a realidade

12 Modelagem ou Formulação: O Problema da Dieta Uma pessoa pode comer diariamente 6 tipos de pratos. Prato Tam. Ener. (Kcal) Prot. (g) Cálcio (mg) Preço 1 1. Aveia 28 g R$ 5,00 2. Galinhada 500 g R$ 12,00 3. Omelete 200 g R$ 8,00 4. Leite Integral 1 copo R$ 2,50 5. Torta de Morango 170 g R$ 9,75 6. Feijoada 500 g R$ 16,00 Esta pessoa se pergunta quanto ela gastaria com a sua alimentação diária, para obter os seguintes valores nutricionais necessários para ela: 2000Kcal/dia; 55g/dia de proteína; e 800 mg/dia de cálcio? Quanto ela gastaria se comesse 10 pratos de feijoada? Com essa dieta, ela atenderia os valores nutricionais diários? 1 Os valores não correspondem a realidade

13 Modelagem ou Formulação: O Problema da Dieta Uma pessoa pode comer diariamente 6 tipos de pratos. Prato Tam. Ener. (Kcal) Prot. (g) Cálcio (mg) Preço 1. Aveia 28 g R$ 5,00 2. Galinhada 500 g R$ 12,00 3. Omelete 200 g R$ 8,00 4. Leite Integral 1 copo R$ 2,50 5. Torta de Morango 170 g R$ 9,75 6. Feijoada 500 g R$ 16,00 Esta pessoa se pergunta quanto ela gastaria com a sua alimentação diária, para obter os seguintes valores nutricionais necessários para ela: 2000Kcal/dia; 55g/dia de proteína; e 800 mg/dia de cálcio? Quanto ela gastaria se comesse 8 copos de leite e 2 tortas de morango? Com essa dieta, ela atenderia os valores nutricionais diários?

14 Modelagem ou Formulação: O Problema da Dieta Uma pessoa pode comer diariamente 6 tipos de pratos. Prato Tam. Ener. (Kcal) Prot. (g) Cálcio (mg) Preço 1. Aveia 28 g R$ 5,00 2. Galinhada 500 g R$ 12,00 3. Omelete 200 g R$ 8,00 4. Leite Integral 1 copo R$ 2,50 5. Torta de Morango 170 g R$ 9,75 6. Feijoada 500 g R$ 16,00 Esta pessoa se pergunta quanto ela gastaria com a sua alimentação diária, para obter os seguintes valores nutricionais necessários para ela: 2000Kcal/dia; 55g/dia de proteína; e 800 mg/dia de cálcio? Suponha ainda que essa pessoa não consegue comer em um dia mais que: 4 pratos de aveia, 2 galinhadas, 2 omeletes, 8 copos de leite, 3 tortas de morango, e 1 feijoada. Qual é o valor da dieta de uma melhor solução para este problema?

15 Modelagem ou Formulação: O Problema do Político Um político está tentando ganhar uma eleição para prefeito de uma cidade com eleitores vivendo no centro da cidade, eleitores vivendo na periferia e eleitores vivendo na zona rural da cidade. Este político gostaria de obter o voto de pelo menos metade dos eleitores de cada região. Pesquisadores da sua campanha dizem que a cada reais gastos em propagandas sobre algumas questões políticas, podem fazer o político ou ganhar ou perder votos (veja a tabela abaixo - números em milhares de eleitores). Questões políticas Centro Periferia Zona Rural 1. Construção de asfalto Controle da criminalidade Subsídios do campo Taxas sobre a gasolina O político quer investir o mínimo possível em propaganda de tal forma que ele obtenha pelo menos metade dos votos em cada região.

16 Modelagem: O Problema do Fabricante de Móveis Um fabricante de móveis vende sofás, mesas e cadeiras. O lucro por sofá vendido é 5 reais, por mesa vendida é 4 reais, e por cadeira vendida é 3 reais. A tabela abaixo mostra o número de tábuas de madeira, e os números de horas de estofamento e de acabamento gastos por cada móvel fabricado. Tábuas Estofamento Acabamento sofá mesa cadeira No estoque da fábrica existem 55 tábuas de madeira, 110 horas de trabalho de estofamento, e 80 horas de trabalho de acabamento. Quantos sofas, mesas e cadeiras devem ser fabricados para maximizar o lucro do fabricante?

17 Modelagem: O Problema das Ligas Metálicas Uma metalúrgica produz uma liga especial de baixa resistência (LBR) e uma liga especial de alta resistência (LAR). A tabela abaixo mostra o consumo de materiais (em toneladas) para cada liga. LBR LAR Disponibilidade cobre 0,5 0,2 16 zinco 0,25 0,3 11 chumbo 0,25 0,5 15 O preço da venda (em reais) da LBR é 3.000/T. e da LAR é 5.000/T. A metalúrgica deseja maximizar a sua receita bruta.

18 Modelagem: O Problema do Sítio O proprietário de um sítio quer plantar trigo, arroz e milho. Por experiência, o proprietário sabe que a produtividade em Kg por m 2 para cada tipo de plantio é: 0, 2Kg/m 2 para o trigo; 0, 3Kg/m 2 para o arroz; e 0, 4Kg/m 2 para o milho. O lucro por Kg de produção para cada tipo de plantio é: 10, 8 centavos para o trigo; 4, 2 centavos para o arroz; e 2, 03 centavos para o milho. A produção máxima está limitada a 60 toneladas (não dá pra estocar mais do que isso). Para atender a própria demanda, o proprietário deve plantar 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz, e m 2 de milho. A área cultivável do sítio é de m 2. O proprietário do sítio deseja maximizar o seu lucro.

19 Modelagem: O Problema da Cooperativa Agrícola Uma cooperativa agrícola produz milho, arroz e feijão em três fazendas. Cada tipo de produção necessita de uma certa quantidade de água. Por questões do uso de colheitadeiras, foi estabelecido limites de área de produção para cada produto. A tabela a seguir descreve para cada produção, o limite da área de produção e a quantidade de água disponível em cada fazenda. Fazenda Área total (Acres) Água disponível (litros) A tabela a seguir descreve a área máxima de cultivo, o consumo de água e o lucro para cada produção. Produto Área máxima (Acres) Consumo de água (litros/acre) Lucro (reais/acre) Milho 660 5, Arroz 880 4, Feijão 400 3, É necessário que a proporção da área cultivada em cada fazenda seja igual. A cooperativa deseja maximizar o lucro total da produção.

20 Modelagem: O Problema da Mistura de Petróleo Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. A planilha abaixo descreve a quantidade máxima de barris disponíveis para cada tipo de petróleo, juntamente com o custo em reais de cada barril. Tipo do petróleo barris disponíveis Custo por barril (reais) Diferentes misturas de tipois de petróleo produzem diferentes gasolinas. A especificação de cada gasolina e o preço por barril estão na tabela abaixo. Tipo do gasolina Especificação Preço / Barril Não mistarar + q. 30% do Pet. 1 Superazul Não mistarar - q. 40% do Pet reais Não misturar + q. 50% do Pet. 3 Azul Não mistarar + q. 30% do Pet reais Não mistarar - q. 10% do Pet. 2 Amarela Não mistarar + q. 70% do Pet reais Qual deve ser a mistura dos vários tipos de petróleo para produzir os vários tipois de gasolina de tal forma a maximizar o lucro da refinaria?