PROGRAMAÇÃO INTEIRA. Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto 5 modelos

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1 PROGRAMAÇÃO INTEIRA Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto 5 modelos

2 M9.1 - Problema de Seleção de Projetos ver Taha Capítulo 9 Cinco projetos estão sob avaliação em um planejamento de três anos. A tabela abaixo nos dá os retornos esperados assim como os desembolsos anuais associados. Desembolsos (milhões $/ano) Projeto Ano 1 Ano 2 Ano 3 Retorno líquido (milhoes $) Fundos Disponíveis 25 M$ 20 M$ 30 M$ Quais são os projetos que devem ser selecionados tal que o retorno seja maximizado no período? O problema é do tipo sim-não e as variáveis de decisão são: X j = 1 se o projeto j for selecionado e X j = 0 se o projeto não for selecionado

3 Problema de Seleção de Projetos continuação O modelo fica da seguinte forma: Max Z(X) =20X X X X X 5 sujeito a 5X 1 + 4X 2 + 3X 3 + 7X 4 + 8X 5 <= 25 X 1 + 7X 2 + 9x 3 + 4X 4 + 6X 5 <= 20 8X X 2 + 2x 3 + X X 5 <= 30 X j {0, 1} Desembolsos (milhões $/ano) Projeto Ano 1 Ano 2 Ano 3 Retorno líquido (milhoes $) Fundos Disponíveis 25 M$ 20 M$ 30 M$

4 Problema de Seleção de Projetos continuação O modelo fica da seguinte forma: Max Z(X) =20X X X X X 5 sujeito a 5X 1 + 4X 2 + 3X 3 + 7X 4 + 8X 5 <= 25 X 1 + 7X 2 + 9x 3 + 4X 4 + 6X 5 <= 25 8X X 2 + 2x 3 + X X 5 <= 25 X j {0, 1} A solução ótima inteira é X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = 1, X 5 = 0 e Z(X) = 95 M$. Se resolvermos o Problema de Programação Linear real a solução seria: X 1 = 0,5789, X 2 = X 3 = X 4 = 1, X 5 = 0,7368 e Z(X) = 108,68. Esta solução não faz sentido! Se arredondarmos a solução teremos: X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5 = 1, que é uma solução inviável. Portanto, para resolver problemas de Programação Linear Inteira não podemos simplesmente arredondar a solução real obtida!!!

5 M9.2 - Problema da mochila Knapsack problem Peso unit. Volume unit. Valor unit. Item i Wi (ton) Vi (m³) Ri ($) Cinco itens podem ser carregados em uma mochila (container, caminhão, aeronave, etc). O peso e o volume máximo de carga permitidos são 112 t e 109 m³ respectivamente. Formule o PLI e ache a carga mais valiosa sendo que podem ser levadas quais quer quantidades de um mesmo item, inclusive nenhuma unidade!

6 Problema de cobertura Neste tipo de problema, varias instalações oferecem serviços comuns a diferentes localidades. O objetivo é determinar o número mínimo de instalações que cobrirão todas as localidades. Também pode ser considerado o custo de cada instalação em função da localidade. Exemplo: hospitais, escolas, creches, corpo de bombeiro, posto policial etc. As variáveis são binárias; Os coeficientes à esquerda das restrições são 0 ou 1; O lado direito de cada restrição é do tipo >= 1 e A função objetivo minimiza c 1 x 1 + c 2 x c n x n, com c j > 0. Se c j representa o custo de instalação no local j, então estes coeficientes podem ser diferentes de 1.

7 M9.3 - Instalação de telefones Uma universidade quer instalar telefones de emergência em locais selecionados. Assim, decidiu-se que cada uma das ruas do campus terá pelo menos um telefone. É lógico que colocar os telefones nas esquinas é mais proveitoso. O mapa do campus mostra que se requer no máximo oito localizações de telefones. Modele o problema para escolher o número mínimo de telefones que atenda às restrições do problema. 6 Rua E 7 Rua D 8 Rua G 4 Rua H Rua I Rua C Rua J Rua K Rua A Rua B

8 M9.3 - Instalação de telefones VD: x i = 1 se o telefone na localidade i for instalado e 0 cc, i = 1,... 8 FO: Min Z 8 i 1 X i Sujeito a A: x 1 + x 2 >=1 F: x 2 + x 6 >= 1 K: x 3 + x 5 >= 1 B: x 2 + x 3 >= 1 G: x 1 + x 6 >= 1 C: x 4 + x 5 >= 1 H: x 4 + x 7 >= 1 D: x 7 + x 8 >= 1 I: x 2 + x 4 >= 1 E: x 6 + x 7 >= 1 J: x 5 + x 8 >= 1 xi { 0, 1 } 6 Rua E 7 Rua D 8 Rua G 4 Rua H Rua I Rua C Rua J Rua K Rua A Rua B

9 M9.4 Uma transportadora entrega diariamente cargas fracionadas ao seus 5 clientes, segundo 6 rotas pré-estabelecidas. As rotas com seus respectivos clientes atendidos são: Rotas Clientes 1, 2, 4 4, 3, 5 1, 2, 5 2, 3, 5 1, 4, 2 1, 3, 5 As distâncias entre o depósito e os clientes são dadas a seguir j Dep i Dep O objetivo é determinar as rotas a serem escolhidas tal que todos os clientes sejam atendidos por pelo menos uma rota e que a distância total percorrida seja mínima. Obs. Toda rota deve iniciar e terminar no depósito.

10 Calculando o custo de cada rota: R1: (0 > 1): 10 + (1 > 2): 32 + (2 > 4): 21 + (4 > 0): 9 = 72 R2: = 50 R3: = 70 R4: = 52 R5: = 60 R6: = 44 Rotas Clientes 1, 2, 4 4, 3, 5 1, 2, 5 2, 3, 5 1, 4, 2 1, 3, 5 i j Dep Dep Determinar as rotas a serem escolhidas tal que todos os clientes sejam atendidos por pelo menos uma rota e que a distância total percorrida seja mínima. Obs. Toda rota deve iniciar e terminar no depósito.

11 M9.5 - A região metropolitana de Belo Horizonte inclui 6 cidade que precisam ser atendidas por ambulâncias. Devido à proximidade de algumas cidades, uma única estação pode atender a mais de uma comunidade. A determinação é de que a estação esteja na cidade que fica a menos de 15 minutos das outras cidades que atender, além daquela onde se localiza. A seguir são apresentadas as distâncias em minutos entre as seis cidades. i j Formule a questão como um PLI cuja solução produzirá o menor número de estações, bem como as respectivas cidades onde se localizarão.

12 M9.6 Uma siderúrgica abastece a sua produção, estabelecida em duas usinas a partir de três minas de ferro. Os custos de transporte por tonelada, as demandas das usinas e as capacidades de extração do minério nas minas são dados na tabela abaixo. Por força de contrato, caso alguma mina forneça qualquer quantidade de minério, é cobrado um custo fixo por este fornecimento. Escreva um modelo de programação linear para atender as demandas com o menor custo possível. Mina 1 Mina 2 Mina 3 Demanda mínima Usina 1 $10 $25 $ Usina 2 $12 $20 $ Cap. Produção Custo fixo $1.200 $1.750 $1.530

13 M9.7 - Uma empresa produz 3 tipos de roupas: camisas, bermudas e calças. Faça um modelo de PL para maximizar o lucro da empresa nas próximas semanas de acordo com os dados abaixo. A produção destes itens requer a utilização de maquinários específicos. As máquinas necessárias são alugadas às seguintes taxas semanais: para camisas $200,00; para bermudas $150 e para calças, $100. A produção de cada tipo de roupa também requer uma quantidade de tecido e de horas de trabalho, dados na tabela. Cada semana tem disponível 150 horas de trabalho e 160 m 2 de tecido. Considerando os custos unitários e os preços de venda na tabela, formule um modelo de PLI para maximizar o lucro semanal da empresa. Camisa Bermuda Calça Trabalho (hs) Tecido (m 2 ) 2 1,5 2 Preço venda $ 12 $ 8 $ 15 Custo $ 6 $ 4 $ 8 X i = quantidade de roupas do tipo i a ser produzida no período Y i = 1 se alguma roupa do tipo i for produzida e 0 caso contrário. Max Z = 6x1 + 4x2 + 7x3 200y1 150y2-100y3, as 3x1 + 2x2 + 6x3 <= 150 2x1 + 1,5x2 + 2x3 <= 160 Xi <= Myi, i = 1, 2, 3 e M >> 0; xi >=0 e inteiro e yi {0, 1}