a) Formule este problema em Programação Linear inteira. b) Considere os seguintes dados Matriz das distâncias (em Km) entre as comunidades

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1 Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências Mestrado em Matemática Aplicada à Economia e Gestão Logística e Gestão de Operações Módulo de Logística Exercícios Localização 1. Num distrito do Centro de Portugal pretende-se instalar quartéis de bombeiros que devem servir 5 localidades. Os quartéis devem ser instalados de modo a garantir uma distância máxima de 11 unidades entre qualquer quartel instalado e qualquer localidade. A instalação de cada quartel tem um custo fixo. Existe um orçamento máximo para a instalação de quartéis. Cada localidade tem uma determinada procura. Pretende-se maximizar a procura coberta pelos quartéis a instalar respeitando o orçamento disponível. b) Considere os seguintes dados Matriz das distâncias (em Km) entre as comunidades A distância máxima permitida entre qualquer quartel instalado e cada localidade é de 11 Km. Os custos fixos de instalação (em unidades monetárias) e a procura de cada comunidade são Custo fixo Procura Existe um limite orçamental de 14 unidades monetárias. Resolva este problema usando um Solver de Programação linear inteira

2 2. Em determinado concelho pretende se construir uma escola que sirva a população de 6 freguesias. O orçamento disponível permite construir apenas uma escola. Assume-se que em termos de população em idade escolar as 6 freguesias são muito semelhantes. Pretende determinar-se onde construir a escola de modo a minimizar a distância máxima entre cada freguesia e a escola construída. b) Considere a matriz das distâncias entre as 6 freguesias Resolva este problema usando um solver de programação linear inteira. 3. Numa determinada região existem 4 fábricas de laticíneos cuja procura de leite é satisfeita pelos produtores de leite da região. Cada fábrica está instalada em uma localidade. Para tornar mais eficiente e mais rentável a distribuição de leite pelas 4 fábricas pretende-se instalar 2 depósitos de leite em qualquer uma das 4 localidades onde estão as fábricas. Os custos de instalação dos depósitos é semelhante em qualquer das localidades, pelo que podem ser ignorados. Pretende determinar-se onde instalar os 2 depósitos de leite de modo a minimizar a distância total percorrida. b) Considere a matriz das distâncias (em Km) Módulo de Logística 2015/2016 Page 2

3 Construa uma solução admissível para o problema, usando a heurística greedy e c) Resolva este problema usando um solver de programação linear inteira. 4. Uma empresa de recolha e reciclagem de material eletrónico pretende construir armazéns para a recolha do material na região de Trás-os-Montes. O gestor encarregue desta tarefa, juntamente com uma equipa técnica chegou à conclusão que existem disponíveis na região 5 potenciais locais para instalar os armazéns. A recolha do material eletrónico usado é feita em 8 locais e depois será transportada para os armazéns a construir. O custo de transporte (em unidades monetárias) por tonelada de material entre os locais de recolha e os potenciais locais de instalação dos armazéns é: Potenciais locais de instalação de armazéns Locais de recolha O custo fixo de instalação de cada armazém é dado por: Potencial Local Custo fixo Pretende-se determinar os locais onde devem ser instalados os armazéns de forma a minimizar os custos totais de abertura dos serviços e de transporte. b) Construa uma solução admissível para o problema, usando a heurística greedy e Módulo de Logística 2015/2016 Page 3

4 c) Determine a solução ótima usando um solver de programação linear inteira. d) Admita agora que cada armazém só tem capacidade para receber o material eletrónico recolhido em 3 locais. A solução que obteve anteriormente é admissível para o novo problema? Justifique. e) Caso não seja, efectue o menor número de alterações de forma a obter uma solução admissível para o novo problema. Justifique as alterações efectuadas. 5. Uma empresa pondera a possibilidade de construir armazéns em Lisboa, Coimbra, Aveiro, Leiria, Castelo Branco e Viseu. Estes armazéns servirão para abastecer os clientes que estão também localizados nestas mesmas localidades. O custo de construção é de u.m. independentemente da cidade. O custo de transporte de uma unidade de mercadoria de um armazém para um cliente é de 1 u.m. por Km percorrido. As distâncias entre as cidades encontram-se na tabela seguinte: Lisboa Porto Coimbra Aveiro Leiria Castelo Branco Viseu Lisboa Porto Coimbra Aveiro Leiria Castelo Branco As procuras dos clientes são as seguintes: Lisboa Porto Coimbra Aveiro Leiria Castelo Branco Viseu Procura Pretende-se determinar onde abrir armazéns (no máximo um em cada cidade) e como afetar os clientes aos armazéns de modo a minimizar os custos totais. a) Construa uma solução admissível para o problema, usando a heurística greedy e b) Formule este problema em Programação Linear inteira. c) Determine a solução ótima usando um solver de programação linear inteira. d) Suponha que é possível não afetar um cliente a determinado armazém mas que nesse caso a empresa incorre num custo de incumprimento. Altere a formulação de modo a contemplar esta situação. e) Considere que os armazéns têm capacidades que não podem ser excedidas. Introduza esta restrição no modelo apresentado em b). Considere que todos os Módulo de Logística 2015/2016 Page 4

5 armazéns têm capacidades iguais a 250 unidades. Usando um solver de programação linear inteira determine uma solução ótima para este problema. 6. Na gestão de uma floresta é em muitos casos necessário decidir onde construir armazéns onde é recolhida a madeira proveniente de vários talhões. Nestes armazéns considera-se que não há armazenamento de madeira. Estes armazéns que designaremos por pontos de transfega, funcionam apenas como locais onde é feito um pré- processamento (por exemplo separação dos troncos consoante o tamanho) e algumas vezes uma mudança de tipo de transporte, por exemplo, o transporte que até ali foi feito por camião passa a ser feito por comboio. Cada talhão cortado produz uma quantidade de troncos os quais são transportados para diversos locais. Estes locais incluem os pontos de transfega e os destinos finais que podem ser as serrações ou portos. a) Considerando capacidades máximas nos pontos de transfega defina os parâmetros e variáveis que considere necessários para modelar esta situação. b) Formule este problema em Programação linear inteira mista. Módulo de Logística 2015/2016 Page 5