INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. X Programação por Metas

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1 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. X Programação por Metas António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i

2 Cap. X Programação por Metas - Exercícios X. Programação por Metas. Considere o modelo de PL: Max f(x) = 6x + 8x (lucro da venda de mesas e cadeiras) s.a. x 30 (produção de mesas) x 0 (produção de cadeiras) x + x 40 (operários) x, x 0 e Inteiro O problema não tem solução admissível pois os operários não são suficientes para satisfazer a produção mínima de mesas e cadeiras (seriam necessários, pelo menos, = 50 operários). Para ultrapassar a situação admita que as produções mínimas de mesas e cadeiras passam a constituir metas da empresa mantendo-se a maximização do lucro como critério de avaliação das soluções admissíveis. Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima.. Uma empresa produz três bens A, B e C em quantidades x, x e x 3 sendo as funções de lucro e de emprego da mão-de-obra as seguintes: g (X) = x + 8x + 5x 3 g (X) = x + 6x + 5x 3 (lucro) (mão-de-obra) As restrições técnicas a cumprir são as seguintes: horas/máquina : x + 3x + x 3 90 produção de A: igual ao dobro da produção de B produção de C: pelo menos o dobro da produção de A O decisor pretende estudar a produção com as seguintes preferências: manter a mão-de-obra ao nível de 50 operários estabelecer como critério de avaliação de soluções a maximização de g (X) - 5g (X) Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima. X-

3 Cap. X Programação por Metas - Exercícios 3. Considere o seguinte modelo de PL para minimização de custos de produção: Min f(x) = f (x ) + f (x ) s.a. x + x 9 x + 3x 9 O decisor pretende a optimização dos custos tendo em consideração o seguinte: f (x ) = 3x para x 0 x para x 0 f (x ) = 4x para x 0 3x para x 0 Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima. 4. Considere a produção de A e B de acordo com os seguintes dados: A B Meta Prioridade Capital (u.m.) 0 ª Pessoal = 5 ª Lucro unitário (u.m.) 40 3ª Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima pelo método do Simplex modificado para Metas. 5. Apresente as alterações que introduziu, no método do Simplex usual, para resolver o problema anterior. 6. No Simplex modificado para Metas como detecta soluções óptimas alternativas? 7. Calcule a solução do problema 0.4 usando, no cálculo, um único objectivo ("Big M s"). 8. Considere a produção de mesas e cadeiras de acordo com o seguinte: Mesa Cadeira Disponibilidade Madeira (m ) Horas de trabalho Treino do pessoal (horas) 3 Receita da venda (u.m.) 50 5 Lucro de venda (u.m.) 6 8 O decisor pretende uma solução de compromisso que satisfaça simultaneamente: lucro mínimo de 90 u.m. receita da venda não inferior a 450 u.m. treino do pessoal com mínimo de 30 horas Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima. X-

4 Cap. X Programação por Metas - Exercícios 9. Considere o aumento do problema anterior com as seguintes preferências e prioridades do decisor: Mesa Cadeira Investimento de capital (u.m.) 44 7 Pelo menos 4 cadeiras por mesa produzida Não ultrapassando 35 u.m. de investimento, adaptar o modelo anterior e calcular a solução óptima com as seguintes prioridades (ordem decrescente): Lucro, Cadeiras / mesas, Capital, Receita, Treino 0. Admita que uma gasolineira pretende instalar uma estação de serviço tendo como potenciais clientes os habitantes das localidades situadas no seguinte conjunto rodoviário: A km B 3 km D C 4 km Nas localidades A, B, C e D estão recenseadas 00, 400, 00 e 300 viaturas respectivamente devendo o local escolhido minimizar o produto do número de viaturas recenseadas pela distância das localidades à estação de serviço. Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima.. O proprietário de uma herdade necessitando reforçar a capacidade de rega de três terrenos A, B e C decidiu efectuar um furo. A ligação deste aos terrenos será feita por tubagens instaladas exclusivamente nas direcções Norte-Sul e/ou Este-Oeste para facilitar o emprego de máquinas agrícolas sem destruição de tubagens. As áreas de A, B e C são, respectivamente, 00, 300 e 00 hectares e a sua posição relativamente à casa do proprietário é a seguinte (eixos graduados em km): 0 N B(3,8) C(7,6) A(,) Proprietário 0 Sendo o critério de localização "minimizar a soma dos produtos obtidos multiplicando a área de cada terreno pelo comprimento da tubagem que o liga ao furo, calcule o conjunto óptimo de tubagens a instalar. X-3

5 Cap. X Programação por Metas - Exercícios. Admita que para dactilografar na próxima semana, um documento com 000 páginas, contactou 4 empresas (A, B, C, D) que prestam este serviço e recolheu a informação seguinte: Empresa Custo/página (u.m.) Nº páginas/hora Erros/página Horas disponíveis (próxima semana) A B C D Não sendo possível que uma única empresa efectue o trabalho na próxima semana, admita o recurso a mais do que uma delas considerando os seguintes critérios e prioridades: ª prioridade: trabalho executado no prazo de uma semana ª prioridade: não ter mais do que erros no total das 000 páginas 3ª prioridade: não gastar mais do que 3000 u.m. Formalize como problema de metas e calcule a solução óptima. X-4

6 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Soluções dos Exercícios Cap. X Programação por Metas António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i

7 . A produção mínima de 30 mesas, inicialmente imperativa, passa a ser a "meta" x = 30 + d em que d é uma variável de desvio (livre). Esta variável pode ser substituída pela diferença entre duas variáveis não negativas associadas aos desvios por excesso e defeito respectivamente (ver figura). + = + x 30 d d > 0 d + = desvio por excesso META: 30 mesas d = 0 d = desvio por defeito = x 30 d d < 0 A figura evidencia que a restrição inicial x 30 deve ser substituída pela Meta, + d + d = x 30 Trata-se de uma relação que não é uma restrição técnica pois não restringe o espaço de soluções. Se, por exemplo, a variável x tiver valor 5, diz-se que a Meta é cumprida por Defeito pois a igualdade será satisfeita com sempre nulo). d = 5 (notar que as duas variáveis de desvio são complementares, ou seja o seu produto é Se o decisor deseja x 30 está disponível para ceder perante um valor inferior (que pode limitar se achar necessário). A adopção de Metas em vez de restrições técnicas conduz a obter uma solução de compromisso, ou seja, a melhor solução que a estrutura do modelo pode gerar. Quando o modelo linear envolve Metas é de interesse organizar um quadro com as mesmas e identificar os desvios indesejáveis e a ponderação a associar-lhes. No exemplo em curso temos então: Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Desvios Penalizáveis + Produção de mesas x 30 x d + d 30 Defeito ( ) = + Produção de cadeiras x 0 x d + d 0 Defeito ( ) = d d Notar que na ª meta o desvio por defeito d deve ter o menor valor possível para que a produção fique tão próximo quanto possível da produção desejada de 30 mesas. De igual modo, na ª meta, o desvio por defeito d deve ter o menor valor possível para que a produção fique tão próximo quanto possível da produção desejada de 0 cadeiras. S/ X-

8 O modelo inicial deve pois ser substituído pelo modelo seguinte: Min f D d d ( ) = (minimizar a perda de lucro) s.a. x d d + + = 30 x d d + + = 0 x + x 40 x, x, d, d, d, d 0e Inteiro + + A função f(d) minimiza a perda de lucro associada aos desvios por defeito (veja-se que para mesa abaixo da meta a redução do lucro é de 6 u.m. sendo de 8 u.m. para idêntica situação com uma cadeira). Recorrendo ao método Branch and Bound obtém-se a solução óptima (melhor "solução de compromisso"): x = 30; x = 5; d = 5 A ª meta é integralmente satisfeita (desvios por excesso e defeito são nulos). A ª meta é cumprida por defeito ( d = cadeiras ). 5 O plano óptimo de produção é pois de 30 mesas e 5 cadeiras. O valor máximo do lucro da venda desta produção é f(x * ) = 6x + 8x = = 0 u.m. Veja-se na figura seguinte a interpretação geométrica: d d + A Meta: Mesas B Meta: Cadeiras d + C D d Notar que o espaço de soluções é limitado exclusivamente pela restrição técnica óptima será a que minimiza a perda de lucro. Analisemos a perda de lucro nos pontos A, B, C e D. x + x 40. A solução S/ X-

9 Ponto A (x = 0 ; x = 0) Meta das Mesas: + x d + d = = 30. Temos d = 30 Meta das Cadeiras : o que penaliza o lucro em 6(30) = 80 u.m. (não há produção de mesas) + x d + d = = 0. Temos d = 0 não havendo penalização do lucro (produzem-se 0 cadeiras em excesso). Valor dos desvios penalizantes (u.m.) = f(d) = 6(30) = 80 u.m. Meta das Mesas: + x d + d = = 30. Temos d = 0 Meta das Cadeiras : Ponto B (x = 0 ; x = 0) o que penaliza o lucro em 6(0) = 60 u.m. (0 mesas aquém da meta) + x d + d = = 0. Temos d = 0 não havendo penalização do lucro (produzem-se as 0 cadeiras desejadas). Valor dos desvios penalizantes (u.m.) = f(d) = 6(0) = 60 u.m. Meta das Mesas: + x d + d = = 30. Temos d = 0 Meta das Cadeiras : Ponto C (x = 30 ; x = 5) não havendo penalização do lucro (produzem-se as 30 mesas desejadas). + x d + d = = 0. Temos d = 5 o que penaliza o lucro em f(d) = 8(5) = 40 u.m. (5 cadeiras aquém da meta) Valor dos desvios penalizantes (u.m.) = f(d) = 8(5) = 40 u.m. Ponto D (x = 40 ; x = 0) Meta das Mesas: + x d + d = = 30. Temos d = 0 não havendo penalização do lucro (produzem-se 0 mesas além do desejado). S/ X-3

10 Meta das Cadeiras : + x d + d = = 0. Temos d = 0 o que penaliza o lucro em f(d) = 8(0) = 80 u.m. (0 cadeiras aquém da meta) Valor dos desvios penalizantes (u.m.) = f(d) = 8(0) = 80 u.m. Solução óptima (melhor solução de compromisso) Ponto C (x = 30 ; x = 5) onde se verifica o valor mínimo dos desvios penalizantes: f(d) = 40 u.m. Produzir 30 mesas e 5 cadeiras com lucro total máximo de f(x) = 6x + 8x = 0 u.m. Recorrendo ao software do autor é esta a solução obtida: S/ X-4

11 . Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Mão-de-obra g (X) = 50 x + 6x + 5x3 d + + d = 50 Desvios Penalizáveis Defeito ( d ) Excesso ( d + ) Estudo da Função objectivo a utilizar Pretende-se Max f(x) = g (X) - 5g (X) = (x + 8x + 5x 3 ) - 5 g (X) = 4x + 36x + 30x 3-5g (X) O desvio de g (X) da meta 50 deve ser penalizado com coeficiente -5 ou seja. 5d 5d + A função a utilizar para optimização é pois wx ( ) = 4x + 6x + 5x3 5d + 5d cujo gradiente permitirá calcular o ponto óptimo da produção (onde posteriormente será calculado o valor do lucro total). Modelo para optimizar: Max w(x) = 4x + 36x + 30x3 5d 5d + s.a. x + 3x + x 3 90 (restrição técnica para h/máquina) x - x = 0 (restrição técnica da relação entre A e B) + 3 = x + 6x + 5x d + d 50 (meta para pessoal) -x + x 3 0 (restrição técnica da relação entre A e C) Utilizando o software do autor: obtém-se a solução óptima: S/ X-5

12 Leitura da solução óptima Produzir unidades de A, 6 unidades de B e 4 unidades de C. São necessários 80 operários (desvio por excesso de 30 operários). Valor máximo do lucro = f(x) = g (X) - 5g (X) = = 34 u.m. Nota: Igual resultado seria obtido usando a função objectivo: Max f(x) = g (X) - 5g (X) = (x + 8x + 5x 3 ) - 5 (x + 6x + 5x 3 ) = 4x + 6x + 5x 3 Veja-se que o efeito da variável de desvio d é ajustar a mão-de-obra para consumir o máximo de horas disponíveis. De facto se a mão-de-obra for declarada como restrição técnica, x + 6x + 5x3 50, na solução óptima constata-se que o completo aproveitamento dos 50 operários apenas necessita de 75 das 90 horas disponíveis (deixa-se ao leitor a tarefa de verificar esta informação). S/ X-6

13 3. Como x e x podem ter valor sem restrição de sinal são variáveis livres. Se x 0 então x = x + e no caso contrário x = x (x e x não são mais do que os desvios por excesso e defeito do valor de x e relação ao valor zero). Actuando de igual modo com a variável x tem-se: f( x) = 3x + + x e f( x) = 4x + + 3x + + Para as restrições técnicas temos que considerar x = x x e x = x x. Modelo para optimizar: Min f X x x x x s.a. + + ( ) = ( x x ) + ( x x ) 9 ( x x ) + 3( x x ) x, x, x, x x = x x = ; x = x + x = 3 0 = 3 0 A solução óptima é x = 0 ; x = 3 ; Min f(x) = u.m. S/ X-7

14 4. Considerem-se x e x a produção de A e B respectivamente. Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Desvios Penalizáveis + Capital x + x 0 x + x d + d = 0 Excesso ( d + ) Pessoal x + x = 5 x x d + d = 5 Excesso e Defeito ( d, d ) Lucro x + x 40 x + x d d 3 = 40 Defeito ( d 3 ) Modelo para optimizar: ª prioridade : Min f = d + + ª prioridade : Min f = d + d 3ª prioridade : Min f3 = d 3 s.a. x + x d + d = 0 + x x d d = 5 x + x d + + d = x, x, d, d 0 ( i =,,3) i i Cálculo da solução óptima utilizando o Simplex Metas : VB x x d + d - d + d - d + 3 d - 3 VSM Obs. d d d f - 0 f Optimizar f (ª prioridade) Em f todos os coeficientes são não positivos (solução óptima). Min f = 0. A ª prioridade é integralmente satisfeita. Na optimização das prioridades seguintes a variável d + deve manter-se nula garantindo assim o valor óptimo obtido Min f = d + =. 0 S/ X-8

15 Passemos à optimização da função f : VB x x d + d - d + d - d + 3 d - 3 VSM Obs. d d d f - - Optimizar f (ª prioridade). Anular em f o coeficiente de d - f Entra para a base x (ou x ) x d d f Óptimo para f Em f todos os coeficientes são não positivos (solução óptima). Min f = 0. A ª prioridade é integralmente satisfeita. Na optimização das prioridades seguintes as variáveis d + +, d, d devem manter-se nulas garantindo assim o valor óptimo f = 0 e f = 0. Passemos à optimização da função f 3 : VB x x d + d - d + d - d + 3 d - 3 VSM Obs. x d d f 3 - Optimizar f 3 (3ª prioridade). Anular em f 3 o coeficiente de d 3 - f Entra d + Verifica-se que a entrada para a base da variável d + = 5 degrada o valor óptimo já obtido para Min f = 0. A mudança de base não pode portanto ser efectuada considerando-se atingido o valor óptimo Min f 3 = 0. Produção : 5 unidades de A. Lucro máximo = x + x = 30 u.m. Leitura da solução "óptima" Metas do decisor ª prioridade (capital) : integralmente satisfeita (Min f = 0). ª prioridade (pessoal) : integralmente satisfeita (Min f = 0). 3ª prioridade (lucro) : satisfeita por defeito (menos 0 u.m.). Min f 3 = 0. S/ X-9

16 5. Escolha de nova VB Uma VNB seleccionável para a base só é escolhida se e só se não conduzir à degradação do valor óptimo já atingido para funções de prioridade superior à da função em curso de optimização (sucedeu no exercício anterior ao iniciar-se a optimização de f 3 ). Empate na escolha de nova VB Se duas ou mais VNB podem ser escolhidas para entrada na base a decisão é arbitrária. Empate na escolha da nova VNB (saída da base) Se a menor ratio não negativa é obtida em mais do que uma das equações técnicas, sai da base a VB associada à equação da meta de maior prioridade. Se tal se verifica em metas de igual prioridade a escolha é arbitrária. S/ X-0

17 6. A solução do problema Primal é única se, não sendo degenerada, só as VB têm coeficiente nulo nas equações de todas as funções optimizadas. Retomando, a título de exemplo, a questão nº 4 o quadro final é o seguinte: VB x x d + d - d + d - d + 3 d - 3 VSM x d d f f f A solução óptima é única porque não é degenerada e só as VB têm coeficiente nulo em todas as equações das funções optimizadas. S/ X-

18 7. Constitui-se um objectivo único f = M f + M f +. + M k- f k- + f k que reúne "k" objectivos. Os coeficientes M, M,, M k-, são tais que M é muito maior do que M, M é muito maior do que M 3 e assim sucessivamente. No problema corrente pretende-se minimizar f, f, f 3, por esta ordem, pelo que se organiza e minimiza a função: Modelo para optimizar: Min f = M f + M f + f 3 Min f ( D) = M d + M ( d + d ) + d com M >> M >> s.a. x + x d + d = 0 + x x d d = 5 x + x d + + d = x, x, d, d 0 ( i =,,3) Cálculo da solução óptima: i i VB x x d + d - d + d - d 3 + d 3 - VSM Obs. d d d f(d) -M -M -M - 0 Anular coeficientes das VB d - e d 3 - f(d) M + M + -M 0 -M 0-0 5M + 40 Entra x. Sai d - x d d f(d) 0 - -M 0 -M + -M Óptimo Produção : 5 unidades de A. Lucro máximo = x + x = 30 u.m. Leitura da solução "óptima" Metas do decisor ª prioridade : Min f = d + = 0 ª prioridade : Min f = d + + d = 0 3ª prioridade : Min f3 = d 3 = 0 S/ X-

19 8. Preferências do decisor e desvios indesejáveis: Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Desvios Penalizáveis Lucro 6x + 8x 90 u.m. 6x + 8x d + d = 90 d Receita da venda 50x + 5x 450 u.m. 50x + 5x d + d = 450 d Treino do pessoal x + 3x 30 h + x + 3x d3 + d3 = 30 d 3 Modelo para optimizar: Min f = d + d + d s.a. 3 30x + 0x 300 5x + 0x 0 6x + 8x d + d = x + 5x d + d = x + 3x d + d = x, x, d, d 0 e Inteiro ( i =,,3) Utilizando o software tem-se: i i x = 6 ( produzir 6 mesas) ; x = 6 ( produzir 6 cadeiras) ; d = 6 (só é possível obter 90-6 = 84 u.m. de lucro) ; d = 0 (é possível obter a receita de 450 u.m.) ; d 3 = 6 (só é possível efectuar 30-6 = 4 horas de treino). S/ X-3

20 9. Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Desvios Penalizáveis Prioridade Lucro 6x + 8x 90. 6x + 8x d + + d = 90 d - Cad./mesas 4x - x 0 4x x d + + d = 0 d + Capital 44x + 7x 35 44x + 7x d d 3 = 35 d Rec. venda 50x + 5x x + 5x d d 4 = 450 d Treino x + 3x 30 x + 3x d5 + d5 = 30 d Modelo para optimizar: Min f ( D) = M d + M d + M d + M d + d sa.. 30x + 0x 300 5x + 0x 0 6x + 8x d + d = x x d + d = x + 7x d + d = x + 5x d + d = x + 3x d + d = x ; d ; d 0 e Inteiro ( j =,; i = a 5) j i i Utilizando o software do autor tem-se (utilizando o método dos Big M s ): Notar o valor, em f(d), dos coeficientes dos desvios penalizáveis: M = ; M = ; M 3 = ; M 4 = 000 ; M 5 = S/ X-4

21 Produção óptima: mesas (x = ) e 0 cadeiras (x = 0) d + = (Lucro = 9 u.m. ; excesso de u.m. no lucro ; Min f = d = 0 ; ª meta satisfeita) d = (excesso de cadeiras; Min f = d + = 0 ; ª meta satisfeita) d 3 = 67 (defeito de 67 u.m. no capital a investir; Min f3 = d + 3 = 0 ; 3ª meta satisfeita) d 4 = 00 (defeito de 00 u.m. na receita da venda; Min f4 = d 4 = 00 ; 4ª meta não satisfeita) d + = (excesso de horas de treino ; Min f5 = d 5 = 0 ; 5ª meta satisfeita) 5 S/ X-5

22 0. Considere-se um eixo de abcissas (km) e as localidades na sua posição relativa: A B C D km Admitindo a estação localizada na abcissa de valor "x", a distância a que ficará cada uma das localidades é um desvio relativamente ao desejável (estação na própria localidade): Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Desvios Penalizáveis + A x = 0 x d + d = 0 Ambos + B x = x d + d = Ambos + C x = 5 x d + d = 5 Ambos + D x = 9 x d + d = 9 Ambos A B C D A B C D Objectivo: Min f( D) = 00( d + d ) + 400( d + d ) + 00( d + d ) + 300( d + d ) Todas as variáveis do modelo são não negativas. A A B B C C D D Localização óptima (não única) : C A B C D km 3 km 4 km S/ X-6

23 . Considerem-se x e y as coordenadas óptimas do furo. 0 N B(3,8) Canos C(7,6) x A(,) y Proprietário 0 Relativamente a qualquer das áreas, vista separadamente, o ideal seria que o furo nela tivesse lugar. Como tal não é possível é necessário estabelecer um compromisso. Considerando x, x, x, x, x, x A A B B C C os desvios por excesso e defeito na direcção Este-Oeste (será o comprimento do tubo de ligação necessário e y, y, y, y, y, y idênticos desvios na direcção Norte-Sul, A A B B C C o modelo de PL para optimizar a localização do furo e consequentemente minimizar o custo das ligações é o seguinte: Min f( x, y) = 00( x + x + y + y ) + 300( x + x + y + y ) + 00( x + x + y + y ) sa.. + x x + x = A A + y y + y = A A + x x + x = 3 B B + y y + y = 8 B B + x x + x = 7 C C + y y + y = 6 C C A A A A B B B B C C C C x, y, x, x, y, y, x, x, y, y, x, x, y, y 0 A A A A B B B B C C C C Utilizando o software do autor: S/ X-7

24 As ligações óptimas são as seguintes: 0 N B(3,8) C(7,6) A(,) Proprietário 0 Relativamente à casa, o furo deve ser aberto 3 km para Este e 6 km para Norte. São necessários 6 km de tubo para a ligação a "A" (600 u.m.), km para B (600 u.m.) e 4 km para C (800 u.m.) com custo total mínimo de 000 u.m. S/ X-8

25 . Variáveis de decisão: x A, x B, x C, x D (número de páginas a dactilografar em A, B, C, D respectivamente) Restrições técnicas: Capacidade das empresas (total de páginas) x A 30 (50 horas a 6.4 páginas/h) x B 08 x C 375 x D 308 (40 horas a 5.pgs./h) (50 horas a 7.5 páginas/h) (35 horas a 8.8 páginas/h) Estudo das Metas a fixar: Descrição Preferência do decisor Equação da Meta Desvios Penalizáveis + Pgs./semana 000 x A + x B + x C + x D d + d = 000 Defeito + Erros 0.05x A x B x C + 0.0x D d + d = Excesso + Custo (u.m.) x A +.4x B x C + 3.9x D d3 + d 3 = 3000 Excesso Prioridade Objectivo Min f = d Min f = d + 3 Min f3 = d + 3 Modelo para optimizar: Min f ( D) = M d + M d + d sa.. x A 30 (50 horas a 6.4 páginas/h) x B 08 (40 horas a 5.pgs./h) x C 375 (50 horas a 7.5 páginas/h) x D 308 (35 horas a 8.8 páginas/h) + x A + x B + x C + x D d + d = 000 (páginas para semana; ª prioridade) x A x B x C + 0.0x D d + d = (erros; ª prioridade) + 3.5x A +.4x B x C + 3.9x D d3 + d 3 = 3000 (custo; 3ª prioridade) x A, x B, x C, x D, d + i, d - i 0 e Inteiro (i =,,3) S/ X-9

26 Utilizando o Solver do Excel obtém-se: Solução Variáveis xa xb xc xd d+ d- d+ d- d3+ d3- º membro VSM Objectivo f(d) = Custo total A solução "óptima" é a seguinte: Empresa A : executar 48 páginas Empresa B : executar 74 páginas Empresa C : executar 37 páginas Empresa D : executar 306 páginas As metas de ª e ª prioridades são integralmente satisfeitas ( 000 páginas ; erros). A meta de 3ª prioridade é excedida em d + 3 = 54 u.m. ou seja o custo total é de 354 u.m. S/ X-0