C 3 C 3. De acordo com o teorema de Euler, um grafo não orientado admite um ciclo de Euler se e só for conexo e não tiver vértices de grau ímpar.

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1 rafos ircuito e iclo de uler X. ircuito e iclo de uler Um grafo orientado diz-se euleriano se há um circuito que contenha todos os seus arcos uma e só uma vez (circuito euleriano ).O grafo da figura é euleriano porque admite o circuito,,,. 1 2 e acordo com o teorema de uler, um grafo orientado admite um circuito de uler se e só se for fortemente conexo e pseudo simétrico 1 (diz-se que o grafo é euleriano ). Um grafo não orientado diz-se euleriano se há um ciclo que contenha todas as suas arestas uma e só uma vez (ciclo euleriano ).O grafo da figura é euleriano porque admite, por exemplo, o ciclo,,,. 1 2 e acordo com o teorema de uler, um grafo não orientado admite um ciclo de uler se e só for conexo e não tiver vértices de grau ímpar. 1. ircuito de uler onsidere-se que a figura seguinte representa uma zona da cidade onde uma equipa terá que fazer recolha de lixo em todos os arruamentos existentes (observando o sentido indicado para o trânsito). m cada um dos arruamentos está indicada a distância (centenas de metros) entre os vértices extremos. dmitindo que se pretende que o percurso de limpeza comece e termine em qual é o circuito óptimo? O circuito óptimo será um circuito de uler (em que se percorrerão todos os arruamentos uma única vez). Se existir, a distância total óptima será de 2 centenas de metros (somatório de todas as distâncias associadas a cada um dos arcos do grafo). ste grafo será euleriano?. 1 Um grafo orientado em que qualquer dos vértices tem semigrau interior e exterior iguais, diz-se grafo pseudo simétrico. NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-1

2 rafos ircuito e iclo de uler Na matriz do grafo, verifica-se se o grafo é conexo e, em caso afirmativo, determinam-se os semigraus de cada um dos vértices : + v Γ^ i ^ 1 Γ v i Porque o grafo é conexo e todos os vértices têm semigraus iguais, de acordo com o teorema de uler o grafo é euleriano. Para estabelecer um circuito de uler, que sabemos existir, actue-se do seguinte modo: 1. Registar em coluna, para cada vértice, os seus sucessores (1º quadro) 2. Organizar um 2º quadro para registar, sucessivamente, os arcos do circuito (início em por exemplo) Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice. scolher sucessivamente sucessores do último vértice atingido, impedindo circuitos parasitas Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice X-2 NVSTÇÃO OPRONL (MS)

3 rafos ircuito e iclo de uler Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice O vértice não tem sucessores; estabeleceu-se prematuramente o circuito parasita,,,.. O vértice é deslocado para a última casa livre do 2º quadro. O último vértice do circuito é agora Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-

4 rafos ircuito e iclo de uler O vértice não tem sucessores; estabeleceu-se o circuito parasita,,,. O vértice é deslocado para a última casa livre do 2º quadro. O último vértice do circuito é agora Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Seleccionar o arco ; eliminar no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é Ordem 1º 2º º º º º º º echo Vértice Todos os arcos foram seleccionados. Neste último quadro tem-se o circuito de uler com início e fim no vértice. Veja-se agora a situação anterior mas noutra zona da cidade: ste grafo será euleriano? X- NVSTÇÃO OPRONL (MS)

5 rafos ircuito e iclo de uler omecemos por organizar a matriz booleana do grafo da zona de limpeza, verificar se o grafo é fortemente conexo e registar o semigrau interior e exterior de cada vértice: Γ^ + v i ^ 1 Γ v i intersecção dos fechos transitivos directo e inverso do vértice é o conjunto {,,,,,,,, }) pelo que o grafo é fortemente conexo. Nos vértices,,,, e os semigraus exterior e interior são diferentes pelo que não há circuito de uler ou seja para fazer o circuito,., será necessário repetir a passagem em um ou mais dos arruamentos (arcos). O problema é então saber quais os arruamentos a repetir de forma a que o aumento na distância total seja o menor possível. O cálculo da solução óptima deste problema implica a eulerização do grafo que consiste em calcular quais os arcos a repetir entre vértices da rede (repetição de arruamentos) por forma a que, em todos eles, haja igualdade de semigraus (grafo euleriano ). Recorrendo à teoria de fluxos em rede, os vértices com semigraus diferentes serão Origem ou estino de fluxo consoante o semigrau exterior é, respectivamente, menor ou maior do que o semigrau interior. ssim, por exemplo, o vértice necessita ser considerado como Origem de luxo com oferta de uma unidade de fluxo. e facto, porque é origem de 2 arcos e fim de arcos, é necessário repetir a passagem num dos arcos de que é origem para ficar equilibrado o número de saídas de com o número de entradas em. No quadro seguinte, sistematiza-se esta pesquisa prévia: + v i v i onsiderar Oferta / Procura = < Origem 2 = < 2 Origem 1 2 = = > 2 estino 2 = > 1 estino 2 1 = = > 2 estino 2 = < 2 Origem 1 2 = 1 NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-

6 rafos ircuito e iclo de uler Nota: Veja-se que a disponibilidade de fluxo dos vértices classificados como origem de fluxo tal como a necessidade de fluxo dos vértices classificados como destino de fluxo é igual ao valor absoluto da diferença entre os semigraus do vértice. Para calcular o fluxo máximo com menor distância total, define-se a entrada fictícia na rede, X, que é ligada com arcos às origens de fluxo (,, ) e a saída fictícia da rede, Y, que é ligada aos destinos de fluxo (,, ). capacidades destes arcos de ligação é igual à oferta/procura do vértice a que estão associados. Os restantes arcos da rede têm capacidade ilimitada. Y ap = 1 ap = 1 ap = 1 ap = 1 ap = 1 X ap = 1 O fluxo máximo com menor encargo (distância neste caso) pode obter-se recorrendo a um modelo de programação inteira (PLP) em que as variáveis de decisão, não negativas, indicam o fluxo que percorre cada arco da rede. tendendo a que, obrigatoriamente, as variáveis X, X, X, Y, Y e Y terão valor de 1 unidade (tanto quanto é o valor absoluto da diferença entre os semigraus), o modelo a utilizar é o seguinte: Min Obs = 1 Origem = 1 Origem = 1 Origem = = = = 1 estino = 1 estino = 1 estino solução óptima 1 =2, ===1 indica para cada um destes arruamentos o número de vezes que devem ser repetidos para obter o circuito desejado com a distância total óptima de 10 centenas de metros ( dos arruamentos e 1 das repetições de arruamentos). Para calcular o circuito é necessário aumentar o grafo com 2 1 Obtida pelo método out of kilter. Pode utilizar-se o modelo de Transhipment. X- NVSTÇÃO OPRONL (MS)

7 rafos ircuito e iclo de uler arcos ligando a, 1 arco ligando a, 1 arco ligando a e 1 arco ligando a pois deste modo todos os vértices ficam com semigraus iguais (grafo euleriano ): ste grafo aumentado admite o circuito de uler:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, que se representa na figura seguinte (nos arcos está registada a ordem porque são percorridos): 1º 21º 12º 1º º º º º 1º 22º 20º 1º 11º 1º º º 1º 19º 2º 10º 1º 2º 9º Nota: veja-se que, nos vértices,,,, e são iguais os semigraus interior e exterior (pseudo simetria) Se se optasse pelo modelo de Transhipment para calcular os arruamentos a repetir, usava-se a matriz inicial: Oferta Observações distância associada às ligações inexistentes 0 é considerada infinita 0 (ig M ) Procura Nota: uffer= ; Origens e Transhipment:,, ; estinos e Transhipment:,, obtendo-se a solução óptima seguinte (veja-se =2, ===1; Min f(x)=1 ): NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-

8 rafos ircuito e iclo de uler 2. iclo de uler onsidere-se agora a mesma zona da cidade mas em que os arruamentos permitem transitar nos dois sentidos (arestas). dmitindo desejar que o percurso de limpeza de todos os arruamentos comece e termine em qual é o ciclo óptimo? O ciclo óptimo será um ciclo de uler (em que se percorrerão todos os arruamentos uma única vez). Se existir, a distância total óptima será de centenas de metros (somatório de todas as distâncias associadas a cada um dos arcos do grafo). ste grafo admite ciclo de uler? O grau de cada um dos vértices (número de arestas de que o vértice é extremo) é o seguinte: rau Obs Ímpar Ímpar Ímpar Ímpar Ímpar Ímpar Nota: atente-se que em qualquer grafo não orientado, é sempre par o número de vértices de grau ímpar, caso existam (teorema de uler) Porque há pelo menos um vértice de grau ímpar não há ciclo de uler para a limpeza ou seja para fazer o ciclo,., será necessário repetir a passagem em um ou mais dos arruamentos. O problema é então saber quais os arruamentos a repetir de forma a que o aumento na distância total seja o menor possível. O cálculo da solução óptima deste problema implica a eulerização do grafo que consiste em calcular quais as arestas a repetir entre vértices da rede (repetição de arruamentos) por forma a que, todos eles, tenham grau par (admitindo então um ciclo de uler). X- NVSTÇÃO OPRONL (MS)

9 rafos ircuito e iclo de uler técnica a usar, que difere da utilizada para grafos orientados, é a seguinte: 1. calcular a distância mínima entre cada par de vértices da rede 2. organizar pares de vértices, de grau ímpar, de forma a que : cada um dos vértices não pertença a mais do que um par seja mínima a soma das distâncias mínimas associadas a cada um dos pares Utilizando um algoritmo de encaminhamento (loyd por exemplo) obtêm-se as seguintes matrizes de distâncias mínimas e de precedências: (Matriz inicial) (Matriz de distâncias mínimas) (Matriz de precedências) Para organizar os pares de vértices de grau ímpar recorre-se a algoritmia adequada (minimum weighted perfect matching) ou a um modelo de PL (programação linear inteira binária). Neste último, consideram-se os pares possíveis (i,j) como sendo as variáveis de decisão (binárias: com valor 1 organiza-se o par (i,j) ; com valor 0 não se organiza o par (i,j) ). O modelo de PL a utilizar é o seguinte: NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-9

10 rafos ircuito e iclo de uler f= Vértice = = = = = = 1 Nota: Para cada vértice de grau ímpar é estabelecida uma restrição com todas as variáveis em que este vértice é o 1º ou o 2º vértice do par. este modo só uma dessas variáveis poderá ter valor 1 impedindo que o vértice pertença a mais do que um par. Os coeficientes da função objectivo, a minimizar, são as distâncias mínimas entre cada um dos pares de vértices em estudo (ver matriz de distâncias mínimas). Se, no óptimo, o par (i,j) tiver o valor 1 é necessário recorrer à matriz de precedências para saber o encaminhamento associado à distância mínima (que é coeficiente do par na função objectivo). s arestas deste encaminhamento serão duplicadas alcançando-se a desejada paridade dos vértices para se calcular o ciclo óptimo como se de um ciclo de uler se tratasse. solução óptima do modelo de PL é =1, =1; =1 com valor mínimo da função igual a 11 centenas de metros. Recorrendo à matriz de precedências, o encaminhamento óptimo entre estes pares de vértices é: : ligação directa com distância óptima de centenas de metros : ligação directa com distância óptima de centenas de metros : ligação directa com distância óptima de centenas de metros figura seguinte mostra o grafo aumentado com a indicação da ordem porque cada arruamento deve ser percorrido pelo pessoal da limpeza (ciclo de uler). distância total a percorrer será de 99 centenas de metros (+11). X-10 NVSTÇÃO OPRONL (MS)

11 rafos ircuito e iclo de uler. uto Teste a. Qual é o grau do vértice? b. O grafo seguinte admite um ciclo de uler? m caso negativo, quantas arestas são necessárias para eulerizálo? c. Qual é o mínimo de repetições de arestas necessárias para eulerizar o grafo seguinte? d. omente a afirmação seguinte: No grafo não orientado com 10 vértices de grau ímpar é necessário repetir arestas para eulerizar o mesmo. e. omente a afirmação seguinte: No grafo não orientado com 10 vértices de grau ímpar é necessário, no mínimo, repetir arestas para eulerizar o mesmo. f. ulerize o grafo seguinte: J K L NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-11

12 rafos ircuito e iclo de uler g. alcule um ciclo óptimo de limpeza na região urbana que o grafo seguinte representa (arestas com distâncias em centenas de metros): J h. Numa fábrica as ligações exteriores existentes são as indicadas na matriz seguinte (arestas com distâncias em metros) s instalações da segurança nocturna estão localizadas em. alcule o encaminhamento óptimo para a segurança sair e regressar às instalações percorrendo todos os arruamentos exteriores. i. alcule o circuito óptimo no grafo com a seguinte matriz de custos (u.m.): X-12 NVSTÇÃO OPRONL (MS)

13 rafos ircuito e iclo de uler j. alcule o circuito postal óptimo no grafo com a seguinte matriz de tempos (u.t.): J K L J 0 10 K 0 L 20 NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-1

14 rafos ircuito e iclo de uler. Solução do uto Teste a. O grau do vértice é o número de arcos/arestas de que o vértice é extremo. O vértice tem grau. b. Os vértices e têm grau ímpar, pelo que não há ciclo de uler. Porque e são adjacentes euleriza-se o grafo repetindo a aresta : c. Os vértices com grau ímpar são e. cadeia de menor comprimento tem duas arestas ( e ) pelo que é necessário repetir estas duas arestas: d. rrado (ver a questão anterior). e. orrecto (ver a questão anterior). f. Reutilizar as arestas,,, L, LK ou,,, K, são soluções óptimas. J K L J K L X-1 NVSTÇÃO OPRONL (MS)

15 rafos ircuito e iclo de uler g. Não há ciclo de uler (,, e têm grau ímpar). Para eulerizar o grafo é necessário calcular a matriz de encaminhamentos de distância mínima entre cada par de vértices e, de seguida, organizar os vértices de grau ímpar em dois pares complementares. Para tal, a ligação - deve desdobrar-se ficando do seguinte modo: matriz inicial de distâncias para cálculo do grau de cada vértice e encaminhamento de distância mínima entre cada par de vértices é a seguinte: J rau 2 Ímpar 10 Ímpar 10 Par 2 Par 10 Ímpar Par 2 0 Par 1 0 Par 2 0 Par Par 10 9 Ímpar J Par Os pares óptimos (,) e (,) são os arruamentos a repetir. distância total óptima é de 12 centenas de metros (11 dos arruamentos; 10 das repetições). NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-1

16 rafos ircuito e iclo de uler O grafo aumentado a seguir apresentado (conexo e com todos os vértices de grau par) admite o ciclo de uler,definido a partir de : J 21º 22º º º 1º 1º 1º 20º º 9º 1º 2º 1º 1º 19º º º º 10º 11º 12º 1º J h. Não há ciclo de uler pois há vértices de grau ímpar ( e ). O grafo e matriz inicial são os seguintes: Para eulerizar o grafo é necessário calcular a distância mínima entre os dois únicos vértices de grau ímpar (é de 00 metros por,,, ). O grafo é aumentado com as arestas, e que representam os arruamentos a repetir durante a ronda. O ciclo óptimo (ciclo de uler) é de 900 metros (100+00):,,,,,,,,,,,, X-1 NVSTÇÃO OPRONL (MS)

17 rafos ircuito e iclo de uler i. á circuito de uler com valor de 9 u.m. (grafo conexo; todos os vértices com grau par): j. Não há circuito de uler pois há vértices com semigraus interior e exterior diferentes (só, e têm semigraus iguais). O grafo aumentado é o seguinte: J K L Nº de arcos a repetir para ; para ; 20 1 para ; para ; 0 20 para ; 1 para ; para ; J para ; K 0 2 para J; L 20 1 para K; Neste grafo, aumentado, o circuito postal óptimo tem 0 unidades de tempo das quais 20 são devidas à repetição de arcos: J L K J K J L K J NVSTÇÃO OPRONL (MS) X-1

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