Combinando inequações lineares

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1 Combinando inequações lineares A multiplicação por um número > 0 não altera uma inequação 2x x 5 4x 2x A soma de duas inequações (com o mesmo sentido) produz uma inequação válida x 3x x x x 6x

2 Combinando inequações lineares A soma de duas inequações (com mesmo sentido) produz uma inequação válida 3x x 3 x 1 2 x x 2x 5 x 2 :3x 2 1 x2 3, x1 x2 2 x : 4x1 2x2 5 2

3 Combinando inequações lineares Geometricamente: x 2 3 3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 4x 1 + 2x x 1 3

4 Combinando inequações lineares Também é possível multiplicar as inequações por números 0 antes de somá-las 2 3x x x x x 3x 8 x 2 : 6x 2 1 2x2 6, x1 x2 2 x : 7x1 3x2 8 4

5 Combinando inequações lineares Geometricamente: x 2 3 6x 1 + 2x 2 6 x 1 + x 2 2 7x 1 + 3x x 1 5

6 Combinando inequações lineares Considere o PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 6

7 Combinando inequações lineares Considere o PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 x x 1 7

8 Combinando inequações lineares Considere o PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 x Solução ótima: x 1 = 1, x 2 = 0, z = x 1 8

9 Combinando inequações lineares Considere o PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 O que acontece com a solução ótima se substituirmos todas as restrições por uma única que seja combinação delas? x x 1 9

10 Combinando inequações lineares Considere o PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 O que acontece com a solução ótima se substituirmos todas as restrições por uma única que seja combinação delas? Vamos tomar por exemplo: x x x x x x 3x x 1 10

11 Combinando inequações lineares Novo PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 7x 1 + 3x 2 8 x 1, x

12 Combinando inequações lineares Novo PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 7x 1 + 3x 2 8 x 1, x 2 0 x

13 Combinando inequações lineares Novo PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 7x 1 + 3x 2 8 x 1, x 2 0 x Novos pontos extremos surgem e a solução ótima pode mudar

14 Combinando inequações lineares Novo PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 7x 1 + 3x 2 8 x 1, x 2 0 x 2 3 Novos pontos extremos surgem e a solução ótima pode mudar. No entanto, a observação interessante aqui é que cada coeficiente da nova restrição é maior ou igual ao coeficiente da função objetivo associado

15 Combinando inequações lineares Novo PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 7x 1 + 3x 2 8 x 1, x 2 0 Assim: z = 5x 1 + x 2 7x 1 + 3x 2 8 x Novos pontos extremos surgem e a solução ótima pode mudar. Logo: z

16 Combinando inequações lineares Novo PPL: Max z = 5x 1 + x 2 s.a. 7x 1 + 3x 2 8 x 1, x 2 0 Assim: z = 5x 1 + x 2 7x 1 + 3x 2 8 x Novos pontos extremos surgem e a solução ótima pode mudar. Logo: z 8 Em outras palavras, encontramos um limite superior para o custo ótimo do PPL original

17 Combinando inequações lineares Conclusão: dado um PPL de Maximização na forma canônica. Se substituirmos as restrições por uma combinação linear destas onde o coeficiente de cada variável é maior ou igual ao coeficiente da função objetivo associado, encontramos um limite superior para o custo ótimo do PPL original. Resultado semelhante pode ser derivado quando um problema é de minimização. Neste caso, encontraríamos um limite inferior.

18 Dualidade em Programação Linear Prof.: Marcos Roboredo 18

19 Dualidade em Programação Linear Considere o seguinte PL: max z 4x x 5x 3x 4 s. a x x x 3x 1 4 5x x 3x 8x 55 4 x 2x 3x 5x 3 4 x, x, x, x

20 Dualidade em Programação Linear Sem resolver pelo Simplex, vamos estimar o valor ótimo z* da FO Para conseguir um bom limite inferior para z*, precisamos apenas de uma boa solução viável max z 4x x 5x 3x 4 s. a x x x 3x 1 4 5x x 3x 8x 55 4 x 2x 3x 5x 3 4 x, x, x, x 0 4 Chutando algumas soluções viáveis, temos: (0,0,1,0) z* 5 (2,1,1,1/3) z* 15 (3,0,2,0) z* 22 (0,14,0,5) z* 29 20

21 Dualidade em Programação Linear Este método de tentativa e erro é muito inferior à abordagem sistemática do Simplex Mesmo se encontrarmos por sorte a solução ótima, não teremos como provar que ela é mesmo ótima No entanto, tentaremos encontrar limites superiores para z* também por tentativa e erro, através de combinações de inequações. 21

22 Dualidade em Programação Linear limites superiores para z* podem ser encontrados combinando as inequações, como vimos na introdução desta aula e veremos com mais detalhes agora. z Limite superior z* Limite inferior 22

23 Dualidade em Programação Linear Exemplo 1: z* 275/3 = 91,66 Multiplicando 5 x 1 + x x x 4 55 por 5/3: Logo: F.O. = 25 x1 5 x x3 x x1 x2 5x3 3x4 x1 x2 5x3 x

24 Dualidade em Programação Linear Exemplo 2: z* 58 Somando 5 x 1 + x x x 4 55 com x x x 3 5 x 4 3: 4x 3x 6x 3x 58 4 Logo, F.O. = 4 x 1 + x x x 4 4x 3x 6x 3x 58 4 Existe um procedimento para achar o melhor limite! 24

25 Dualidade em Programação Linear O procedimento geral consiste em multiplicar cada restrição por um multiplicador 0 y 1 para a primeira restrição y 2 para a segunda restrição y 3 para a terceira restrição e depois somar as desigualdades resultantes 25

26 Dualidade em Programação Linear Este procedimento gera a seguinte desigualdade: y 8y 5y x y 55y 3y y y y x y y y x y y y x No nosso exemplo 1, usamos y 1 = 0, y 2 = 5/3, y 3 = 0 No nosso exemplo 2, usamos y 1 = 0, y 2 = 1, y 3 = 1 26

27 Dualidade em Programação Linear Queremos usar a inequação y 8y 5y x y 55y 3y y y y x y y y x y y y x para obter um limite superior para a FO z 4x x 5x 3 x. 4 27

28 Dualidade em Programação Linear Para um limite válido, y 1, y 2, y 3, y 4 0 e F.O. = 4 x 1 + x x x y 8y 5y x y 55y 3y y y y x y y y x y y y x Logo, y 5y y 4 y y 2y 1 y 3y 3y 5 3y 8y 5y 3 28

29 Dualidade em Programação Linear Chegamos ao seguinte PL: min w y 55y 3y s. a y 5y y 4 y y 2y 1 y 3y 3y 5 3y 8y 5y 3 y, y, y 0 Este problema é chamado de dual do problema original. O problema original é chamado de primal. 29

30 Dualidade em Programação Linear max z 4x x 5x 3x 4 s. a x x x 3x 1 4 5x x 3x 8x 55 4 x 2x 3x 5x 3 4 x, x, x, x 0 4 PRIMAL DUAL min w y 55y 3y s. a y 5y y 4 y y 2y 1 y 3y 3y 5 3y 8y 5y 3 y, y, y 0 30

31 Dualidade em Programação Linear min w y 55y 3y s. a y 5y y 4 y y 2y 1 y 3y 3y 5 3y 8y 5y 3 y, y, y 0 Suponha que por tentativa e erro encontramos a solução viável (11,0,6) do dual com w=29. Logo, z* 29. Mas já sabíamos que z* 29. Logo, z*=29 e a solução (0,14,0,5) do problema original (primal) é ótima! 31

32 Definição geral de PL dual Dado um PL qualquer (o primal), existe outro PL que é o seu dual. Suponha que esse PL é um problema de maximização na forma canônica: n max z c x n j1 j1 j j S. a a x b i 1,2,..., m ij j i x 0 j 1,2,..., n j 32

33 Definição geral de PL dual Primal: max z n j1 n j1 c x j j S. a a x b i 1,2,..., m ij j i x 0 j 1,2,..., n j Dual: min w m i1 m i1 i i S. a a y c j 1,2,..., n ij i j y 0 i 1,2,..., m i b y 33

34 Dualidade em Programação Linear O dual de um problema de maximização é um problema de minimização As m restrições primais estão em correspondência um-para-um com as m variáveis duais y i As n restrições duais estão em correspondência um-para-um com as n variáveis primais x j O coeficiente de cada variável na FO, primal ou dual, aparece no outro problema como lado direito da restrição correspondente A matriz A de coeficientes do primal aparece transposta no dual. 34

35 Exercícios de dualidade Encontre o dual dos seguintes PPL: a) max z 5x1 7x2 3x3 b) s. a 2x 3x 4x x 1x 3x 150 1x 80 x, x, x, 0 max z 2x 3x 1x s. a 2x 3x 1x 10 1x 2x 2x 8 1x 3x 5x 6 x, x, 0, x irrestrita 35

36 Propriedades do PL dual Teorema 1 O dual do dual é o primal. 36

37 Prova do Teorema 1 n m max cx j j min by i i j1 i1 n m P S. a aijx j bi i 1,2,..., m D( P) S. a aij yi c j j 1,2,..., n j1 i1 x 0 1,2,..., yi 0 i 1,2,..., m j j n 37

38 Prova do Teorema 1 m m min bi yi max ( bi ) yi i1 i1 m m D( P) S. a aij yi c j j 1,2,..., n S. a ( aij ) yi c j j 1,2,..., n i1 i1 yi 0 i 1,2,..., m yi 0 i 1,2,..., m 38

39 Prova do Teorema 1 m n max ( b) min ( ) i yi cj xj i1 j1 m n ( P) S. a ( aij ) yi c j j 1,2,..., n D( D( P)) S. a ( aij) x j bi i 1,2,..., m i1 j1 yi 0 i1,2,..., m x j 0 j 1,2,..., n 39

40 Prova do Teorema 1 n n min ( c j ) x j max c jx j j1 j1 n n D( D( P)) S. a ( aij ) x j bi i 1,2,..., m P S. a aijx j bi i 1,2,..., m j1 j1 x j 0 j 1,2,..., n x j 0 j 1,2,..., n 40

41 É igualmente válido definir o primal como sendo um problema de minimização Primal: min z m i1 m i1 b y i i S. a a y c j 1,2,..., n ij i j y 0 i 1,2,..., m i Dual: max w n j1 n j1 j S. a a x b i 1,2,..., m j ij j i x 0 j 1,2,..., n j c x 41

42 Propriedades do PL dual Teorema da dualidade fraca Se x é viável e tem valor z para um PL de maximização e y é viável e tem valor w para o seu dual, então z w. 42

43 Versão minimização do Teorema Teorema da dualidade fraca Se x é viável e tem valor z para um PL de minimização e y é viável e tem valor w para o seu dual, então z w. 43

44 Simetria da Dualidade Na verdade, temos um par de PLs na forma canônica, um de minimização, outro de maximização. Escolhendo um deles para ser o primal, o outro fica sendo o dual. min z m i1 m i1 b y i i S. a a y c j 1,2,..., n ij i j y 0 i 1,2,..., m i max w n j1 n j1 j S. a a x b i 1,2,..., m j ij j i x 0 j 1,2,..., n j c x 44

45 Prova do Teorema da dualidade fraca Para qualquer x viável para o primal e qualquer y viável para o dual: n n m m n m z c x ( a y ) x ( a x ) y b y w. j j ij i j ij j i i i j1 j1 i1 i1 j1 i1 * Em particular, se o primal e o dual tiverem soluções ótimas x e * * z w. y *, 45

46 Propriedades do PL dual Teorema da dualidade forte Se o primal tem solução ótima x* com valor z*, então o dual tem solução ótima y* com valor w* e z*=w*. Consequência: sempre é possível usar uma solução do dual para provar a que uma solução ótima do primal realmente é ótima. 46

47 Relações entre os PLs primal e Dual Pelo Teorema da dualidade fraca: Se o Primal for ilimitado, o dual é inviável. Se o dual for ilimitado, o primal é inviável. 47

48 É possível que tanto o primal quanto o dual sejam inviáveis Exemplo: max z 2x x min w y 2y S. a x x 1 S. a y y x x 2 y y x, x 0 y, y

49 Relações entre o primal e o dual PRIMAL Ótimo Inviável Ilimitado DUAL Ótimo Inviável Ilimitado Possível Impossível 49

50 Teorema das folgas complementares * * Seja x viável para o primal e y viável para o dual. Ambas as soluções serão ótimas se e somente se: n * * i i ij j j1 y ( b a x ) 0 i 1,, m e m * * ( aij yi - c j ) x j 0 j 1,, n. i1 50

51 Teorema das folgas complementares * * Seja x viável para o primal e y viável para o dual. Ambas as soluções serão ótimas se e somente se: Folga da restrição i do primal n * * i i ij j j1 y ( b a x ) 0 i 1,, m e m * * ( aij yi - c j ) x j 0 j 1,, n. i1 Se a folga de uma restrição primal for > 0 => a variável dual correspondente = 0 Se uma variável dual >0 => a folga da restrição primal correspondente = 0 51

52 Teorema das folgas complementares * * Seja x viável para o primal e y viável para o dual. Ambas as soluções serão ótimas se e somente se: n * * i i ij j j1 y ( b a x ) 0 i 1,, m e m * * ( aij yi - c j ) x j 0 j 1,, n. i1 Excesso da restrição j do dual Se o excesso de uma restrição dual for > 0 => a variável primal correspondente = 0 Se uma variável primal >0 => o excesso da restrição dual correspondente = 0 52

53 Implicação do Teorema das folgas complementares Uma solução primal viável x 1 *, x 2 *,..., x n * é ótima se e somente se existem números y 1 *, y 2 *,..., y m * tais que: m i1 i1 a y c sempre que x 0 * * ij i j j n * * i 0 sempre que ij j i j1 e que sejam dual viáveis, i.e.: m y a x b a y c j 1,2,..., n * ij i j y 0 i 1,2,..., m. * i (1) (2) 53

54 Exemplo de aplicação de dualidade: teste de otimalidade de solução obtida por chute * * * * * * x1 2, x2 4, x3 0, x4 0, x5 7, x6 0 é uma solução ótima para o PL? max z 18x 7x 12x 5x 8x 4 6 s. a 2x 6x 2x 7x 3x 8x x x 4x 3x x 2x x 3x 5x 2x 2x x 8x 7x x 3x x 2x 3x 6x 2x x x, x, x, x, x, x

55 Exemplo de aplicação de dualidade: teste de otimalidade de solução obtida por chute * * * * * * x1 2, x2 4, x3 0, x4 0, x5 7, x6 0 é uma solução ótima para o PL? max z 18x 7x 12x 5x 8x 4 6 s. a 2x 6x 2x 7x 3x 8x x x 4x 3x x 2x x 3x 5x 2x 2x x 8x 7x x 3x x 2x 3x 6x 2x x x, x, x, x, x, x

56 Exemplo de aplicação de dualidade: teste de otimalidade de solução obtida por chute * * * * * * x1 2, x2 4, x3 0, x4 0, x5 7, x6 0 é uma solução ótima para o PL? max z 18x 7x 12x 5x 8x 4 6 s. a 2x 6x 2x 7x 3x 8x x x 4x 3x x 2x x 3x 5x 2x 2x x 8x 7x x 3x x 2x 3x 6x 2x x x, x, x, x, x, x Folga 0 Folga 1 Folga 0 Folga 0 Folga 1 56

57 Exemplo de aplicação de dualidade: teste de otimalidade de solução obtida por chute * * * * * * x1 2, x2 4, x3 0, x4 0, x5 7, x6 0 é uma solução ótima para o PL? max z 18x 7x 12x 5x 8x 4 6 s. a 2x 6x 2x 7x 3x 8x x x 4x 3x x 2x x 3x 5x 2x 2x x 8x 7x x 3x x 2x 3x 6x 2x x x, x, x, x, x, x Folga 0 Folga 1 Folga 0 Folga 0 Folga 1 y 2 = 0 y 5 = 0 57

58 Teorema das folgas complementares Queremos achar a solução dual ótima. Nesse caso, em (1) teremos: 2y 3y 8y 4y 5y 18 * * * * * 4 5 * * * * 5 * * * * * y2 * y5 6y y 3y 2y 7 3y y y 2y 0 Note que não construímos as restrições associadas as variáveis x 3, x 4 e x 6 pois já sabemos que elas possuirão folga

59 Teorema das folgas complementares Queremos achar a solução dual ótima. Nesse caso, em (1) teremos: 2y 3y 8y 4y 5y 18 * * * * * 4 5 * * * * 5 * * * * * y2 * y5 6y y 3y 2y 7 3y y y 2y 0 Note que não construímos as restrições associadas as variáveis x 3, x 4 e x 6 pois já sabemos que elas possuirão folga. Além disso, consideramos as demais restrições como igualdade pois já sabemos que elas não possuirão folga

60 Teorema das folgas complementares Nesse caso, em (1) teremos: 2y 3y 8y 4y 5y 18 * * * * * 4 5 * * * * 5 * * * * * y2 * y5 6y y 3y 2y 7 3y y y 2y Como y 2 = 0 e y 5 = 0, então... 60

61 Teorema das folgas complementares Resolver um sistema 3 x 3: 2y 8y 4y 18 * * * * * 1 y3 * * 1 y4 6y 3 7 3y 0 61

62 Teorema das folgas complementares Resolver um sistema 3 x 3: 2y 8y 4y 18 * * * * * 1 y3 * * 1 y4 6y 3 7 3y 0 Se este sistema tiver solução e esta for dual viável, a solução inicial do primal é realmente ótima 62

63 Teorema das folgas complementares 2y 3y 8y 4y 5y 18 * * * * * 4 5 * * * * 5 * * * * * y2 * y5 6y y 3y 2y 7 3y y y 2y 0 Dado que a solução (1/3, 0, 5/3, 1, 0) satisfaz o sistema e ela é dual viável (verifique) e a solução primal x 1 *, x 2 *,..., x 6* é ótima

64 Teorema das folgas complementares 2y 3y 8y 4y 5y 18 * * * * * 4 5 * * * * 5 * * * * * y2 * y5 6y y 3y 2y 7 3y y y 2y 0 Note que além de provarmos que a solução inicial fornecida era ótima encontramos também a solução dual ótima

65 Exercício x 0, x 2, x 0, x 7, x 0 * * * * * 4 5 é uma solução ótima para o PL? max z 8x 9x 12x 4x 11x 4 5 s. a 2x 3x 4x x 3x x 7x 3x 2x x x 4x 6x 2x 3x x, x, x, x, x

66 Como encontrar o dual de um PL que não está na forma canônica? Uma possibilidade é converter para a forma canônica max z 2x x max z 2x x S. a x x 1 S. a x x x x 4 x x x, x 0 x x x, x

67 Como encontrar o dual de um PL que não está na forma canônica? O dual então fica: min w y 4y 4y S. a y y y 2 y y y 1 y, y, y 0 70

68 Como encontrar o dual de um PL que não está na forma canônica? As variáveis y2 e y3 podem ser substituídas por uma única variável irrestrita min w y 4y 4y S. a y y y 2 y y y 1 y, y, y 0 71

69 Como encontrar o dual de um PL que não está na forma canônica? O dual então é equivalente a: min w y 4y 1 2 S. a y y 2 y y y y irrestrito 72

70 É possível encontrar o dual de um PL que não está na forma canônica diretamente PRIMAL maximizar minimizar DUAL b i 0 Restrições b i 0 Variáveis = b i irrestrita 0 c j Restrições Variáveis 0 irrestrita c j = c j 73

71 É possível encontrar o dual de um PL que não está na forma canônica diretamente PRIMAL minimizar maximizar DUAL b i 0 Restrições b i 0 Variáveis = b i irrestrita 0 c j Restrições Variáveis 0 irrestrita c j = c j 74

72 Exercício: refazer o item b), agora utilizando a tabela de conversão max z 2x 3x 1x s. a 2x 3x 1x 10 1x 2x 2x 8 1x 3x 5x 6 x, x, 0, x irrestrita 75

73 Exercício Escreva o dual do problema abaixo e use o teoremas das folgas complementares para achar a solução dual ótima: maximizar z = 2 x 1 + x 2 Sujeito a 3 x 1 + x 2 9 x x 2 12 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 Solução ótima: x 1 = 2 x 2 = 3 z = 7 76

74 Exercício Escreva o dual do problema abaixo e use o teoremas das folgas complementares para achar a solução dual ótima: maximizar z = 2 x 1 x 2 Sujeito a 3 x 1 + x 2 9 x x 2 12 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 Solução ótima: x 1 = 3 x 2 = 0 z = 6 77

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