Problemas de Fluxos em Redes

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1 Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou canais (ramos ou arcos). Objectivo: Enviar um certo tipo de bem a partir de certos pontos e receber esses bens noutros pontos. Slide Exemplos: linhas de comunicação redes de estradas, comboios ou de aviões redes de gás, electricidade ou água

2 Investigação Operacional Problemas de Transportes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas O problema da distribuição de frigoríficos Slide 4 Um fabricante de frigoríficos tem fábricas, de onde abastece clientes (distribuidores). No início de cada mês recebe de cada cliente a informação sobre o número de frigoríficos que pretende para esse mês. Esses frigoríficos terão que ser produzidos nas várias fábricas, atendendo à capacidade de produção de cada uma delas. O custo de transportar um frigorífico de cada fábrica para cada cliente é conhecido. O problema consiste em determinar que fábrica(s) deve(m) abastecer cada cliente, e em que quantidades, de forma a que, respeitando as capacidades de produção das fábricas e satisfazendo as necessidades dos clientes, o custo total de transporte seja minimizado. Formule este problema considerando que as capacidades de produção são iguais em todas as fábricas (0 frigoríficos) e que as necessidades dos clientes são de 0, 0 e 0 frigoríficos. Os custos unitários de transporte são os indicados na tabela seguinte (em milhares de escudos): Clientes 4 Fábricas 5 6

3 Investigação Operacional Modelo x ij quantidade a transportar da fábrica i para o cliente j suj. a: min x +4x +x + x +5x +x + x + x +6x Slide 5 x +x +x 0 x +x +x 0 x +x +x 0 x +x +x 0 x +x +x 0 x +x +x 0 x, x, x, x, x, x, x, x, x 0 Estrutura de um Problema de Transportes (PT) origens onde existe um bem ou serviço disponível (em quantidades limitadas); destinos onde esse bem ou serviço é necessário; Slide 6 existem, e são conhecidos, custos unitários de transportar entre cada origem e cada destino; o objectivo é determinar a política óptima de transportes, isto é, aquela que satisfazendo as necessidades e respeitando as disponibilidades, minimiza o custo total de transporte.

4 Investigação Operacional 4 Modelo do PT x ij quantidade a transportar da origem i para o destino j; c ij custo de transportar uma unidade da origem i para o destino j; d i disponibilidade na origem i; n j necessidade no destino j. Slide 7 min i c ij x ij j suj. a: x ij d i, i (restrições da oferta) j x ij n j, j (restrições de procura) i x ij 0 Distribuição de frigoríficos a rede de transportes Disponibilidades Origens Destinos Necessidades d =0 4 n =0 Slide 8 d =0 5 n =0 d =0 6 n =0 i d i =60 Disponibilidades totais j n j =60 = Procura total Problema na forma standard

5 Investigação Operacional 5 Forma standard de um PT oferta = procura Slide 9 Tudo o que está nas origens é transportado para os destinos. As restrições são satisfeitas nas igualdades. Somando as equações das restrições da x ij = i oferta d i i j as equações das restrições da iguais procura x ij = j n j obtém-se a mesma equação! j i Equações linearmente dependentes há uma equação a mais Conclusão: Num PT na forma standard só é necessário considerar n o de origens + n o de destinos - equações. Resolução de um PT modelo de PT éummodelodepl método Simplex; são problemas com uma estrutura particular desenvolvimento de um algoritmo específico, que tira partido dessas particularidades, baseado no Simplex e noutros conceitos de PL avançada. Slide 0 Quadro para o algoritmo de transportes Destinos O r i g e n s Formulação como um PT 0 0 0

6 Investigação Operacional 6 Geração de uma solução inicial (i) Regra dos custos mínimos Slide Geração de uma solução inicial (ii) Regra do canto NW Slide

7 Investigação Operacional 7 Soluções iniciais (básicas) degeneradas Slide Apenas 4 variáveis diferentes de zero. n + m - = 5 variáveis básicas necessárias. Logo, teremos que promover uma variável nula a básica. (Solução básica degenerada) Regra para escolha da variável nula que será considerada básica: x O grafo representativo das variáveis básicas terá que ser uma árvore e conexo Logo, poderemos tomar x, x, x ou x,masnão x. Algoritmo de transportes (i) Cálculo dos custos marginais Para cada variável básica x ij definem-se dois custos (os custos marginais) que somados dão o custo unitário de transporte dessa variável básica, c ij. Slide 4 O custo de transportar uma unidade de i para j pode ser entendido como a soma de custos: u i (custo de despacho em i) 0 v j (custo de recepção em j) É necessário arbitrar um destes custos para uma das variáveis básicas (normalmente arbitra-se 0 para o custo do canto superior esquerdo)

8 Investigação Operacional 8 Algoritmo de transportes (ii) Cálculo das diferenças Slide 5 Para todas as variáveis não básicas calcula-se um ij = c ij [u i + v j ]. Entrará nabaseavariável não básica com ij mais negativo (problema de minimização). Ao entrar na base esta variável deixa de valer 0 passando a valer 0 0 Θ, positivo. O valor θ 0+ θ das variáveis básicas 4 4 altera-se de forma a respeitarem-se disponibilidades e necessida θ 0 - θ des. O valor de Θ será tal que nenhuma θ = 0 variável venha negativa. Continuando a resolver θ -- 0+θ θ θ θ 0 θ 4 9 θ 0-θ θ 0-θ θ θ 5 - Slide θ 0 - θ θ = 0 θ = 0 θ = Solução óptima x = 0, x = 0, x = 0, x = 0, x = 0 Custo óptimo = = 0

9 Investigação Operacional 9 Exemplo Slide 7 Uma companhia construtora de aviões pretende planear a produção de um motor, para os próximos 4 meses. Para satisfazer as datas de entrega contratuais necessita de fornecer os motores nas quantidades indicadas na segunda coluna do quadro. O número máximo de motores que a companhia produz por mês, bem como o custo de cada motor (em milhões de dólares) são dados na terceira e quarta colunas do referido quadro. Dadas as variações nos custos de produção, pode valer a pena produzir alguns motores um ou mais meses antes das datas programadas para entrega. Se se optar por esta hipótese, os motores serão armazenados até aomês de entrega, com um custo adicional de 0.05 milhões de dólares/mês. Mês Quantidades Produção Custo unitário Custo unitário a entregar máxima de produção de armazenagem O director de produção quer saber quantos motores deve fabricar em cada mês (e para que meses de entrega) por forma a minimizar os custos globais de produção e armazenagem. Formule o problema como um problema de transportes. Resolução Produção.080 Entrega Mês de entrega 4 x Slide M ê s d e p r o d u ç ã o /

10 Investigação Operacional 0 Problemas de transexpedição Slide 9 Exemplo: Problemas de transexpedição (extensão do PT) Produtores 0 P 80 P Pontos de transexpedição 00 F F Destinos D 50 D 70 D 60 Questões adicionais: Restrições de capacidade nas fronteiras (pontos de transexpedição) Equilíbrio de fluxos Formulação de um problema de transexpedição como um PT D D D F F X P P Slide 0 F F Notas: o que é transportado de um ponto de transexpedição para si próprio representa a capacidade de transexpedição não usada; caso a capacidade dos pontos de transexpedição seja infinita, deve-se usar o valor do somatório da procura ou da oferta.

11 Investigação Operacional Formulação de problemas de fluxos em redes genéricas Slide Exemplo Restrições: Nó Disponibilidade = 50 Necessidade = 40 Intermédio 4 Disponibilidade = 0 5 Necessidade = 0 Nós fornecedores: Fluxo que entra + Disponibilidades = Fluxo que sai Nós consumidores: Fluxo que entra - Necessidades = Fluxo que sai Nós intermédios: Fluxo que entra = Fluxo que sai Modelo de PL para problemas de fluxos em redes genéricas x ij fluxos nos ramos suj. a: min 5x + x +x 4 +6x 5 +x +4x 4 +5x 5 +x 4 +7x 45 Slide x +x = 50 x +x 4 +x 5 x = 40 x +x +x 4 +x 5 x 4 = 0 x 4 x 4 +x 4 +x 45 = 0 x 5 x 5 x 45 = 0 x ij 0, i,j equação redundante!

12 Investigação Operacional Bibliografia Hillier, Fraderick S. e Lieberman, Gerald (995). Introduction to Operations Research, Mc Graw-Hill. Slide Oliveira, José Fernando (996). Apontamentos de Investigação Operacional..