Programação Linear (PL)

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1 Programação Linear (PL) ETAPA 05 Volume 04: O problema de transporte (PT) Definição e apresentação sobre forma de rede Formulação do caso equilibrado e não equilibrado Exemplos Propriedades fundamentais Prof Bertolo O Problema de Transporte e Redes Uma das aplicações mais importantes da programação linear para resolver problemas empresariais está na distribuição física de produtos, que, geralmente, chamamos de problemas de transporte Aplicação da PL Encontramos um problema de transporte quando precisamos enviar unidades de um produto por uma rede de rodovias que conectam um determinado grupo de cidades Cada cidade é considerada uma fonte, em que unidades serão transportadas para fora do local, ou um receptor, onde as unidades são exigidas no local Cada fonte tem uma determinada provisão, cada receptor tem uma determinada demanda e cada rodovia que conecta um par de fontes e receptores tem um determinado custo de transporte por unidade de remessa Isto pode ser visualizado na forma de uma rede O objetivo é determinar um modelo ótimo de transporte que minimize o custo total de remessas, sujeito a restrições de suprimentos e demandas EXEMPLO: Sejam as fontes os armazéns e os receptores os distribuidores para o varejo Sejam as fontes as unidades produzidas e os receptores as demandas Aqui as fontes e os receptores não correspondem a locais físicos Prof Bertolo

2 O propósito é minimizar o custo de transportar bens de um local para outro de forma que as necessidades de cada área de chegada sejam conhecidas, e todo local de remessa opere dentro de sua capacidade Poderíamos locar os empregados de maneira eficaz em certos postos de Exemplo trabalho dentro de uma organização Chamamos esta aplicação de problema de tarefa É possível montar um problema de transporte e resolver isso usando o SOLVER Na realidade, nós podemos resolver problemas de transporte relativamente grandes com o auxílio do SOLVER Propósito SOLVER Prof Bertolo Exemplo Prático de Distribuição Consideremos que a confecção de roupas trabalhada anteriormente se situa no estado de Minas Gerais, porém, com grande parte do volume de vendas, destinado a distribuidores e grandes varejistas de outros estados Com este crescimento de vendas fora do Estado, o proprietário da confecção decidiu, há cerca de seis meses, montar outra confecção no estado doespíritosantoeterceirizarasua logística para um grande operador logístico nacional que permite, por meio de sua rede de transporte entre unidades, diminuir o custo de entrega As capacidades instaladas de cada confecção, as demandas nos estados de atuação, bem como os custos unitários de transporte entre fábrica e unidades de distribuição estão evidenciados na figura a seguir: O objetivo deste estudo é dizer, ao proprietário da confecção, qual a melhor forma de distribuir as peças produzidas de acordo com as informações levantadas É importante atentarmos para o fato de que, em toda fonte fornecedora, o valor da capacidade é um número negativo e, em toda fonte de demanda, o número assume um valor positivo Isso ocorre em função da metodologia que é proposta para equacionar o problema Prof Bertolo

3 Regrinhas e Notação Para LACHTERMACHER (004, p5), utilizando a regra do fluxo balanceado para cada nó (unidade) da rede, é possível chegar à resposta, buscando equilibrar a quantidade ofertada com a demanda em cada nó do problema Segundo Ragsdale (00) apud Lachtermacher (004), as hipóteses para encontrar o tipo de relação nas restrições seguem a regra, a seguir: Oferta > Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Oferta < Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Oferta = Demanda Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó No nosso exemplo temos que a oferta total das fábricas é de 70 unidades, sendo que o total da demanda (soma das necessidades em todas as unidades) é de 8000 Portanto, já sabemos que as restrições em cada nó do problema devem ser tratadas usando a segunda regra apresentada, ou seja, menor ou igual ( ) X dp = as variáveis referentes às quantidades transportadas em cada trecho, em que d é o ponto de origem do trecho e p o ponto de destino Assim, a variável que representará a quantidade de peças transportadas entre Minas Gerais () e São Paulo (), por exemplo, será X Prof Bertolo Os Passos da Modelagem Passo criar o modelo matemático É importante descrever o modelo matemático do problema, para que possamos, posteriormente, inserir os dados no EXCEL com maior facilidade: Função objetivo Min,5X + 4X 4 + X 5 + X 6 +,5X 7 + X 5 + X 7 + X 4 +,5X 5 Restrições: Nó -X -X 4 - X 5 -X 6 -X Nó -X 5 -X 7-0 Nó X + X 5 -X 4 0 Nó 4 X 4 + X 4 0 Nó 5 X 5 + X 5 -X Nó 6 X Nó 7 X 7 + X Fábricas e Distr Custo unitário de transporte Unidades de Distribuição As restrições serão Oferta,5 4, ,5 Demanda Prof Bertolo

4 Criando uma Planilha para Modelagem Passo criar a planilha de modelagem - Layout A criação da planilha de modelagem deve ser feita de forma organizada, definindo as células das variáveis de decisão, função objetivo e funções de restrições Variáveis Restrições de Decisão B C D E F G H I De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda, , , , , , , ,0 5,5 Custo Total 0 Prof Bertolo Função Objetivo Inserindo Fórmulas na Planilha B C D E F G H I J K De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda, , , , , , , ,0 5,5 Custo Total 0 =SOMASE($C$4:$C$;G0;$E$4:$E$) SOMASE($B$4:$B$;G0;$E$4:$E$) =SOMARPRODUTO(D4:D;E4:E) Adiciona as células especificadas por um determinado critério ou condição: Intervalo:- é o intervalo de células que se quer calculado $C$4:$C$ Critério:- é o critério ou condição na forma de um número, expressão ou texto, que definem quais células serão adicionadas G0 Intervalo_soma:- são células a serem somadas Quando não especificadas, são usadas as células do intervalo $E$4:$E$ Prof Bertolo 4

5 O SOLVER em Ação!! Passo resolver o problema usando o SOLVER A inserção dos parâmetros no SOLVER permitirá que o programa nos apresente a melhor forma de distribuição das peças produzidas pela confecção: É importante nos certificarmos de que foram selecionados os parâmetros: Presumir modelo linear e Presumir valores não negativos nas opções do SOLVER antes de optar por resolver o problema Prof Bertolo O Resultado!! A B C D E F G H I PROBLEMA DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO CONFECÇÃO DE ROUPAS De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda , , , , , , , ,0 0 5,5 0 Custo Total 7 A organização da planilha propicia uma fácil interpretação do resultado, sendo possível visualizarmos que o menor custo total de distribuição é de R$ 7,00, 00 sendo que apenas o estado do Paraná (nó 4) fi cará sem os seus pedidos atendidos Na tabela de unidades, podemos observar qual foi a forma encontrada para distribuir os produtos Por exemplo, o estado de São Paulo (nó ) recebeu 000 unidades da unidade de Minas Gerais (nó ) e 0 unidades do operador logístico no Rio de Janeiro (nó 5) Prof Bertolo 5

6 Problema de Transporte Outro Exemplo Um dos principais produtos da firma Lactosal é oleite Os pacotes de leites são empacotados em fábricas e depois são distribuídos de caminhão para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura (demanda) prevista para cada armazém e as capacidades de produção (oferta) de cada fábrica, pretende-se: OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE Prof Bertolo Problema de Transporte Outro Exemplo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábricaarmazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes: 4 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de caminhão Armazéns Fábricas 4 Oferta Demanda Prof Bertolo 6

7 Formulação do Problema de Transporte Custo por carga de caminhão Armazéns Exemplo Protótipo Fábricas 4 Oferta Demanda Minimizar z = x + x + x + 4 x x + x + x + 4 x 4 + x + x + x 4 sujeito a: x +x +x +x 4 = 6 x +x +x +x 4 = 8 x +x +x +x 4 = 0 x + x + x = 4 x +x +x = 7 x +x +x = 6 x 4 +x 4 +x 4 = 7 x ij 0 ( i=,,; j=,,,4 ) Prof Bertolo Matriz de Restrições do Problema de Transporte Exemplo Protótipo A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura: A= x x x x 4 x x x x 4 x x x x 4 Prof Bertolo 4 7

8 Problema de Transporte sob a forma de Rede Exemplo Protótipo Fábricas c x c 4 x 4 Armazéns 4 Prof Bertolo 5 Problema de Transporte Do Exemplo ao Modelo do PT Cargas de leite Unidades de um produto fábricas m origens 4 armazéns n destinos Produção da fábrica i a i oferta da origem i Procura no armazém j b j poc procura no destinoj Custo de transporte por carga da fábrica i para o armazém j c ij custo por unidade transportada da origem i para o destino j Prof Bertolo 6 8

9 x ij Problema de Transporte Do Exemplo ao Modelo do PT ij cargas a distribuir da fábrica i para o armazém j Determinar o plano ótimo de distribuição diária do leite das fábricas pelos armazéns tendo como objetivo a minimização do custo total x ij unidades a distribuir ib i da origem i para o destino j Determinar o plano ótimo de distribuição desse produto das origens pelos destinos tendo como objetivo a minimização do custo total Prof Bertolo 7 Problema de Transporte Caso Equilibrado Origem Destino m Oferta total = Procura total n Oferta c c x x c c x x x m c m Prof Bertolo c n x n c n c m x n x m x mn c mn a a a m Procura b b b n a i = b j Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado 8 9

10 Problema de TransporteCaso equilibrado Exemplo protótipo Origem Destino Oferta total = Procura total 4 Oferta 4 x x x x x x x x 4 0 x x x 4 x Procura =4 Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total Este problema está equilibrado Prof Bertolo 9 Problema de Transporte Formulação como problema de PL Minimizar sujeito a: n j= m m n i= j= z x ij = a i x ij = b j i= xij = 0 c ij x ij, i =,,, m, j =,,, n, i =,,, m restrições de oferta restrições de procura, j =,,, n Prof Bertolo 0 0

11 Problema de transporte sob a forma de rede Origens c x Destinos a b a a i a m i m c ij x ij c mn x mn Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nós e arcos Os nós representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado j n b b j b n Prof Bertolo Problema de Transporte Estrutura especial da matriz de restrições A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns () e zeros (0) Cada variável x ij tem como coeficientes apenas uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa ao destino j restrições das origens restrições dos destinos A= O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela disposição das restrições: x x x n x x x n x m x m x mn Prof Bertolo

12 Origem Problema de Transporte Oferta total superior à procura total Destino m n n+ Oferta c c x x c c x x x m c n x n c n x n c m c m c x m Prof Bertolo x n+ x n+ Procura b b b n a i b j Adicionar destino fictício x mn c mn x m n a a a m Oferta total superior à procura total Exemplo : Plano de Produção Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião Para cumprir os contratos estabelecidos bl deve ser determinado o plano ótimo de produção dos motores para os próximos quatro meses Prof Bertolo 4

13 Oferta total superior à procura total Exemplo : Plano de Produção Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes: Mês Instalações programadas Produção máxima Custo unitário de produção Custo unitário de armazenamento os custos em milhões de dólares Prof Bertolo 5 Oferta total superior à procura total Exemplo : Plano de Produção Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: Origem i produção de motores no mês i (i =,,,4) Destino j instalação de motores no mês j (j=,,,4) x ij quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j x ij = 0, se i>j (primeiro produzir, depois instalar) c ij custo por unidade de produção e armazenamento c ij = M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande Prof Bertolo 6

14 Oferta total superior à procura total Exemplo Restrições de ofertas As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês Mês 4 Instalações programadas Produção máxima Custo unitário de produção Custo unitário de armazenamento x +x +x +x 4 5 x +x +x +x 4 5 x +x +x +x 4 0 x 4 + x 4 + x 4 + x 44 0 Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte las em restrições de igualdade Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês Prof Bertolo 7 Oferta total superior à procura total Exemplo Restrições de procuras As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês Mês 4 Instalações programadas Produção máxima Custo unitário de produção 08 0 Custo unitário de armazenamento x +x +x +x =0 x +x +x +x 4 =5 x +x +x +x 4 = 5 x 4 +x 4 +x 4 +x 44 =0 Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes a i >j devem ser nulas Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal como no método do big M Prof Bertolo 8 4

15 Oferta total superior à procura total Exemplo Quadro do problema de transporte Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: Os custos são calculados tomando os dados dos custos de produção e de armazenamento Por exemplo para a variável x 4 que representa o número de motores produzidos no mês a serem instalados no mês 4, o custo correspondente c 4 = =40 Destino Origem 4 5 Oferta 080 x x x x 4 M x x x x 4 x 5 x M M x x x x 4 x 5 M M M x 4 x 4 x 4 x 44 x 45 Procura Prof Bertolo 4 0 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total Procura Total = = 0 u Origem Problema de Transporte Oferta total inferior à procura total Destino m m+ n Oferta c c x x c c x x x m x m+, c n x n c n c m c m c x n x m Procura b b b n x mn c mn x m+, x m+,n a a a m b j a i Origem fictícia Prof Bertolo 0 5

16 Oferta total inferior à procura total Exemplo : distribuição de recursos de agua Uma empresa administra a distribuição de água duma região Para isto é preciso canalizar a água de rios que estão situados fora da região e distribui la para 4 cidades Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total Prof Bertolo Oferta total inferior à procura total Exemplo : distribuição de recursos de água Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes: A id d f independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas O rio não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande A cidade tem uma fonte A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 0 um Cidade Rio 4 Fornece Necessidades mínimas Procura 70 0 os custos por unidade de medida Prof Bertolo 6

17 Oferta total inferior à procura total Exemplo : distribuição de recursos de água Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como: Origem i o rio i (i =,,) Destino j a cidade j (j=,,,4) x ij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j c ij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j Prof Bertolo Oferta total inferior à procura total Exemplo Restrições de ofertas As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens) Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos rios, estas restrições são de igualdade, uma por cada rio Cidade Rio Necessidades mínimas Procura 4 Fornece x +x +x +x 4 = x +x +x +x 4 =60 x +x +x +x 4 = 4 Prof Bertolo 4 7

18 Oferta total inferior à procura total Exemplo Restrições de procura As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade, onde coincidem a procura com a necessidade mínima) Cidade Rio Necessidades mínimas Procura Fornece 60 O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (+ 60+=60) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades (0+ 70 =00) = 60 unidades (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 para além da necessidade mínima ) Cidade : procura > necessidade x +x +x 0 x +x +x limite inferior limite superior Cidade : procura = necessidade x +x +x = 70 Cidade : procura > necessidade x +x +x 0 limite superior Cidade 4: procura > necessidade x 4 +x 4 +x 4 0 x 4 +x 4 +x 4 60 limite inferior limite superior Prof Bertolo 5 Oferta total inferior à procura total Exemplo Quadro do problema de transporte Oi Origem Cidades Rio Rio 4 Oferta 6 7 x x x x x x x x M Rio x x x x Rio Ficticio x 4 x 4 x 4 x 44 Procura Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total Oferta Total = 0 60 = unidades Prof Bertolo 6 8

19 Oferta total inferior à procura total Exemplo Análise do rio fictício Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício Cidade Rio Necessidades mínimas Procura Fornece 60 Cidade : Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada Cidade 4: procura > necessidade (60 > 0) Como o rio fictício fornece apenas unidades, pelo menos fica garantido que as 0 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio Não é preciso alterar nada Prof Bertolo 7 Cidade Rio Necessidades mínimas Procura Oferta total inferior à procura total Exemplo Análise do rio fictício Fornece 60 Cidade : procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade Cidade : procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo Prof Bertolo 8 9

20 Oferta total inferior à procura total Exemplo Formulação como PT Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte: A cidade foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas de 0 unidades O rio fictício i está penalizado para a cidade ' Cidades Origem Rio Rio Rio ' '' 4 Oferta M M 0 M Rio Ficticio Procura O rio fictício está penalizado para a cidade Prof Bertolo 9 Problema de Transporte Propriedades fundamentais() Se um problema de transporte está equilibrado, ie, a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis Se um problema de transporte não está equilibrado,ie,,, a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado O problema de transporte tem sempre ótimo finito Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n variáveis básicas Do total de m+n equações só m+n- são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, ie, uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes Prof Bertolo 40 0

21 Problema de Transporte Propriedades fundamentais() A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular B= Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções Prof Bertolo 4 A= Minimizar z = x + x + x + 4 x x + x + x + 4 x 4 + x + x + x 4 sujeito a: x +x +x +x 4 = 6 x +x +x +x 4 = 8 x +x +x +x 4 = 0 +x = 4 x +x = 7 x +x +x +x = 6 x +x = 7 x 4 +x 4 +x 4 x ij 0 (i=;j=4) i=,,; j=,,,4 P P P P 4 P P P P 4 P P P P 4 () () () (4) (5) (6) (7) Base e Solução Básica Admissível para o PT Como m= e n=4 e a característica de A, c(a)=m+n =6, qualquer base B tem dimensão 6x6 Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P, P, P, P, P, P 4 e eliminando à restrição 4 Trocando as linhas obtém se uma matriz B triangular B = Prof Bertolo B = P P P P P P 4 () (5) () (6) () (7) P P P P P P 4 () () () (5) (6) (7)

22 Uma Solução básica Admissível para o PT Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata: P P P P P P 4 () (5) () (6) () (7) X B x x x x x x 4 = x + x 4 =0 x + x = 6 x 4 =7 x = x = x + x = 8 x =5 x + x = 7 x = x + x = 6 x =4 Uma SBA do problema é: X = (4,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, 7) Prof Bertolo 4 Considerações Finais Esperamos que após todo o conhecimento adquirido em Métodos Quantitativos você tenha conseguido enxergar a dimensão que existe na aplicabilidade dos conceitos estudados É possível trabalhar os modelos matemáticos dentro de várias outras disciplinas que você já viu ou ainda irá aprender durante este curso A simulação de Monte Carlo e a programação linear são importantes como ferramentas de gestão e proporcionam a você desenvolver o potencial lógicoracional que tanto é requisitado nos gestores de hoje Lembre-se de que não é necessário se especializar na parte matemática ou computacional das ferramentas que apresentamos, a menos que você queira, é claro! O importante, na gestão de um negócio, é que você conheça como estes instrumentos podem contribuir para melhorar o desempenho das organizações, tornando elas mais competitivas e prolongando o seu ciclo de existência no mercado Prof Bertolo