Planejamento e Análise de Sistemas de Produção

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1 Aula 21 Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Paulo Augusto Valente Ferreira Departamento de Telemática Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação Universidade Estadual de Campinas

2 Conteúdo Aula 21 1

3 Fabricante de produtos plásticos possui 1200 e 1000 caixas de fita adesiva em duas fábricas; O fabricante possui pedidos de três atacadistas para fornecer 1000, 700 e 500 caixas; Os custos unitários para transporte (centavos/caixa) estão tabelados abaixo. Fábrica Atacadista 1 Atacadista 2 Atacadista

4 A formulação matemática do problema é minimizar 14x x x x x x 23 sujeito a x 11 + x 12 + x 13 = 1200, x 21 + x 22 + x 23 = 1000, x 11 + x 21 = 1000, x 12 + x 22 = 700, x 13 + x 23 = 500, x ij 0, i = 1, 2, j = 1, 2, 3; x ij indica quantas caixas devem ser despachadas da fábrica i para o atacadista j; O sistema é balanceado pois a soma dos estoques é igual à soma das demandas, 2200 caixas.

5 A aplicação da Regra do Noroeste gera a tabela abaixo, a qual contém uma solução viável básica inicial Solução básica inicial: x 11 = 1000, x 12 = 200, x 22 = 500, x 23 = 500 (básicas), x 13 = x 21 = 0 (não-básicas). Tabela de custos: u u 2 v 1 v 2 v 3

6 A partir dos custos das variáveis básicas, u 1 + v 1 = c 11 = 14, u 1 + v 2 = c 12 = 13, u 2 + v 2 = c 22 = 13, u 2 + v 3 = c 23 = 12; Fazendo-se v 2 = 0, obtém-se u 1 = 13, u 2 = 13, v 1 = 1, v 2 = 0 e v 3 = 1. Os custos relativos são r 13 = c 13 u 1 v 3 = = 1, r 21 = c 21 u 2 v 1 = = 1.

7 A transformação de x 13 ou x 21 em variável básica permite reduzir o custo total de transporte; Escolhendo-se x 13 e supondo que x 13 vale θ, obtêm-se as variações indicadas abaixo: θ θ θ 500 θ A variável x 13 torna-se básica com o valor x 13 = 200; a variável x 12 torna-se não-básica.

8 Nova solução básica: Novas variáveis duais e custos relativos. Com v 3 = 0, u 1 + v 1 = c 11 = 14, v 1 = 3, u 1 + v 3 = c 13 = 11, u 1 = 11, u 2 + v 2 = c 22 = 13, v 2 = 1, u 2 + v 3 = c 23 = 12, u 2 = 12; r 12 = c 12 u 1 v 2 = = 1, r 21 = c 21 u 2 v 1 = = 2.

9 A transformação de x 21 em básica permite reduzir ainda mais o custo total de transporte; Supondo-se que x 21 passa a valer θ, obtêm-se variações indicadas na tabela abaixo: 1000 θ 200 +θ 1200 θ θ A variável x 21 torna-se básica com o valor x 21 = 300; a variável x 23 torna-se não-básica.

10 Nova solução básica: Novas variáveis duais e custos relativos. Com v 1 = 0, u 1 + v 1 = c 11 = 14, u 1 = 14, u 1 + v 3 = c 13 = 11, v 3 = 3, u 2 + v 1 = c 21 = 13, u 2 = 13, u 2 + v 2 = c 22 = 13, v 2 = 0; r 12 = c 12 u 1 v 2 = = 1, r 23 = c 23 u 2 v 3 = = 2.

11 A transformação de x 12 em básica permite uma redução adicional do custo total de transporte; Supondo-se que x 12 vale θ, obtêm-se variações indicadas na tabela abaixo: 700 θ θ θ 700 θ A variável x 12 torna-se básica valendo x 12 = 700 e duas básicas, x 11 e x 22, atingem zero (solução degenerada); Uma delas é declarada básica e a outra não-básica; x 22 será escolhida para básica com valor zero.

12 Nova solução básica: Novas variáveis duais e custos relativos. Com v 2 = 0, u 1 + v 2 = c 12 = 13, u 1 = 13, u 1 + v 3 = c 13 = 11, v 3 = 2, u 2 + v 1 = c 21 = 13, v 1 = 0, u 2 + v 2 = c 22 = 13, u 2 = 13; r 11 = c 11 u 1 v 1 = = 1, r 23 = c 23 u 2 v 3 = = 1.

13 Todos os custos relativos são não-negativos: a solução básica corrente é ótima; F1 deve enviar 700 caixas para A2 e 500 caixas para A3; F2 deve enviar suas 1000 caixas para A1; O custo total de transporte é v = 14x x x x x x23 = = =

14 Casos Especiais Soluções Degeneradas. Considere a tabela abaixo: A solução básica indicada é degenerada, pois x 44 = 0. Suponha que x 43 deva ser transformada em básica; Procedimento: Substitua x 44 = 0 por x 44 = ɛ > 0. Depois faz-se ɛ 0; Calcule as variações que mantêm a viabilidade da solução.

15 Casos Especiais Tabela com as variações: θ 30 +θ θ ɛ θ θ = ɛ para que a viabilidade seja mantida. Fazendo ɛ 0, obtém-se nova solução básica degenerada, pois x 43 =

16 Casos Especiais Sistemas não-balaceados. O sistema é balanceado se m n a i = b j. m i=1 a i > n j=1 b j i=1 Acrescenta-se um destino artificial n + 1 com custos de transporte para este destino iguais a zero e demanda j=1 b n+1 = m n a i b j. i=1 j=1 Ao resolver-se o problema, o excesso de produção será transportado para o destino artificial.

17 Casos Especiais m i=1 a i < n j=1 b j Acrescenta-se uma origem artificial m + 1 com custos de transporte desta origem iguais a zero e produção a m+1 = n m b j a i. j=1 i=1 O problema não é viável, mas é possível obter a solução de menor custo de transporte da produção existente; As demandas dos destinos que receberem unidades da origem artificial não serão totalmente atendidas.

18 Casos Especiais Rotas inexistentes. Um ou mais pares origem-destino podem não estar servidos por rotas de transporte. Criam-se rotas artificiais com custos unitários muito maiores do que às das rotas existentes; O algoritmo evita rotas com custos altos e fornece a solução de mínimo custo total pelas rotas existentes; Rotas com pontos intermediários. As produções passam por pontos intermediários entre origens e destinos. Solução por Enumeração, limitada a problemas pequenos. Enumere as rotas ligando cada par origem-destino; calcule custos unitários equivalentes; adote a de menor custo; Solução por Fluxo em Redes.